第 20 章

1. 第 20 章 光的干涉和衍射 （Interference & diffraction of light） (8)

2. 相干条件 其中 §20-1 光波的相干叠加 一.光的干涉 两束光 (1)频率相同； (2)光振动方向相同； (3)相差恒定； 则在空间相遇区域就会形成稳定的明、暗相间的条纹分布，这种现象称为光的干涉。 二.相干叠加和非相干叠加 由波动理论知, 光矢量平行、频率相同、振幅为E1和E2的两列光波在某处叠加后,合振动的振幅为

3. 即光强 在波动光学中，光强定义为 1.非相干叠加 对普通光源来说，由于原子发光是间歇的、随机的、独立的，在观察时间内，相位差不能保持恒定,变化次数极多,可取0~2π间的一切可能值,且机会均等，因此

4. (20-2) 于是非相干叠加时的光强为 I=I1+I2 (20-1) 可见，在非相干叠加时，总光强等于两光源单独发出的光波在该处产生的光强之和，且光强是均匀分布的。 2.相干叠加 如果在观察时间内，相位差保持恒定,则合成光强为 可见，在相干叠加时,合成光强在空间形成强弱相间的稳定分布。这是相干叠加的重要特征。

5. 当 (20-3) (20-2) 如果I1=I2 ，则合成光强为 =±2k, Imax=4I1, 明纹(加强) =±(2k+1), Imin=0, 暗纹(减弱)

6. 当 =±2k, Imax=4I1, 明纹(加强) =±(2k+1), Imin=0, 暗纹(减弱) 三. 光程和光程差 光的频率v由光源确定。光速由媒质确定。 真空中，光速: c=v 媒质中，光速: =v ∵ n=c/ ∴ = /n 由此可见，光经过不同媒质时，波长要发生变化。这对讨论光经过几种媒质后的相干叠加问题，是很不方便的。为此引入光程的概念。

7. n=c/ = /n 1.光程 设经时间t，光在折射率为n媒质中通过的几何路程为r，则nr称为光程。 显然，光程 nr=n t =c t 。 光程的物理意义: 光程等于在相同的时间内光在真空中通过的路程。 引入光程概念后，就能将光在媒质中通过的几何路程折算为真空中的路程来研究。这就避免了波长随媒质变化而带来的困难。

8. e1 s1 n1 p r1 s1 e2 n1 p S1p= r1 n2 n2 S2p= r2 r2 s2 s2 图20-1 图20-2 2.光程差—两束光光程之差 n1r1- n2r2 = - (r2-e2 +n2e2) (r1-e1 +n1e1) =

9. s1 r1 n1 p n2 r2 s2 =±2k ,明纹(加强) =±(2k+1) ,暗纹(减弱) 明纹 即 = 暗纹 3.两束光干涉的强弱取决于光程差，而不是几何路程之差 设相干光源s1和s2的初相相同，到达p点的干涉强弱取决于相差： 真空中的波长 光程差

10. 1 2 s 图20-3 4.薄透镜不产生附加程差 从S发出的光线1、2到达S'点光程相等。

11. 明纹 即 = 暗纹 四.获得相干光的方法 如前所述，普通光源发出的光是不相干的。 利用普通光源获得相干光的基本原理是将一个光源的微小部分(视为点光源或线光源)发出的光设法分成两束,使这两束光在空间经不同路径再会聚。 虽然这个光源的相位不断地变化,但任何相位的改变总是同时发生在这两列光波中,因此,在会聚点上,这两束光的相位差是恒定不变的,从而满足相干条件而成为相干光。 对初相相同的两相干光源 , 有 光程差

12. p r1 K=2 s1 K=1 d s r2 * K=0 o K=1 s2 L 图20-4 K=2 明纹 暗纹 §20-2 双 缝 干 涉 一.双缝干涉实验 真空，s在s1s2的中垂线上，于是光源s1和s2的初相相同，干涉的强弱取决于从s1和s2发出的两光线的光程差： =r2-r1=

13. x p r1 K=2 x s1 K=1 d s r2 * K=0 o K=-1 s2 L 图20-4 K=-2 明纹 (20-4) 暗纹 建立坐标系，将条纹位置用坐标x来表达最方便。 r12=L2+(x-d/2)2, r22=L2+(x+d/2)2 考虑到L»d, r1+r22L,于是明暗纹条件可写为

14. 明纹，k =0,1,2,…... (20-4a) 暗纹，k =0,1,2,…... (20-4b) 明纹 (20-4) 暗纹 上式中的k为干涉条纹的级次。由上式求得条纹的坐标为 k=0,1,2,…依次称为零级、第一级、第二级明纹等等。零级亮纹(中央亮纹)在x=0处。 k=0,1,2,…分别称为第一级、第二级暗纹等等。

15. x p r1 K=2 x s1 K=1 d s r2 * K=0 o K=-1 s2 L 图20-4 K=-2 (20-5) 条纹特征： (1)干涉条纹是平行双缝的直线条纹。中央为零级明纹，上下对称，明暗相间，均匀排列。 (2)相邻亮纹(或暗纹)间的距离为

16. k=2 k=1 k=0 k=-1 k=-2 (3)如用白光作实验, 则除了中央亮纹仍是白色的外,其余各级条纹形成从中央向外由紫到红排列的彩色条纹—光谱。

17. x x p r1 K=2 x x s1 K=1 d d s r2 * K=0 o K=-1 s2 L L p 图20-4 K=-2 r1 s1 r01 r2 o * s r02 s2 明纹 = 暗纹 图20-4a (4)讨论: =r02-r01+r2-r1 =r02-r01

18. k=2 x k=1 k=0 k=-1 k=-2 例题20-1双缝间的距离d=0.25mm,双缝到屏幕的距离L=50cm,用波长4000Å~7000Å的白光照射双缝，求第2级明纹彩色带(第2级光谱)的宽度。 解 所求第2级明纹彩色带(光谱)的宽度实际上是7000Å的第2级亮纹和4000Å的的第2级亮纹之间的距离d。 明纹坐标为 代入：d=0.25mm, L=500mm, 2=7×10-4mm , 1= 4 ×10-4mm得： x=1.2mm

19. e s1 n1 o s2 (零级) n2 图20-5 e (零级) 例题20-2将双缝用厚e、折射率分别为n1=1.4、n2=1.7的透明薄膜盖住，发现原中央明级处被第五级亮纹占据,如图20-5所示。所用波长=6000Å,问：原中央明级移到何处？膜厚e=? 解 零级处,由s1和s2发出的两光线的光程差为零，由此推知， 原中央明级向下移到原第五级亮纹处。 现在,原中央处被第五级亮纹占据,这表明两光线到达中央处的光程差是5： =5 =(n2 -n1)e =10-5m

20. E s * 图20-6 明纹 暗纹 二.洛埃镜 由于半波损失的存在，洛埃镜的明暗纹恰好与杨氏双缝相反。 当光从光疏媒质射到光密媒质并在界面上反射时，反射光有半波损失。 计算光程差时，另加(或减)/2；计算位相差时，另加(或减)。

21. 反射光 s D i n1 C A e n2 r n3 B 图20-7 透射光 §20-3 薄膜干涉 在阳光照射下，肥皂膜或水面上的油膜上面呈现美丽的彩色图案，这些都是常见的薄膜干涉现象。 一.薄膜干涉公式 在反射光中， ab两束平行光线产生的光程差： 还须考虑光在薄膜上下表面的反射有无半波损失。 有一个半波损失, 反中就要另加(或减)/2。

22. 反射光 s D i n1 C A e n2 r n3 B 图20-7 透射光 当n2 >n1=n3时,反射光有一个半波损失， 反中就要另加(或减)/2。透射光没有半波损失。 而当n1>n2>n3或n1<n2<n3时, 反射光没有半波损失，总的光程差就是反。透射光有半波损失, 等等。 此外还可见，在反射光中观察和在透射光中观察，光程差总是相差/2。这就意味着反射光和透射光的明暗条纹恰好相反。这叫条纹互补。这是能量守恒的必然结果。

23. 反射光 透射光 暗纹 明纹 + 半 = 明纹 暗纹 (k =0,1,2……) 反射光 透射光 暗纹 明纹 + 半 = 明纹 暗纹 (20-6) (k=0,1,2……) 综上所述，薄膜干涉的明、暗纹条件是： 用入射角i来表示(P115), 则得薄膜干涉公式： 式中：n2 —薄膜的折射率；n1 —入射媒质的折射率。i是入射角。

24. + 半 = e 1.25 1.50 例题20-3一平板玻璃(n=1.50)上有一层透明油膜(n=1.25)，要使波长=6000Å的光垂直入射无反射，薄膜的最小膜厚e=? 解 凡是求解薄膜问题应先求出两反射光线的光程差。 对垂直入射，i =0，于是 2en2 无反射意味着反射光出现暗纹，所以 (k=0,1,2,……) n2=1.25(薄膜的折射率);要e最小，k =0 =1200Å=1.2×10-7m

25. 7600Å×1.33 = 例题20-4阳光垂直照射在空气中的肥皂膜上，膜厚e=3800Å, 折射率n2=1.33 ，问：肥皂膜的正面和背面各呈什么颜色？ 解 正面反射加强，有 在可见光范围内(7700Å~3900Å)的解为 k=1,… k=2, =6739Å 红色 k=3, =4043Å 紫色 k=4,...

26. 7600Å×1.33 = 背面透射加强=反射减弱，于是有 在可见光范围内(7700Å~3900Å)的解为 k=1, … k=2, =5054Å 绿色 k=3, ...

27. +半 = 例题20-5光线以i =30°入射到折射率n2=1.25的空气中的薄膜上。当波长1=6400Å时，反射最大；而当波长2=4000Å时，反射最小。求薄膜的最小厚度。 解 由于是空气中的薄膜，一定有半波损失，故 用1时， 用2时， 由上面两式得:

28. 1=6400Å 2=4000Å 4(2k1-1)=5k2 要膜厚最小， 取k1=3，k2=4 于是得 = 6983Å

29. e ×5500Å 1.38 1.50 ×5500Å 二.增透膜与高反射膜 为了减少反射引起的光能损失，常在许多光学仪器(如照相机、摄像机等)的镜头上镀一层厚度均匀的透明薄膜(常用氟化镁MgF2, n=1.38),用以增加透射，这个薄膜,就是增透膜。 镀膜时常采用光学厚度： 这是5500Å的黄绿光透射增强。 反射光加强的条件是 只有k=2, =4100Å 紫色。 在阳光下观察照相机镜头呈现紫色就是这个道理。

30. MgF2 (1.38) MgF2 (1.38) MgF2 (1.38) ZnS (2.35) ZnS (2.35) 13~17层 1.50 图20-8 与增透膜相反,在另一些光学系统中希望光学表面具有很高的反射率(如He–Ne激光器要求反射99%)，这时可在元件表面多层镀膜以增强反射,这类薄膜称为增反膜或高反射膜。 镀膜时, 要适当选择每层膜的厚度, 使反射加强。

31. (k=1,2……) 明纹 (k=0，1,2……) 暗纹 e  图20-9 §20-4 薄膜的等厚干涉 一.劈尖干涉 由于尖角 很小，空气膜很薄，故劈尖干涉仍可用薄膜公式求解。 劈尖—由两块平板玻璃组成。 当光线垂直入射时，在反射光中观察，有 式中n2为空气膜的折射率。 1.入射光波长一定时，一条条纹(一个k)，对应 一个厚度，故称为等厚干涉。 级次愈高(k愈大),对应的膜厚愈大。

32. (20-7) l 暗纹 明纹 e ek+1 ek  图20-10 2.干涉条纹是明暗相间的平行直线条纹。此时叠合处为一暗纹。 3.任意两相邻亮纹(或暗纹)所对应的空气膜厚度差为

33. (20-7) l 暗纹 明纹 e ek+1 ek  l sin = (20-8) 即 图20-10 4.设相邻两亮纹(或暗纹)间的距离为l，则有 l sin =e

34. e 1.57 SiO2 3.42 Si 图20-11 例题20-6制造半导体元件时,常常需要精确地测量硅片上的二氧化硅(SiO2)薄膜的厚度,这时可用化学方法把二氧化硅薄膜一部分腐蚀掉,使它成为劈尖状(见图20-11)。已知SiO2和Si的折射率分别为n2=1.57和n3=3.42,所用波长为=6000Å，观察到劈尖上共出现8条暗纹,且第八条暗纹恰好出现在斜面的最高点。求 SiO2薄膜的厚度。 解 由薄膜公式，得： k=0,1,2,…... 取k=7,得 此时尖顶处是亮纹还是暗纹？

35. l a 标准平面 H  工件 图20-12 例题20-7在检测某工件表面平整度时,在工件上放一标准平面玻璃,使其间形成一空气劈尖，并观察到弯曲的干涉条纹，如图20-12所示。试根据条纹弯曲方向,判断工件表面上纹路是凹还是凸?并求纹路深度H。 解 若工件表面是平的,等厚条纹应为平行于棱边的直线条纹。由于一条条纹对应 一个厚度，由图20-12的纹路弯曲情况可知， 工件表面的纹路是凹下去的。 由图：H=asin 因 ：lsin =/2, 所以纹路深度

36.  n1 n2  n3 图20-13 例题20-8波长的光垂直入射折射率为n2的劈尖薄膜，n1>n2 ,n2 <n3 ,如图20-13所示 。在反射光中观察，从尖顶算起，第二条明纹对应的薄厚是多少？ 解 由薄膜公式，有 显然，取k=2; 于是第二条明纹对应的薄厚为

37.  R r (k=1,2…) 明环 A e = (k=0，1,2...) 暗环 o B 图20-14 二.牛 顿 环 在一块平玻璃B上放一曲率半径R很大的平凸透镜A,在A、B之间形成一层很薄的劈形空气层—薄膜。 设平行光垂直入射空气薄膜, 在反射光中观察到一组以接触点o为中心的同心圆环(见图20-14),故称为牛顿环。 式中n2为空气膜的折射率。

38.  R (k=1,2…) 明环半径： r (k=1,2…) 明环 A e = (k=0，1,2...) 暗环 o 暗环半径： (k=0,1,2…) B 图20-14 (20-9) 因R2=r2+(R-e)2=r2+R2-2Re+e2 由于R»e,上式中e2可略去,因此得

39. 例题20-9将牛顿环由空气移入一透明液体中，发现第8明环半径由1.40cm变为1.21cm，求该液体的折射率。例题20-9将牛顿环由空气移入一透明液体中，发现第8明环半径由1.40cm变为1.21cm，求该液体的折射率。 解 由牛顿环的明环公式，得 空气中： 液体中：

40. 明环(k=1,2…) = 暗环(k=0，1,2...) 由图20-15知： o2 o1 R2 R1 ∴明环半径 r e e2 e1 暗环半径 图20-15 例题20-10牛顿环装置由曲率半径(R1和R2)很大的两个透镜组成，设入射光波长为，求明暗环半径。 解 由薄膜公式，得

41. n=1.68 n2=1.60 e eo n=1.58 例题20-11 平板玻璃和平凸透镜构成牛顿环,全部浸入n2=1.60的液体中,凸透镜可向上移动, 如图所示。用波长=500nm的单色光垂直入射。从上往下观察，看到中心是一个暗斑，求凸透镜顶点距平板玻璃的距离是多少。 解 (k=0,1,2…) 中心处: e=eo, k=0 凸透镜顶点距平板玻璃的距离: =78.1nm

42. M2 1 M1 G1 G2 s 2 图20-16  §20-5 迈克耳逊干涉仪 时间相干性 一.迈克耳逊干涉仪 M1和M2是两块平面反射镜,其中M2是固定的,M1可作微小移动。G1有一半透明的薄银层,起分光作用。G2起补偿作用。M1′是M1对G1形成的虚像。M2和M1′间形成一空气薄膜。 当M1、M2严格垂直时,M1′和M2之间形成等厚空气膜,可观察到等倾条纹的圆形条纹;当M1、M2不严格垂直时,M1′和M2之间形成空气劈尖,这时可观察到等厚干涉的直线条纹。

43. (20-10) M2 1 M1 G1 G2 s 2 图20-16  每当M1移动/2 ,光线1、2的光程差就改变一个，视场中就会看见一条条纹移过。 如果看见N条条纹移过，则反射镜M1移动的距离是 迈克耳逊干涉仪有着广泛的用途,如精密测量长度、测媒质的折射率、检查光学元件的质量和测定光谱精细结构等。

44. M2 1 e n M1 G1 G2 s 2 图20-16 = 51538Å  例题20-12把厚度为e、折射率为n=1.40的透明薄膜插入迈克耳逊干涉仪的一臂(一条光路)中，(1)求光线1、2光程差和位相差的改变量；(2)若插入薄膜的过程中，观察到7条条纹移过，所用波长=5890Å，求薄膜的厚度e=? 解(1)  =2(n-1)e ; (2) 能否用下式求解： 应由: =2(n-1)e=7  , 得：

45. 波列长x = c t 二.时间相干性 前面讲到，由于原子发光的间歇性和随机性，不同原子发出的光是不相干的，同一个原子不同时刻发出的光也是不相干的。要得到相干光，只有将一个原子一次发出的光(一个波列)分为两束再使其相聚。 显然，要产生相干，两束光的光程差就必须小于一个波列长度：  <  x—相干长度

46. < 问：为什么窗玻璃在阳光下看不见干涉条纹？ =(7900-3900)Å，=6000 Å 算得相干长度： x=9×10-7m= 9×10-4mm 显然，光线在窗玻璃上下反射后的光程差已远超过上述数值，故看不见干涉条纹。 He–Ne激光： =6328Å， =10-7Å 相干长度： x=40km 可见，激光的相干性很好。 *20-6 偏振光的干涉和应用 (自学)

47. 衍射屏 衍射屏 观察屏 观察屏 L ¢ L L l l S * a l ³ 10-3 a S * 图20-17 图20-18 §20-7单缝的夫琅和费衍射 一.光的衍射现象 光在传播路径中遇到障碍物时,能绕过障碍物边缘而进入几何阴影传播,并且产生强弱不均的光强分布，这种现象称为光的衍射。

48. dE(p)  · dS p Q S(波前) P点的合成光强： 设初相为零 I = E2 图20-19 二.惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯原理：媒质中波所传到的各点都可看作是发射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就决定新的波阵面。 菲涅耳指出:波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产生干涉。“子波相干叠加”—这就是惠更斯-菲涅耳原理。 P点的合振动：

49. 有限远 有限远 无限远 菲涅耳衍射： 有限远 光源 障碍物 观察屏 无限远 有限远 观察屏 无限远 夫琅和费衍射： 无限远 图20-20 S * 衍射的分类 干涉和衍射的主要区别是什么？ 干涉是有限多条光线的相干叠加；衍射是无限多条光线的相干叠加。

50. p  A b o C S B * f 图20-21 三. 单缝的夫琅和费衍射 当衍射角=0时， 设平行单色光垂直入射。 平行于主轴的光线都会聚于o点,且没有光程差，故它们相互干涉加强,在o点处形成一平行于缝的明条纹,称为中央明纹。 对衍射角 ，两边缘光线A、B的光程差是 =BC=bsin