第八章

1. 第八章 矩阵特征值和特征向量计算

2. 主 要 内 容 第一节 引言 第二节 幂法及反幂法 幂法 加速方法 反幂法 第三节 豪斯霍尔德方法 正交相似变换(1) 正交相似变换(2) 第四节 QR 方法

3. 第八章. 矩阵特征值和特征向量计算 8.1 引言 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。 以下是一些准备知识

5. 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.

6. 机器 求解

7. 定理1

11. 注

12. 重要结论 亏损矩阵

13. 一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。

18. 则

19. 对于矩阵特征值界如何估计？

20. 称为

21. 或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中.或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中. (2)如果A的m个圆盘组成一个连通的并集S， 分离的， 个圆盘是 且S与余下的 n-m 则S内包含A的m个特征值

22. 特别：若A的一个圆盘 ,则 与其它圆盘是分离的即孤立的 中精确地包含A的一个特征值.

25. 即结论得证.

27. 由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，

28. 由于D1是孤立的所以， 所以D1内恰包含A的一个实特征值

29. 问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？ 解决途径：若能够改变圆盘的半径，则 有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围. 事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的 某些圆盘半径及连通性发生变化.

30. 具体实施?

32. 对上边同一例题

35. §2. 幂法和反幂法. 一、幂法 幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值 与相应的特征向量的迭代方法。 适合于大型稀疏矩阵 反幂法是计算Henssenberg阵或对角阵 的对应一个给定近似特征值的特征向量 的有效方法.

36. 即 且有完全的特征向量组

37. 幂法的基本思想： 任意取一个非零的初始向量 由矩阵A 构造一个向量序列

38. 称为迭代向量。由此计算特征值和特征向量。

42. 必有

44. 主特征值

45. 即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.

49. 注意