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第 2 章 轴向拉伸与压缩

第 2 章 轴向拉伸与压缩. 本章主要内容. §2–1 引言 §2–2 用截面法计算拉 ( 压 ) 杆的内力 §2–3 拉压杆的强度条件 §2-4 拉压杆的变形 胡克定律 §2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能 §2-6 温度和时间对材料力学性能的影响 §2-7 拉伸、压缩超静定问题. §2 – 1 引言. 一、概念. 轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。. 轴向拉压的变形特点：. 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。. 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。. 力学模型如图.

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第 2 章 轴向拉伸与压缩

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  1. 第2章 轴向拉伸与压缩

  2. 本章主要内容 §2–1 引言 §2–2 用截面法计算拉(压)杆的内力 §2–3 拉压杆的强度条件 §2-4 拉压杆的变形 胡克定律 §2-5 材料拉伸和压缩时的力学性能 §2-6 温度和时间对材料力学性能的影响 §2-7 拉伸、压缩超静定问题

  3. §2–1 引言 一、概念 轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点： 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。

  4. 力学模型如图 轴向拉伸，对应的外力称为拉力。 轴向压缩，对应的外力称为压力。

  5. 二、工程实例

  6. §2–2 用截面法计算拉(压)杆的内力 一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。

  7. 二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。 ② 代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力 （力或力偶）代替。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。 （此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）

  8. A P P A P P 简图 P N A 例如： 截面法求N。 截开： 代替： 平衡： 2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。

  9. N N N>0 N N N<0 + 3. 轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力) 三、轴力图—N(x)的图象表示。 ①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观； ②反映出最大轴力的数值 及其所在面的位置， 即危险截面位置，为 强度计算提供依据。 意义 N P x

  10. D D O A A B B C C PA PA PB PB PC PC PD PD N1 [例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 解： 求OA段内力N1：设置截面如图

  11. D B C PB PC PD D C PC PD N4 N2 N3 + + – 同理，求得AB、BC、CD段内力分别为： N2= –3PN3= 5P N4= P D PD 轴力图如右图 5P N 2P P x 3P

  12. 8kN 5kN 3kN + – 轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右: 遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。 5kN 8kN 3kN

  13. Nx x – [例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为： q(x) L q(x) q x O qL N x O

  14. P P P P 四、应力的概念 问题提出： 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 1. 定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。

  15. M P A 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 2. 应力的表示： ①平均应力 (A上平均内力集度) ②全应力（总应力）：(M点内力集度)

  16. 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；  p  M 位于截面内的应力称为“剪应力”(Shear Stress)。 ③全应力分解为： 应力单位：Pa = N/m2 M Pa = 106 N/m2 G Pa = 109 N/m2

  17. a b d c P a´ P b´ c´ d ´ 五、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设： 变形前 受载变形后：各纵向纤维变形相同。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 （直杆在轴向拉压时）

  18. s N P 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。 2. 拉伸应力： 轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。 拉正压负. 3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。

  19. 4. Saint-Venant原理： 离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。 变形示意图： (红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图： 5. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。

  20. §2–3 拉（压）杆的强度条件 一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力. 二、安全系数n ：静载: n = 1.25 ~ 2.5 动载: n = 2 ~ 3.5 or 3 ~ 9 (危险性大) 采用安全系数原因: 1.极限应力的差异. 2. 横截面尺寸的差异. 3.载荷估计不准. 4.应力计算的近似性. 5.构件与工程的重要性. 6.减轻设备自重的要求. n↑安全 ↔ n↓经济 三、许用应力： 杆件能安全工作的应力最大值

  21. 四、强度条件(拉压杆)： 其中 max--（危险点的）最大工作应力 五、三类强度问题： 依强度准则可进行三种强度计算： ①校核强度： ②设计截面尺寸： ③确定许可载荷：

  22. [例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解：① 轴力：N = P=25kN ②应力： ③强度校核： ④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。

  23. q 8.5m [例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力[]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。 4.2m 钢拉杆

  24. 解： ① 整体平衡求支反力 q 4.2m HA 钢拉杆 RA RB 8.5m

  25. ② 局部平衡求 轴力： q HC ③应力： RC HA N RA ④强度校核与结论： 此杆满足强度要求，是安全的。

  26. [例5] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角  应为何值？ 已知 BD杆的许用应力为[]。 L 分析： x A B C q P h D

  27. q L x A XA B C P YA NB 解：BD杆内力N(q )： 取AC为研究对象，如图 BD杆 轴力最大值:  BD杆面积A：

  28. q L x A XA B C P YA NB ③ 求VBD的最小值：

  29. k P P a k k P Pa a k 拉(压)杆斜截面上的应力 设有一等直杆受拉力P作用。 求：斜截面k-k上的应力。 ①采用截面法切开,左部平衡 由平衡方程：Pa=P ②仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面…… 则： Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。 由几何关系： 代入上式，得： 其中 s0 为 a =0 面,即横截面上的正应力.

  30. k P P a k sa k P a pa = ta a k 当 = 0时， (横截面上存在最大正应力) 当 = 90时， (45 °斜截面上剪应力达到最大) 当 = ± 45时， 斜截面上全应力： 当 = 0,90时， ③pa分解为： Pa 反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。

  31. M s s s s s P 补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。 2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质—a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 3、拉压杆内一点M的应力单元体:

  32. s a  s  0 x t a s s s s 图3 4、拉压杆斜截面上的应力 取分离体如图3， a 逆时针为正； t a 绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：

  33. 例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。 解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：

  34. m P P a n P a 30 60 例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[]=100MPa ；许用剪应力为[]=50MPa ，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定: 在0~60度之间)。 解： 联立(1)、(2)得： B

  35. 讨论：若 P a 30 60 (1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得 B1 解(1)、(2)曲线交点处：

  36. a b d c P a´ P b´ c´ d ´ L L1 §2－4 拉压杆的变形 胡克定律 一、拉压杆的变形及应变　　　　　　　　　　 1、杆的纵向总变形： 3、纵向线应变： 2、线应变：单位长度的变形量。

  37. 4、杆的横向变形： 5、横向线应变： 二、胡克定律 (弹性范围内) 1、拉压杆的胡克定律 E—拉压弹性模量 ※“EA”称为杆的抗拉压刚度。　 2、单向应力状态下的胡克定律　　　　　　　　　　 3、泊松比（或横向变形系数）

  38. A B L1 L2 C P C' C" 例8 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？ 求各杆的变形量△Li，如图； 变形图严格画法，图中弧线； 变形图近似画法，图中弧之切线。

  39. A L1 B L2 C B' 2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系 解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：

  40. P P A B 60° 60° C T T A XA 800 B 400 400 D C YA 例9设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。 解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象 D 2) 钢索的应力和伸长分别为：

  41. A B 60° 60° C D P B' D' A B 60° 60° C 800 400 400 3）变形图如左图 , C点的垂直位移为： D

  42. d h §2－5 材料拉伸和压缩时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；2、试验对象：标准试件。

  43. 3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。

  44. 二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图) 三、低碳钢试件的应力--应变曲线( -- 图)

  45. (二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es段) e s --屈服段: s ---屈服极限 塑性材料的失效应力:s。 滑移线：

  46. (三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段) １、ｂ---强度极限 ２、卸载定律： ３、冷作硬化： ４、冷拉时效：

  47. (四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段) 1、延伸率: 3、脆性、塑性及相对性 2、截面收缩率：

  48. 四、无明显屈服现象的塑性材料 s 0.2 名义屈服应力: 0.2，即此类材料的失效应力。 五、铸铁拉伸时的机械性能 0.2 ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）

  49. 六、材料压缩时的机械性能 ｂy ---铸铁压缩强度极限；ｂy（4 — 6） ｂL

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