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ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

jerrica
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ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

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    1. ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES AM Habraken - JP Jaspart 2011 2012

    2. Objectifs du cours Mathématiques Concret de l’ingénieur I-2 Acier à ferrer les ânes 300 MPA Haute limite elastique HLE 1000 MPA Bois traction 80 à 100 Mpa compression 30 à 50 MPa Beton compression 15 à 60 Mpa traction 1 à 4 MpaAcier à ferrer les ânes 300 MPA Haute limite elastique HLE 1000 MPA Bois traction 80 à 100 Mpa compression 30 à 50 MPa Beton compression 15 à 60 Mpa traction 1 à 4 Mpa

    3. Une contrainte ??? Tenseur du second ordre Force / Section N/mm² ou Mpa 1000MPa??? I-3 Bois tient mieux en traction qu en compression 100 Mpa à 50 Mpa Béton 1 à 4 Mpa en traction et 15 à 60 Mpa en compressionBois tient mieux en traction qu en compression 100 Mpa à 50 Mpa Béton 1 à 4 Mpa en traction et 15 à 60 Mpa en compression

    4. Une déformation ??? Tenseur du second ordre Variation de longueur/Longueur de référence Pas de dimension I-4

    5. Contenu du cours Eléments de calcul des tenseurs (1-2) I-5

    6. Organisation Délégués me fournir nom et adresse mail à la pause Assistants (B 52 1er étage couloir en face des ascenseurs MS²F ArGEnCo) Gaëtan Gilles (Habraken) Clara Huvelle (Jaspart) I-6

    7. Organisation Notes de Cours (Théorie) Voir centrale des cours AEES Copies 2 chapitres du cours de l’an passé Eléments de mécanique des solides déformables Serge Cescotto (pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide) Mécanique des matériaux Massonet Cescotto I-7

    8. Organisation Notes de Cours (Exercices) Voir centrale des cours AEES Copies 2 chapitres du cours de l’an passé Eléments de mécanique des solides déformables Exercices S Cescotto (pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide) Mécanique des matériaux Exercices S. Cescotto I-8

    9. Organisation Théorie Exercices Encadrement par 4 ingénieurs TP 1-4 par élèves moniteurs TP 5-… I-9

    10. Ca sert à quoi??? I-10 Ingénieur de construction: Dimensionner les ouvrages d’art Choix des matériaux Choix des sections

    11. Domaine des constructions I-11

    12. Domaine des constructions I-12

    13. Achitecture I-13

    14. Ca sert à quoi??? I-14 Ingénieur de mécanicien: Dimensionner des pièces, des machines… Choix des matériaux Choix des sections

    15. Aéronautique I-15

    16. Automobile I-16

    17. Energie I-17

    18. Electronique I-18

    19. Métallurgie I-19 Ingénieur métallurgiste: Comprendre les phénomènes à l’échelle des atomes, des grains et les relier à l’échelle macroscopique Liens entre Composition chimique, Traitement thermique Propriétés mécaniques

    20. Chimie I-20

    21. Géologie I-21

    22. T’es ingénieur !!! I-22 Alors, tu vas pouvoir me dire…. Si je perce une baie entre la cuisine et le salon, je dois rajouter une poutrelle ou non? Tu crois qu’il faut quelle hauteur de linteau au dessus de ma porte? Mon linteau il est pas carré, je le mets dans quel sens?

    23. Chapitre I Elements de calcul des tenseurs

    24. I-24 Eléments de calcul des tenseurs Un système dextorsum coordonnées cartésiennes x, y, z vecteurs unitaires de base origine 0 Unitaire ex . ex = 1 Orthogonaux ex. ey = 0

    25. Soit un autre système dextorsum noté ‘ même origine O orientation différente I-25 Eléments de calcul des tenseurs

    26. I-26 Eléments de calcul des tenseurs Transformation des coordonnées du point P Coordonnées x,y,z dans le 1er système d’axes Coordonnées x’,y’,z’ dans le 2eme système d’axes

    27. I-27 Eléments de calcul des tenseurs Transformation de coordonnées

    28. I-28 Eléments de calcul des tenseurs Transformation de coordonnées

    29. I-29 Eléments de calcul des tenseurs Transformation de coordonnées Remarque pas symétriqueRemarque pas symétrique

    30. I-30 Eléments de calcul des tenseurs

    31. I-31 Eléments de calcul des tenseurs Truc pour les retroucer Ecrire la matrice les lignes par elles même ? 1 idem pour les colonnes Pour les 0 multiplier les lignes 2 à 2 ou les colonnes 2 à 2 Truc pour les retroucer Ecrire la matrice les lignes par elles même ? 1 idem pour les colonnes Pour les 0 multiplier les lignes 2 à 2 ou les colonnes 2 à 2

    32. I-32 Eléments de calcul des tenseurs X y z x1 X2 X 3 indice varie de 1 à 3X y z x1 X2 X 3 indice varie de 1 à 3

    33. I-33 Eléments de calcul des tenseurs

    34. I-34 symbole de Kronecker : représente 9 équations Que vaut dii= ? Eléments de calcul des tenseurs

    35. I-35 Transformation des coordonnées EXERCICE Notation d’Einstein ou Convention de sommation d’Einstein : Symbole de Kronecker Eléments de calcul des tenseurs Delta ? 9 équation delta 12 et delta 21 donne la même équation par commutativité de la multiplication mais pas par symétrie des coefficients C12 dif de C21 Delta ? 9 équation delta 12 et delta 21 donne la même équation par commutativité de la multiplication mais pas par symétrie des coefficients C12 dif de C21

    36. I-36 Eléments de calcul des tenseurs Delta ? 9 équation delta 12 et delta 21 donne la même équation par commutativité de la multiplication mais pas par symétrie des coefficients C12 dif de C21Delta ? 9 équation delta 12 et delta 21 donne la même équation par commutativité de la multiplication mais pas par symétrie des coefficients C12 dif de C21

    37. I-37 Symboles dans la notation dEinstein Kronecker delta: Symbole de permutation : Eléments de calcul des tenseurs

    38. I-38 Formules utiles et habituelles.. Matrice 3 x 3: Déterminant: Matrice adjointe Identité: Eléments de calcul des tenseurs

    39. I-39 Formules utiles et habituelles.. Déterminant: Identités: Eléments de calcul des tenseurs

    40. I-40 Scalaire Un scalaire s est un être mathématique à une seule composante  (30) et invariant lors d’un changement de repère exemples: masse, volume, température, énergie, ... Eléments de calcul des tenseurs

    41. I-41 Vecteur un vecteur V est un être mathématique à 31 composantes qui, lors d’un changement de repère: se transforme selon la formule un vecteur V est un être mathématique qui, à toute direction de l’espace n associe un salaire Vn au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs nj de cette direction: exemples: force, vitesse, accélération, flux de chaleur Eléments de calcul des tenseurs La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…

    42. Eléments de calcul des tenseurs On peut montrer que (1) I-42

    43. I-43 Equivalence des 2 définitions Déf 1 Si alors ou Déf 2 u unitaire et vecteur V: Equivalence: soit u dirigé selon alors et Eléments de calcul des tenseurs La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…

    44. I-44 Un tenseur du 2ème ordre Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique à 32 composantes qui, lors d’un changement de repère se transforment selon les formules: Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique qui à toute direction n de l’espace, associe un vecteur Tn au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs nj de cette direction: avec et donc Eléments de calcul des tenseurs T j c’est une ligneT j c’est une ligne

    45. Eléments de calcul des tenseurs Equivalence des 2 définitions: I-45 T’ i c’est bien une ligneT’ i c’est bien une ligne

    46. I-46 n-order tensor Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique de 3n components qui se transforme par pour un changement de repère: Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique qui à toute direction n de l’espace associe un tenseur Tn d’ordre (n-1) au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs nj de cette direction. Eléments de calcul des tenseurs

    47. I-47 Propriétés des tenseurs: égalité: addition: multiplication par un scalaire: Eléments de calcul des tenseurs

    48. I-48 Propriétés des tenseurs: multiplication des tenseurs: contraction: rendre identique 2 indices d’un tenseur A d’ordre n produit un tenseur B d’ordre (n-2) –appelé contraction du tenseur initial par rapport à ces 2 indices Eléments de calcul des tenseurs

    49. Eléments de calcul des tenseurs Intérêt de la contraction: Lien entre tenseur contrainte tenseur déformation 9 équations Possibilité de trouver l’équation relative à la contrainte moyenne I-49

    50. I-50 Propriétés des tenseurs: Équations tensorielles vraies dans tous les repères : Si dans le système de coordonnées (x1, x2, x3) Les composantes de T sont 0 dans tout repère Dans le système de coordonnées (x’1, x’2, x’3) Eléments de calcul des tenseurs Tout comme l’analyse dimensionnelle d’une équation vous prouve qu elle est bonne pour tout système d’axe, l’analyse tensorielle d’une équation vous confirme qu’elle est bonne dans tout repère. Pour être tensorielle l’équation ne doit traiter que des tenseurs.Tout comme l’analyse dimensionnelle d’une équation vous prouve qu elle est bonne pour tout système d’axe, l’analyse tensorielle d’une équation vous confirme qu’elle est bonne dans tout repère. Pour être tensorielle l’équation ne doit traiter que des tenseurs.

    51. I-51 Comment identifier un tenseur? : Utiliser une des deux définitions. Quand une quantité est obtenue par addition, multiplication ou contraction de tenseurs, cette quantité est un tenseur. Règle du quotient : Aij est un tenseur d’ordre 2 Si AijBij = s est un scalaire pour tout tenseur B Si AijUj = Vi est un vecteur pour tout vecteur U Si AijBjk = Cik est un tenseur du 2ème ordre pour tout tenseur B Si Aijk...UiVjWk... = s est un scalaire pour tout vecteur U, V, W,... alors Aijk... est un tenseur. Eléments de calcul des tenseurs

    52. I-52 Champ tensoriel (grandeur physique, représentée par un tenseur, définie en tout point de l’espace) Température de chaque molécule d’un gaz dans une enceinte Vitesse de toutes les particules d’eau d’un fleuve Les fameuses contraintes et déformations dans un bâti de machine Eléments de calcul des tenseurs

    53. I-53 Si le champ tensoriel est assez continu Dérivée partielles Développement en série de Taylor Eléments de calcul des tenseurs

    54. I-54 Champs de tenseurs (voir vos cours de mécanique, de physique) Opérateur dérivée Opérateur double dérivée Opérateur Laplacian Elément de calcul des tenseurs

    55. I-55 Etude des vecteurs Addition Produit scalaire Module Divergence Exercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeantExercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeant

    56. I-56 Etude des vecteurs Exercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeantExercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeant

    57. I-57 Produit vectoriel Rotationnel Etude des vecteurs Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2… Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2…

    58. I-58 Rotationnel Etude des vecteurs Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2… Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2…

    59. I-59 Gradient d’un champ scalaire Laplacian d’un champ scalaire Etude des vecteurs

    60. I-60 Quelques formules utiles (exercice) Etudes des vecteurs Pour s’exercer… si on part de la 3ème formule c’est évident la formule ensuite on applique la définotion de nabla pour la 2ème ligne et la déf des rot grad div pour la première Avoir laissé au tableau le calcul des composantes du rotationnel si on le dérive et les additionne c’est évident parce que d12 = d21 etc que div de rot =0Pour s’exercer… si on part de la 3ème formule c’est évident la formule ensuite on applique la définotion de nabla pour la 2ème ligne et la déf des rot grad div pour la première Avoir laissé au tableau le calcul des composantes du rotationnel si on le dérive et les additionne c’est évident parce que d12 = d21 etc que div de rot =0

    61. I-61 Etude des tenseurs du second ordre Analogie matricielle (attention une matrice peut être rectangle pas un tenseur)

    62. I-62 Transposée d’un tenseur du 2nd ordre Etude des tenseurs du second ordre Évident pour le tenseur du second ordre pour le vecteur par convention si on ne dit rien il est vertical c’est le transposé qui est horizontal.Évident pour le tenseur du second ordre pour le vecteur par convention si on ne dit rien il est vertical c’est le transposé qui est horizontal.

    63. I-63 Tenseur symétrique Tenseur antisymétrique Trace and valeur moyenne d’un tenseur Etude des tenseurs du second ordre Ecrire le tenseur au tableau jouer avec terme symétrique antisymétrique voir que forcément pour le tenseur antisymétrique la diag est nulleEcrire le tenseur au tableau jouer avec terme symétrique antisymétrique voir que forcément pour le tenseur antisymétrique la diag est nulle

    64. I-64 Partie déviatorique d’un tenseur Etude des tenseurs du second ordre

    65. I-65 Produit matriciel si U et V =vecteurs et A = un tenseur du 2nd ordre W = A U est un vecteur de composantes Wi = Aij Uj s = UT V est un scalaire s = Ui Vi = U.V C = U VT est un tenseur du 2nd ordre de composantes Cij = Ui Vj Ce produit est équivalent au produit vectoriel Etude des tenseurs du second ordre

    66. I-66 Transformation of coordinates Etude des tenseurs du second ordre Insister juste ici que le ves vecteurs de base dans le second repère sont bien les colonnes dans la définition de cInsister juste ici que le ves vecteurs de base dans le second repère sont bien les colonnes dans la définition de c

    67. I-67 Décomposition spectrale d’un tenseur d’ordre 2 n est une direction principale ou vecteur propre ? est une valeur propre Etude des tenseurs du second ordre

    68. I-68 On obtient : l’équation caractéristique du tenseur A 3 racines réelles l1, l2, l3 si A symétrique (Algèbre) ? 3 vecteurs propres n (1), n (2), n (3) Etude des tenseurs du second ordre

    69. I-69 3 vecteurs propres n (1), n (2), n (3) (Cas d’un tenseur A symétrique) Etude des tenseurs du second ordre

    70. I-70 Représentation géométrique du tenseur symétrique A Croix des valeurs principales Etude des tenseurs du second ordre

    71. I-71 Si l1 = l2= l3 c’est que A = l1 I Ce tenseur n’est pas affecté par un changement de repère, c’est un tenseur isotrope On peut toujours trouver 3 vecteurs propres orthogonaux et unitaires pour tout tenseur symétrique, réel d’ordre 2. Etude des tenseurs du second ordre

    72. I-72 Si n (1), n (2), n (3) = les vecteurs propres de A Ils constituent un nouveau repère valeurs propres = invariants avec le repère ? coef de l’équation caractéristiques sont des invariants Etude des tenseurs du second ordre

    73. I-73 Forme spectrale du tenseur A Etude des tenseurs du second ordre

    74. I-74 Calcul des fonctions d’un tenseur symétrique A Etude des tenseurs du second ordre Les puissance entière permettent de représenter sin a… or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct s’applique sur les valeurs propres etc.Les puissance entière permettent de représenter sin a… or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct s’applique sur les valeurs propres etc.

    75. I-75 Les valeurs propres du déviateur d’un tenseur Soit le tenseur symétrique A Valeurs propres : l1, l2, l3 Vecteurs propres : n (1), n (2), n (3) ? Valeurs propres du déviateur ? Vecteurs propres du déviateur : n (1), n (2), n (3) Etude des tenseurs du second ordre

    76. I-76 Intégration par parties (intégrale de volume)

    77. I-77 Intégration par parties

    78. I-78 Intégration par parties (intégrale de surface)

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