棱柱和棱锥中的面积和体积问题

1. 棱柱和棱锥中的面积和体积问题

2. 面积问题 体积问题 小结 练习

3. A. 面积问题:侧面积、底面积、截面积

4. S F ∵SO ⊥平面ABC,O是△ABC中心 ∴D是BC的中点. E A C 又∵EF是△SBC的中位线 ∴G是SD的中点根据对称性,AE=AF D B ∴AG ⊥EF ∵平面AEF ⊥平面SCB ∴ AG⊥ 平面SBC， ∴ AG ⊥SD， △ASD是等腰三角形，SA=DA 例1:如图已知正三棱锥S — ABC中,E、F分别是SB、SC 的中点，平面AEF⊥平面SCB. 求：三棱锥S—ABC侧面 积与底面积的比。 解：作正棱锥的高SO，连结AO并延长交BC于D， 连结SD交EF于G，连结AG. G O

5. 设正三棱锥S—ABC的底面边长为 ，则AD= ，SA=SB= 于是： S侧 3 · SD· BC 3SD = = = AD S AD ·BC △ABC S F G E A C O D B

6. 例2.正三棱锥的侧面积为18 cm2,高为3cm.被一个过底面中心且 平行于一个侧面的平面所截,求这个截面与底面所成的角和面积 V F E A C 设正三棱锥底面边长为 cm,AO与BC交于G，连VG设VG=h cm G D B 解：过底面△ABC的中心O作OD∥BC，交AB、AC于D、E，过DE作平面DEF ∥平面VBC，与平面ABV、平面ACV分别交于DF、EF。 O

7. ∴ S侧=3× × ×h=18 h=12 ① 在△VOG中 VG2 =VO2 +OG2 VO = 3 OG = × ② h2 - =9 解①②得h=2 =6 由VO V S截面= × DE×OF DE= =4 OF= VG= = = OG F S截面= E A C O G D B ∠AGV= ∠AOF=600

8. B.体积问题:V棱柱=sh V棱锥= sh C1 B1 A1 O C A B 例3.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都是2， 侧棱与底面成 角，且侧面ABB1A1⊥底面ABC （1）求证：B1C ⊥平面ABC1 （2）求C1A与A1B1所成的角 （3）求三棱锥B1—ABC1的体积 D

9. C.练习: 1.正方体的棱长位 , 以它的上底面中心以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧面积是_______. 2.已知三棱锥的两个面是边长为 的正三角形,另外两个面是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积____________.

10. D. 小结 1.棱柱 S侧 = c h (c为直截面周长,h为侧棱长) 棱锥 S侧= xy (x为底面周长,y为斜高) 2.求截面积时充分利用棱锥的性质定理. 3.把解柱、锥中的综合问题转化为若干个三角形 的基本问题来解决。