3.2 等差数列

1. 3.2 等差数列

2. （一）等差数列的概念： • 先观察几个数列： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56. 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500. 3 ，0 ，- 3，- 6，· · · ； 特点：从第二项起，每一项与它前一项的差 都 等于同一个常数. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公 差通常用字母 d 来表示.

3. （二）等差数列的通项公式： • 设等差数列 { a n } 的首项是 a 1，公差是 d ，那么，根据等差数列的定义， • a 2 – a 1 = d ， a 3 – a 2 = d ， a 4 – a 3 = d ，· · · • 所以，a 2 = a 1 + d ， • a 3 = a 2 + d = ( a 1 + d ) + d = a 1 + 2d • a 4 = a 3 + d = ( a 1 + 2d ) + d = a 1 + 3d • a 5 = a 4 + d = ( a 1 + 3 d ) + d = a 1 + 4d • · · · · · · 等差数列的通项公式： a n = a 1 + ( n –1 ) d .

4. 注： （1）由等差数列的定义可以知道，如果一个等差数列的公差 d > 0，那么这个数列是递增数列；如果公差 d < 0，那么这个数列是递减数列；如果公差 d 等于 0，那么这个数列是常数列 . • （2）在 a 1，a n ，d，n 这四个量中，已知其中的三个量，可以求出另外一个量.

5. 例 1 （1）求等差数列 8 ，5 ，2，· · · 的第 20 项 . （2）-401 是不是等差数列 - 5，- 9，-13， · · · 的项？如果是，是第几项？ 注：要考查数 b 是不是某个数列中的项，首先求 出这个数列的通项公式 a n，然后考察关于 n 的方程 a n = b 即可. 如果 a n = b 有正整数解，则 b 就是这个 数列中的一项，这个正整数解，就是它的项数；如果 a n = b 无解，或者虽然有解，但无正整数解，则 b 就 不是这个数列中的一项.

6. 例 2 在等差数列 { a n } 中，已知 a 5 = 10，a 12 = 31 ，求首项 a 1 与公差 d . • 分析：利用等差数列的通项公式，可以得到关于 a 1 和 d 的两个二元一次方程，解方程组，即可求得 a 1 和 d . • 例 3 梯子的最高一级宽 33 cm ， 最低一级宽 110 cm，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度 . • 分析： 问题等价于， 在等差数列中，已知 a 1 = 33， a 12 = 110，求其它各项 . • 先利用等差数列的通项公式，求出公差 d，而后依次求出其余各项即可 .

7. （三）等差中项： • 定义：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 注：在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项 （有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等差中项 .

8. 例 4 已知数列的通项公式为 a n = p n + q ，其中 p，q 是常数，且 p  0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？ • 分析：由等差数列的定义，要判断 { a n } 是不是等差数列，只要看 a n - a n-1 ( n  2 ) 是不是一个与 n 无关的常数即可 . • 注： （1）公差不为 0 的等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数 . • （2）如果数列的通项公式是关于 n 的一次函数，则这个数列是等差数列

9. 例如首项是 1 公 差是 2 的无穷等差数 列的通项公式为 a n = 2n -1， 相应的图象是直线 y = 2x – 1 上均匀排 开的无穷多个孤立 点. • （3）数列可以用坐标平面上的点来表示，表示等 差数列的点都在一条直线上 .