Il rumore termico

1. Il rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico con l’ambiente circostante. Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e può fare parte dei limiti intrinseci alla loro sensibilità. Il rumore termico Antenna Interferometrica Virgo Antenna Risonante Explorer (termico dei modi normali)

2. Il rumore termico Introduzione storica: Le prime osservazioni di Robert Brown; Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano; L’equazione di Langevin Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione Il rumore termico di un’oscillatore armonico Il rumore termico del pendolo I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione: effetto termoelastico, bulk superficiali etc… Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti

3. La storia • 1828. Il botanico Robert Brown riferiva di avere osservato il moto caotico di varie specie di particelle abbastanza piccole da restare in sospensione nell'acqua. • Egli escluse presto che fosse un fenomeno biologico, e successivamente esperimenti eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i moti browniani aumentano se: • diminuiscono le dimensioni (a) della particella • diminuisce la densità (r) delle particelle in sospensione • diminuisce la viscosità(h) del liquido ospite. • aumenta la temperatura(T) del liquido ospite. • Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in sospensione per effetto dell'agitazione termica.

4. Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva…. a raggio della particella immersa in una soluzione; h viscosità del solvente; v velocità della particella F Forza di Stokes • Legge di Stokes F = (6p ha)v • le leggi di van’t Hoff sulle soluzioni (come per i gas ideali): • P = rRT/m m massa molecolare delle particelle; r densità delle particelle in soluzione; P pressione osmotica R costante dei gas

5. L’interpretazione di Einstein (1906) (sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi)) Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Essa è soggetta • ad attrito viscoso F=-bv, dove b è il coefficiente di attrito viscoso e v è la velocità della particella • alla forza aleatoria risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido: • Isotropa a media nulla: <f(t)>=0 • Scorrelata:<fa(t)fa(t-t’)>=Fo2 d(t-t’) • Gaussiana Equilibrio termico La forza per unità di volume è data da: F (r N/m) = d P/dx • Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff P = (n/V) RT = (r /m) RT d P/dx = (RT/m) dr /dx F (r N/m) = (RT/m) dr /dx N numero di Avogadro (r /m) = (n/V) moli per unità di volume N(n/V) = (r N/m) numero di particelle per unità di volume

6. fluttuazione dissipazione Equilibrio dinamico La forza di attrito viscoso è la forza di Stokes: • Forza di Stokes: F =-6 ph a v = -bv • Abbiamo allora un flusso di particelle: v(r N/m)= (F/b)(r N/m) numero di particelle per unità di area e per unità di tempo • Il flusso di particelle gradiente di concentrazione diffusione nella direzione opposta (F/b)(r N/m) = D (N/m) dr /dx def: Dcoefficiente di diffusione Equilibrio termodinamico equilibrio termico = equilibrio dinamico D= R T/ ( b N) = k T/ b Questo risultato è la base del meccanismo del moto browniano: una forza caotica o fluttuante è bilanciata da una ``forza sistematica'' come la resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes (proporzionale alla velocità) attraverso un processo di diffusione.

7. L’equazione di diffusione Dal punto di vista macroscopico una particella soggetta al un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo δt, uno spostamento δrdistribuito come una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la densita’ di probabilita’ di trovare la particella nella posizione r ad un tempo t.

8. Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio termico con l'ambiente. • In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media kbT. • Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico. • Esso si manifesta con le fluttuazioni casualidell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità.

9. L’equazione di Langevin(sistema macroscopico all’equilibrio termico, approccio statistico) Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco) All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia ): Forza stocastica dovuta alle fluttuazioni termiche Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (bv) e la forza (stocastica) che eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico)

10. L’intensità del rumore termico di un sistema macroscopico è strettamente legata ai processi dissipativi presenti in esso.

11. Il teorema fluttuazione-dissipazione Nel dominio delle frequenze(*) possiamo sempre scrivere la risposta di un sistema lineare ad una forza esterna F(w) come: Dove H(w) è la funzione di trasferimento e Z(w) l’impedenza del sistema Il teorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue: L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza

12. Il moto termico dell’oscillatore armonico Frequenza di risonanza Fattore di merito Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione

13. Principio diEquipartizione Kramers-Kronig

14. L’effetto delle dissipazioni sul rumore termico dell’oscillatore armonico • L’energia delle fluttuazioni è concentrata attorno alla risonanza • L’andamento fuori risonanza dipende dalla dissipazione w » wo Cost w-4

15. I meccanismi dissipativi strutturali(dissipazioni interne del materiale) nello spazio delle frequenze termine di memoria Il termine dissipativo F(w) (angolo di perdita) tiene conto di tutti i tipi di dissipazioni interne del materiale:

16. Dissipazioni strutturali: F(w) = Fo w-1 w-5 Dissipazione viscosa Dissipazione interna Presenti in tutti i materiali

17. Misura delle dissipazioni • La misura delle dissipazioni avviene misurando il fattore di merito del sistema: Realizzare sistemi con alti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia delle fluttuazioni intorno alla risonanza

18. Il rumore termico del pendolo Momento di richiamo dei fili • Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla piegatura dei fili. x=Lq Y Modulo di Young rf raggio del filo Ltensione del filo Frequenza del pendolo (misurata) L m

19. Il rumore termico del pendolo voglio esprimere questa espressione con grandezze misurate: Fattore di diluizione a parità di angolo di perdita il pendolo presenta delle perdite più basse rispetto a quello dato dalla sola elasticità del materiale (L=Mg/4):

20. Il rumore termico del pendolo di torsione Momento di richiamo dei fili • Le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla torsione dei fili. Frequenza del pendolo di torsione G: modulo di elasticita’ a torsione L: lunghezza del pendolo I: momento d’inerzia della massa sospesa

21. Il rumore termico del pendolo di torsione In questo caso non beneficiamo del fattore di diluizione presente nel caso del pendolo, quindi le perdite strutturali e quelle viscose contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore di merito totale dei modi torsionali

22. Antenna InterferometricaVirgo • Il rumore termico di pendolo domina tra 10Hz e 50 Hz (sopra la risonanza) • Il rumore termico degli specchi domina tra 50Hz e 300 Hz (sotto le risonanze) • Il rumore termico dei fili domina alle risonanze (modi di violino) • Per abbassare il rumore termico fuori risonanza bisogna ridurre le dissipazioni. • Riducendo le dissipazioniiltermicodeiviolini e’ concentratoallerisonanze

23. I meccanismi interni di dissipazione Dissipazioni Termoelastiche Dissipazioni strutturali Dissipazioni superficiali

24. Dissipazioni termoelastichefte(w) • sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni. • Y modulo di Young del materiale • acoefficiente di dilatazione termica • t il tempo caratteristico della diffusionedel calore nel materiale e dipendente dalla sua geometria • C è la capacità termica del materiale. E’ importante scegliere un materiale con questo punto fuori della banda rivelazione Punto di massima dissipazione

25. Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto Dissipazioni superficiali Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie Wtot è l’energia elastica totale Dissipativa Nel caso delle sospensioni di Virgo: mw fattore geometrico hsb spessore della zona di frizione Sw =2prwLw superficie laterale del filo Vw = p rw2Lw volume del filo Non Dissipativa

26. Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie Wtot è l’energia elastica totale Dissipativa Nel caso delle sospensioni di Virgo: mw fattore geometrico hsb spessore della zona di frizione Sw =2prwLw superficie laterale del filo Vw = p rw2Lw volume del filo Non Dissipativa Dissipazioni superficiali 26

27. Rumore termico degli specchi • Equipartizione dell’energia: • Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modi • meccanici degli specchi; • Sono importanti tutti quei modi che si accoppiano • con il modo ottico dell’interferometro; Massa equivalente del modo i Le dissipazioni dei coating sono molto importanti

28. Modi degli specchi (0,2 Mode) Simulation Measured Modes splitting NI: (3917.2 ± 0.5) Hz (NI/WI)3912.6 Hz-3916.7 Hz WI: (3916.0 ± 0.5) Hz Modes splitting NE: (3883.0 ± 0.5) Hz (NE/WE)3882.4 Hz-3882.6 Hz WE: (3884.2 ± 0.5) Hz The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and spacers.

29. (1,0 Mode) SimulationMeasured NI/WI: 5584.9Hz NI: (5585.7 ± 0.5) Hz WI: (5583.5 ± 0.5) Hz NE/WE: 5546.1Hz NE: (5543.2 ± 0.5) Hz WE: (5545.6 ± 0.5) Hz

30. Simulation North/West Input 7595.3 Hz-7602.6 Hz North/West End 7551 Hz-7558 Hz These modes were not observed. (0,3 Mode)

31. North Input: (3917.2 ± 0.2) Hz (5584.7 ± 0.2) Hz North End: (3883.0 ± 0.2) Hz (5543.2 ± 0.2) Hz

32. North End: t3883 = (110 ± 3) s t5543 = (16.2 ± 0.1) s North Input: t3917 = (70.6 ± 0.4) s t5584 = (37.8 ± 0.7) s North End: Q3883 = (1.34 ± 0.09) 106 Q5543 = (2.82 ± 0.02) 105 North Input: Q3917 = (8.69 ± 0.05) 105 Q5584 = (6.6 ± 0.1) 105

33. Il rumore termico nella curva di sensibilità dell’interferometroVirgo I modi torsionali non sono presenti direttamente. Ma giocano un ruolo importante se nel controllo dell’interferometro.

34. Come abbassare il rumore termico in un’antenna interferometrica • Abbassare le dissipazioni (Virgo Advanced) • Pendoli sospensioni monolitiche (silice fusa) termoelastico ridotto dissipazioni superficiali ridotte • Specchi coating meno dissipativi substrati meno dissipativi • Abbassare la temperatura (Virgocriogenico) • Criogenia

36. Rumore nelle antenne risonanti Modi normali n- n+