动态几何问题

[例1]如图所示,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F，分别从点B、A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点C运动，点F沿折线A-D-C以[例1]如图所示,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F，分别从点B、A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点C运动，点F沿折线A-D-C以 2cm/秒的速度向点C 运动，设点E离开点 B的时间为t秒。

K (1)当t为何值时，线段EF与BC平行？ (2)设1<t<2时,当t 为何值时,EF与半圆相切?

(3)当1≤t<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值。(3)当1≤t<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值。

解(1)设E、F出发后运动了t秒时，有EF∥BC 则BE=t,CF=4-2t. 即有t=4-2t

K (2)设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切于点M，过点F作KF∥BC交AB于点K

AB ∥ DC

[例2]如图所示，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60°，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）[例2]如图所示，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60°，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10） (1)点N为BC边上任意一点。在点M移动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；

E (2)点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；

G (3)点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a(a≥2)个单位长的速度沿着射线BC的方向（可以超越C点）移动，过点M作MP ∥ AB，交BC于点P。当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分面积为S，求出用t表示S的关系式，并求当S=0时a的值。

解：（1）MN一定能在某一时刻将菱形ABCD分割成面积相等的两部分。解：（1）MN一定能在某一时刻将菱形ABCD分割成面积相等的两部分。对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分，而且菱形是中心对称图形。在点M由A到D的移动过程中，一定存在一个时刻使得线段MN过菱形的中心。

G （3）△ABC是腰长为10的等腰三角形，当 △MPN≌△ABC时，MP=10，PN=BC=10，且 MP=PN

DC∥MP且MP=PN G

〖例3〗如图所示，已知梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高h=2。P是BC边上的一个动点，直线m过p点，且m∥DC交梯形另外一边于E,若BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y。(1)当3<x≤ 6时，求y 与x之间的函数关系式；

h d F (2)当0≤ x ≤ 3时，求y 与x之间的函数关系式； (3)若梯形ABCD的面积为S，当y=S时，求x的值。

解 (1)当3<x≤6时，梯形位于直线m左侧的图形为梯形BPEA ∵四边形PCDE为平行四边形则PC=ED=6-x，得上底AE=3-(6-x)=x-3 ∴y=[(x-3)+x]·2=2x-3 即当3<x≤6时，y与x之间的函数关系式为：y=2x-3

(2)当0≤x≤3时，梯形位于直线m左侧的图形为△BPE，过A作AF∥DC，交BC于F，即得四边形AFCD为平行四边形。(2)当0≤x≤3时，梯形位于直线m左侧的图形为△BPE，过A作AF∥DC，交BC于F，即得四边形AFCD为平行四边形。 ∴BF=3 设△BPE中BP边上到E的距离为d，由△BPE∽△BFA，得即当0 ≤ x ≤ 3时，y与x之间的函数关系式为：y=x² h d F

动态 几何问题