第七章 LTI 离散时间系统在变换域中的分析

1. 第七章LTI离散时间系统在变换域中的分析

2. 主要内容： • 基于幅度特征的传输函数分类 理想幅度响应数字滤波器、有界实传输函数、全通传输函数 • 基于相位特征的传输函数分类 零相位传输函数、线性相位传输函数、最小相位与最大相位传输函数 • 线性相位FIR传输函数类型

3. 传递函数的类型 • 一个线性时不变的数字传递函数序列的时域分类是基于它自身脉冲响应的长度： • —有限脉冲响应传递函数（FIR） • —无限脉冲响应传递函数（IIR） • 就具有频选功能的数字传递函数而言，可以分为两类： • —— 基于幅度函数 H(ei)的类型 • —— 基于相位函数 ()的类型

4. 7.1 基于幅度特性的传输函数 • 一般的分类是基于理想幅度响应 • 让具有某些频率的信号分量没有失真通过，滤波器的频响在对应频率下等于1； • 完全阻止其他频率的信号分量，在这些频率下滤波器的频率响应等于0。 • ——频率响应的值取1的频率范围叫作通带 • ——频率响应的值取0的频率范围叫作阻带

5. 7.1 基于幅度特性的传输函数 • 7.1.1 理想滤波器（ideal filters）

6. 理想滤波器 • 低通滤波器:通带: 0≤ω≤ωc 阻带: ωc≤ω≤π • 高通滤波器:通带: ωc≤ω≤π 阻带: 0≤ω≤ωc • 带通滤波器:通带: ωc1≤ω≤ωc2 阻带: 0≤ω<ωc1 和ωc2<ω<π • 带阻滤波器:阻带: ωc1<ω<ωc2 通带: 0≤ω≤ωc1 和ωc2≤ω≤π 频率c， c1， c2被称为截止频率。 理想滤波器在通带幅度响应为1，在阻带幅度响应为0。并且它的相位都是0。

7. 理想滤波器 • 脉冲响应并非绝对可和的，因此，相应的传递函数并非BIBO稳定的 • hLP[n]是非因果的，是双边无限长的

8. 理想滤波器 • 理想滤波器的单位冲激响应具有以下特性：双边无限长，非因果脉冲响应，不是绝对可和的 • 因此，理想滤波器不能用有限阶数的传递函数的线性时不变滤波器来实现 • 为了得到稳定的、可实现的传递函数，频率响应的要求须适当地加以放宽：在通带与阻带间引入一过渡带； • 这要求幅度响应从通带时的最大值慢慢地衰减到阻带时的0。

9. 可实现的滤波器 • 为了得到稳定的、可实现的传递函数，频率响应的要求须适当地加以放宽：在通带与阻带间引入一过渡带； • 除此之外，允许幅度响应在通带和阻带中有一定程度的波动 • 低通滤波器的典型幅度响应说明如下所示：

10. 7.1.2 有界实传输函数 定义：因果、稳定、实系数的传输函数H(z)，如果满足 对的所有值 则称为有界实传输函数（bounded real (BR) transfer function） 如果 则称为无损有界实传输函数（lossless bounded real (LBR) transfer function）

11. 7.1.2 有界实传输函数 若数字滤波器的传输函数H(z)是BR函数，用x[n]和y[n]表示数字滤波器的输入和输出， 对于一切ω成立 其中X(ejω) 和 Y(ejω)表示它们的 DTFTs 根据Parseval关系可知

12. 若 , 则输出量等于输入量，这种数字滤波器就是所谓的无损系统(LBR) 7.1.2 有界实传输函数 • 因此, 对于一切有限输入而言, 输出量小于或等于输入量。 • 这种关系表明有界实传递函数特点的数字滤波器可以看作被动结构。 • 具有对系数不敏感的数字滤波器实现的关键就是BR和LBR传递函数

13. 当α>0, • 在ω=0时 |H(ejω)|2的最大值为： • 在ω=π时 |H(ejω)|2最小值为： 7.1.2 有界实传输函数 K是一个实数 • 例7.1:考虑因果IIR传递函数 它的幅度平方函数如下：

14. 当α<0, • 在ω=时 |H(ejω)|2的最大值为： • 在ω=0 时 |H(ejω)|2最小值为： 7.1.2 有界实传输函数 • 因此, 当K=±(1-α)时 是BR函数 当α=±0.5 ，K为产生H（z）时所选的值时BR函数的幅度响应图 如下所示

15. 有界实传递函数 低通滤波器 高通滤波器

16. 7.1.3全通传递函数 定义： 无限脉冲响应IIR的传递函数A(z)对于一切频率而言，有单位幅度响应如下： 这种函数被称为全通传递函数 • 一个 M阶有序因果实系数全通传递函数具有如下形式：

17. 7.1.3全通传递函数 • 如果我们把AM(z)的分母多项式记作 DM(z) : 则 AM(z)可以写成下式 : • 从上式中可以看到，若z=rejφ是全通传递函数的极点, 则它也有一个零点z=(1/r)e-jφ

18. 7.1.3全通传递函数 • 实系数全通传递函数的分子可以说是分母多项式的镜像, 反之亦然. • 我们使用符号 表示M阶多项式DM(z)的镜像多项式, 即

19. 7.1.3全通传递函数 • 表达式 表明实系数全通系统函数的极点和零点在Z平面上是镜像对称的

20. 7.1.3全通传递函数 • 为了说明|AM(ejω)|=1我们看到 • 因此 进而有

21. 7.1.3全通传递函数 • 现在, 因果稳定系统的传递函数的极点一定在Z平面上的单位圆内 • 因此,因果稳定的全通函数的所有零点一定是在单位圆外，且与单位圆内的极点成镜像对称的

22. 7.1.3全通传递函数 • 下图给出了三阶全通传递函数的相位的基值： • 可以看到波形在相位θ(ω)为2π时出现了间断

23. 7.1.3全通传递函数 • 如果我们通过去除间断点将相位展开，我们将得到展开的相位函数 θc(ω)，如下所示 注意: 展开的相位函数是ω的连续函数 结论：任何的因果稳定全通系统的相位展开函数就是ω的非正连续函数

24. 7.1.3全通传递函数

25. 7.1.3全通传递函数 因果稳定全通函数的性质： 1、因果稳定的全通传输函数为LBR（lossless bounded response）传输函数 2、全通函数 的幅度：

26. 其中 是 的相位展开函数，稳定全通函数的 是递减函数，因此有： 3、定义全通函数的群延时为 可以证明： 随着从0变到，M阶全通函数相位变化为M

27. G(z) A(z) 全通传递函数 • 因为|A(ejω)|=1, 则 整体的群延时是G(z) 和 A(z)群延时的叠加

28. 全通传递函数 • 例如:下图就给出了一个四阶有序的椭圆滤波器的群延时，这种滤波器具有以下指标：: ωp=0.3π, δp=1dB, δs=35dB

29. 全通传递函数 • 下图给出了原始椭圆滤波器的群延时，这种滤波器与一个被用于均衡通带内的群延迟的八阶全通单元相级联

30. 7.2 基于相位特性的传输函数分类 • 传递函数的另一种分类是关于它的相位特性的 • 在许多应用中, 被设计的数字滤波器不能扭曲带有带通频率的输入信号的相位，这是必要的

31. 7.2.1 零相位传递函数 • 为了设计具有零相位的滤波器，一种避免任何相位失真的方法就是让滤波器的频率响应是实数和非负的 • 但是，设计一种有零相位的因果数字滤波器则是不可能的

32. v[n] w[n] u[n] x[n] H(z) H(z) u[n]=v[-n], y[n]=w[-n] 7.2.1 零相位传递函数 • 对于有限长输入信号的非实时处理，通过放宽因果关系的要求可以很容易的实现零相位滤波器的方法 • 下图就是一个零相位的滤波方案 用 X(ej) ,V(ej) ,U(ej) ,W(ej)和Y(ej)表示x[n], v[n], u[n], w[n],和 y[n]的DTFTs

33. v[n] w[n] u[n] x[n] H(z) H(z) u[n]=v[-n], y[n]=w[-n] 7.2.1 零相位传递函数 V(ej)= H(ej)X(ej) , W(ej)=H(ej)U(ej) U(ej)= V*(ej), Y(ej)= W*(ej) • 结合上面的等式，我们可以得到 • Y(ej) = W*(ej) = H*(ej)U*(ej) = H*(ej)V(ej) = H*(ej)H(ej)X(ej) = |H(ej)|2X(ej) • 这是个有频率响应|H(ej)|2的零相位滤波器

34. 7.2.1 零相位传递函数 • 函数 fftfilt能够实现零相位滤波 • 就非零相位响应的因果传递函数而言,通过以下方式可以避免相位失真，那就是使传递函数在所需的频带内有单位幅度响应和线性相位特性

35. 在 到 之间具有线性相位特性 7.2.2 线性相位传递函数 线性相位滤波器最一般的类型都有如下的频率响应 即：

36. 对于输入 ，该滤波器的输出y[n] 为： 7.2.2 线性相位传递函数 • 设xa(t)和ya(t)表示连续时间信号， x[n] 和 y[n]是该信号在t = nT时的抽样； • 则xa(t)和ya(t)间的延时正好是数量为D的群延时

37. 7.2.2 线性相位传递函数 • 若D是整数, 则y[n] 和x[n]是相等的,但延时D个样本 • 若D不是整数,则y[n]被延时一个小数部分因而不等于x[n] 结论： 若想要不失真地传输信号，要求： 传递函数应在感兴趣的频带内具有单位幅度响应和线性相位响应

38. 7.2.2 线性相位传递函数 • 右图给出了在通频带中有线性相位特性的低通传递函数的频率响应

39. 7.2.2 线性相位传递函数 • 由于在阻带中的信号分量是阻断的, 其相位响应可能是任一种形状 • 例如 – 决定具有线性相位响应的理想低通滤波器的脉冲响应: 可得： • 是非因果的且 是双边无限长脉冲响应序列，因此是不可实现的

40. 7.2.2 线性相位传递函数 • 通过将无限长脉冲响应序列截短成有限长序列，可产生一个近似于理想低通滤波器且可实现的滤波器 • 依靠所选的n0值 ，这种经截短得到的滤波器可以是线性相位的或者不是线性相位的

41. ^ 7.2.2 线性相位传递函数 • 若我们选取n0= N/2 ， N为一个正整数,，则截短并移位后的近似值 将是一个长度为N+1 的因果线性相位FIR 滤波器

42. 7.2.2 线性相位传递函数 • 通过函数sinc对两个不同的N值产生的该滤波器的系数如下图所示

43. ~ ^ ^ ~ 被称为零相位响应或幅度响应 ，它是w的实函数 7.2.2 线性相位传递函数 • 由于两图中脉冲响应系数的对称性, 截短后的近似频率响应表达式为：

44. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • 考虑两个一阶传递函数: • 这两个传递函数在单位圆内z=-a处都有一个极点，且都是稳定的 • H1(z)的零点z=-b ,在单位圆内 • H2(z)的零点z=-1/b，在H1(z)的零点的镜像对称处。 • 这两个传递函数都有一个同样的幅度函数

45. H1(z) H2(z) 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • 下图给出了这两个传递函数的极零点图

46. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • 两个传递函数都有一个同样的幅度函数： 相应的相位函数如下

47. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • 下图给出了两个传递函数在 a = 0.8 和 b = -0.5处的展开的相位响应 • 从图中可知H2(z) 相对于H1(z)会存在相位滞后

48. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • H2(z) 相对于H1(z) 的相位滞后特性也能从下式中看出 • A(z)个稳定的全通函数 • H1(z)和H2(z)的相位函数因此也有如下关系:

49. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • H1(z)和H2(z)的相位函数因此也有如下关系: 因为:一个稳定的一阶全通函数的展开的相位函数是ω的负函数, 由此可知H2(z) 相对于H1(z)确实存在相位滞后 • 推广：所有零点都在单位圆内的因果稳定传递函数称为最小相位传递函数

50. 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数 • 令Hm(z)是最小相位传递函数，而H(z)是另外一个因果稳定传递函数，且满足： 这两个函数可表示为： 其中A(z)是稳定的全通传递函数