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余姚市舜江中学周建波. 二〇一二年三月. 资优生培养 —— 数学自主招生考试中的典型问题. 含字母系数的方程（函数）问题 复杂方程问题 整数解问题 求最值问题. 例 2 ．求使关于 x 的方程 的根都是整数的 k 的值 .( 江苏省竞赛题 ). 一、含字母系数的方程（函数）问题. 一般分三步走：（ 1 ）定性. 例 1 ．若关于 x 的函数 y ＝ ( a － 3) x 2 － (4 a － 1) x ＋ 4 a 的图象与坐标轴有且仅有两个交点，则 a 的值为 ________ ．.
E N D
余姚市舜江中学周建波 二〇一二年三月
资优生培养 ——数学自主招生考试中的典型问题
含字母系数的方程（函数）问题 • 复杂方程问题 • 整数解问题 • 求最值问题
例2．求使关于x的方程 的根都是整数的k的值.(江苏省竞赛题) 一、含字母系数的方程（函数）问题 一般分三步走：（1）定性 例1．若关于x的函数y＝(a－3)x2－(4a－1)x＋4a的图象与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为________． a=3或a≠3 k=0或k≠0
例3．已知二次方程 有两个不相等的实数根，且这两个根分别等于某个直角三角形两个锐角的正弦值，则m=______(09慈溪) 例4．若关于x的方程 至少有一实根大于1，则a取值范围是_______ (2010余姚) （2）分解（易求根必求根）
例5．若关于x的方程 三个实根可以作为三角形的三边长，则实数m的取值范围是_______(2010余姚)
（3）以形驭数 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.” “数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
例6方程 实根的情况是 （ ）(2011余姚) A．仅有三个不同实根 B.仅有两个不同实根 C.仅有一个实根 D.无实根 初中阶段解决的方程、函数问题时，可以借助于研究函数图象的性质来达到。函数图象的几何特征与函数、方程的数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 解决：根的定性及根的范围的判断
2.4二次函数的应用（3）课本探究活动： 在例2中，我们把一元二次方程X²+X－1= 0的解看做是抛物线y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解。如果把方程x²+x-1 = 0变形成x² = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
又如：方程 的实数根个数为（ ）（09宁海） A．0 B.1 C.2 D.3 例7．抛物线 与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，求a的取值范围_______. 把方程的解看作是函数的交点 由图象性质来解决 （2，0）
例8．已知方程 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a的取值范围是________ (07萧山) （1，0） （2，0） 方程的解是一个范围的情况，如果直接用方程求根的办法去解那是非常麻烦的，所以把方程的根看作函数图象与x轴的交点，再用函数的性质去解决
例9．已知m，n为整数，关于x的方程 的两实数根都大于0且小于1，则m+n=__________. 且
利用图象的直观性去解决 例10.有一关于x的方程 有一正实数根，则a的取值范围是（ ） A．a>1或 B. a>1 C. a>1 或a=-3 D. a>1或 或a=-3
如．函数y=b的图象与 的图象恰有三个交点，求b=______ (0.5，-6.25) (3.5，-12.25)
又如：设直线 与函数 的图象交于三个不同的点，则实数a的取值范围是（ ）（07北仑） A (0,2) B A． B. C. D. (2，3)
例11．已知关于x的方程 恰好有两个不同的实根，求t的值和相应的实根。（2011余姚） (-2,0) O
又如：方程 有四个实数解，则实数k的取值范围是（ ） A．1<k<3 B.k>3 C. k>1 D.0<k<1 (-2,0)
设 又如：定义 （1）已知方程 ，求方程的解 （2）若方程 有2个实数解，求实数t的取值范围.
二、复杂方程问题 配方法 例12．不含字母的复杂方程求解 （1）解方程：
（3）例：方程 的实数解_______ (安徽省竞赛题) 主元Δ法 （4）解方程： 换元法
例13．a为常数，关于x的方程 在实数范围内仅有一个解，求a的范围. 已知关于x的方程 有且只有一个实根，则实数a的取值范围___________. （11余姚） 2．含字母的复杂方程问题 转化为二次方程
例14．关于x的方程 有两个不同的实根，求a的值. 原式变形为 设 方程 恰有2个不同实解，则实数a的取值_________ 转化为二次方程的另一种办法是换元法
例15．a为正整数，关于x的方程 至少一个整数解，求a的值. 反客为主型 －2≤x≤1
例16．使代数式 的值为整数的全体自然数x的 和是（ ）（08鄞州中学） A．5 B.11 C.12 D.22 = = 又如 三、整数解问题 1．整数分离法
中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求此数？
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
设 得 N= 设 得 N= N最小的整数为23
例17．一家餐馆要想拥有很多老顾客，菜单的设计就要富有变化，某餐馆的老板提出一份计划，她保证一年当中没有任何两天的菜单会一模一样，她把每天的餐饮分为四大类。包含有：（1）马铃薯等主食类；（2）肉类；（3）蔬菜类；（4）甜点。下面列出各类的细目。例17．一家餐馆要想拥有很多老顾客，菜单的设计就要富有变化，某餐馆的老板提出一份计划，她保证一年当中没有任何两天的菜单会一模一样，她把每天的餐饮分为四大类。包含有：（1）马铃薯等主食类；（2）肉类；（3）蔬菜类；（4）甜点。下面列出各类的细目。 在这一年的第一天，菜单是炸薯片、猪肉、豌豆和苹果派，然后在第二天再换到第二行，当一列内所有项目皆轮过一遍之后，再依序从最上面一项开始轮起。例如某一天的菜单是米饭、鱼肉、豆芽和苹果派，则次日的菜单是炸薯片、牛排、豌豆和冰淇淋。 请问同一种菜式的菜单经多久才会再重复一次？第100天的菜单为何？又哪一天的菜单是烤马铃薯、羊肉、卷心菜和苹果派？（06余姚） 炸薯片 煮马铃薯 烤马铃薯 米饭 猪肉 羊肉 鸡肉 鱼肉 牛排 豌豆 胡萝卜 甜玉米 菠菜 花椰菜 卷心菜 豆芽菜 苹果派 冰淇淋 水果沙拉 即被4除余3，被5除余2，被7除余6，被3除余1
例18．求方程 的自然数解. 2．函数法
例19．求使关于x的方程 的根都是整数的k的值.(江苏省竞赛题) 3．一元二次方程的整数根 韦达定理且因式分解法 ，
例20．求方程 的非负整数解 用根的判别式法
（m-3)2-n2=8 (m-3＋n)(m-3-n)＝8 另一种情况是考虑到整数根，判别式一定是完全平方数 如：设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。 令Δ=(m-1)2-4m＝n2
更换主元法 例21．已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值。（“祖冲之杯”邀请赛） (x＋2)2a= 2(x＋6) ∵a≥1 ∴x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0， ∴-4≤x≤2(x≠-2)
2.试确定对于怎样正整数a，方程 有正整数解？并求出方程的所有正整数解．（11年全国联赛江西初赛） 其他求整数根的方法还有 1.求方程 的整数解（ ）(04余姚) A．不存在 B.仅有一组 C.恰有2组 D.至少有4组
代数基本定理 (其中 为整数)这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是 的约数 3.已知是正整数，如果关于的方程 的根都是整数，求的值及方程的整数根.（全国初中数学竞赛）
四. 求最值问题 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在众多知识点及知识水平层面上，以最值为载体可以考查中学数学的绝大多数知识点，实践分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，提高学生的思维能力、实践和创新能力。因此它在初中数学中占有比较重要的地位，特别在初中数学竞赛及重点中学自主招生考试中，作为一个可以深挖的内容一直十分活跃。 1．几何最值问题 费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”。
引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为： 在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。 A P B C
利用两点之间线段最短进行求最值问题 例22．如图.一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程是__________. 化曲为直
例23.（1） 在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时， 的值为（05余姚） A C B D 化曲为直的另一种方法就是轴对称法
A C D B （2）已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为．（08慈溪） （3）如图，在直角坐标系内有两个点A（－1，－1），B（2,3），若M为x轴上一点，且使MB－MA最大，求M点的坐标，并说明理由. （02鄞州中学提前招生数学试卷） M
又如：如图所示，已知RtΔABC中，∠B＝90°， AB＝3，BC＝4，D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，则DE＋EF＋FD的最小值为________．
费马点的作法及证明 D E A P B C 解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
D E A P B C 证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。 ∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆 ∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60° 同理：∠APC=∠BPC=120° 以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF， 以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60° ∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。 ∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD 另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心 将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。 则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。 GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。 从而CD为最短的线段。 P′
一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？ 解：用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得． B′ C A B
例24．已知函数S= ,求S的最小值 2．代数最值求法 （1）代数最值几何求 常规方法是零点分段法讨论 几何意义是在数轴上表示x的点到表示点2与点4的距离和的最小值
又如：有A、B、C、D、E 5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等，要求相邻的同学之间作相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有 面（ 时即为A给B有面； 时即为B给A有 面．以下同），B给C有 面，C给D有 面，D给E有 面，E给A有 面，问 、 、 、 、 分别为多少时才能使调动的小旗总数 最小？（07慈溪） 根据图象当 时，取得最小值为12
B A C D 例25．若 ，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值 如：如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为9km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？ 9-x x
