1. 心理任想出一個三位數（規定不要完全相同） 2. 將此三位數找出最大、最小的。 3. 例如： 560 最大為 650 ，最小為 056 。 4. 將最大值減去最小值，得到新的三

1.心理任想出一個三位數（規定不要 完全相同） 2.將此三位數找出最大、最小的。 3.例如：560最大為650，最小為056。 4.將最大值減去最小值，得到新的三位數。 5.重複上述動作，三位數會怎樣？

任意三位數相減 495 • （最大－最小）之值經過有限次將成為。 • abc-cba=(100a+10b+c)-(100c+10b+a) • =100(a-c)+(c-a) • =100(a-c)-(a-c) • =99(a-c)

981-189=792 [(10×99-9)-(2×99-9)]=8×99 • 972-279=693 [(10×99-18)-(3×99-18)]=7×99 • 963-369=594 [(10×99-27)-(4×99-27)]=6×99 • 954-459=495 [(10×99-36)-(5×99-36)]=5×99

(a-c) • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • 99(a-c) • 99 198 297 396 495 594 693 792 891

1.推廣上述情形至四位數，會如何？ 2.為何會有如此之現象？

考慮四位數a,b,c,d 6174 • 經過有限次後將成為6174。 • （且a≧b≧c≧d） • 最大：abcd=1000a+100b+10c+d • 最小：dcba=1000d+100c+10b+a • abcd-dcba= • 1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+(d-a) • =999(a-d)+90(b-c) • a-d≧b-c

98 10-0189=9612 • [(9×1000+9×90)-(2×90+9)]=9×999+7×90+ • 9621-1269=8352 • [(9×999+7×90)-(1×999+3×90)]=8×999+4×90 • 8532-2358=6174 • [(8×999+6×90)-(2×999+4×90)]=6×999+2×90 • 7641-1467=6174 (7×999+7×90+18)(1×999+5×90+18)=6×999+2×90

9441-1449=7992 • 9972-2799=7173 • 7731-1377=6354 • 6543-3456=3087 • 8703-0387=8325 • 8532-2358=6174 • 7641-1467=6174

1. 心理任想出一個三位數（規定不要 完全相同） 2. 將此三位數找出最大、最小的。 3. 例如： 560 最大為 650 ，最小為 056 。 4. 將最大值減去最小值，得到新的三