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莫爾圓應力分析

莫爾圓應力分析. ( 動畫資源取材自張國彬 葛兆忠老師 ) 2005.03.23. 同學複習囉. 問題 1 一般常見應力狀態分成哪幾種？. Y. 應力狀態分析. X. 1. 單軸應力狀態： 單軸壓縮 單軸拉伸 2. 雙軸應力狀態： 雙軸拉壓 平面應力 3. 三軸應力狀態：. 單軸應力狀態. (a). (b). P. P.

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莫爾圓應力分析

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Presentation Transcript

  1. 莫爾圓應力分析 (動畫資源取材自張國彬 葛兆忠老師) 2005.03.23

  2. 同學複習囉 問題1 一般常見應力狀態分成哪幾種？

  3. Y 應力狀態分析 X 1.單軸應力狀態： 單軸壓縮 單軸拉伸 2.雙軸應力狀態： 雙軸拉壓 平面應力 3.三軸應力狀態：

  4. 單軸應力狀態 (a) (b) P P P 垂直面受力(a) σθ θ θ P P P τθ 斜截面受力(b)

  5. 單軸應力分析--垂直面 物體垂直斷面承受一拉力

  6. 單軸應力分析-斜截面 P於斜截面上可分解為： 正交力 N=Pcosθ 剪力 V=Psinθ σθ=N/A =Pcosθ/A =P/A cos2θ τθ=V/A =Psinθ/A =P/2A sin2θ 斜截面上承受一拉力

  7. 單軸應力分析 最大正交應力 θ=0° σθ=P/A* cos0°=P/A=σ 最小正交應力 θ=90° σθ=P/A* cos90°=0 最大剪應力 θ=45° τθ=P/A*sin2x45°=1/2σ

  8. 雙軸應力狀態

  9. 正負符號判斷 - +

  10. 雙軸應力—垂直面 最大正交應力 σ1=σx σ2 =σy 最大剪應力 τ=1/2(σx-σy)

  11. 雙軸應力分析 破壞面上正交應力 σθ =1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ 破壞面上剪應力 τθ =1/2(σx-σy)sin2θ

  12. 雙軸應力---斜截面 最大正交應力 θ=0° σmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos0° =σx τ=0 最小正交應力 θ=90° σmin=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos90° =σy τ=0 最大剪應力 θ=45° τmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) sin90° =1/2(σx-σy)

  13. 平面應力----純剪 (0,τ) σy 當σx=-σy 則 σθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)cos90°=0 τθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)sin90°=1/2σx

  14. 應力分析

  15. 莫爾圓應力分析 y θ x 名詞解釋 σθ:與垂直面夾θ之平面上之正向應力 τθ:與垂直面夾θ之平面上之剪應力 σ1:最大主應力 σ2:最小主應力 τmax:最大剪應力 τ (0,τmax) (σθ,τθ) (σy,τ) 2θ (σx,τ) σ σ2 σ1

  16. 莫爾圓作圖程序 y x 1.作 之直角座標軸 2.X方位之 及 為A點 y方位之 及 為B點 3.標示AB兩點於座標軸上 4.通過AB兩點畫圓AB連線過水平 軸點即為圓心 (C,0)即 ( C , 0 ) σX

  17. 莫爾圓作圖步驟 y θ x 5.以A座標點旋轉2θ， 得E 點，此極為θ平 面上之正向應力與剪 應力(σθ,τθ) 6. σ1=C+R σ2=C-R R 2θ σ2 σx

  18. 莫爾圓應力分析 R 1.畫平面座標，以σ為X軸，τ為 Y軸。2.圓心為1/2(σx+σy)=(C,0)3.半徑為1/2(σx -σy)=R4.其與莫爾圓的交點座標即為 （σθ，τθ） 5.最大剪應力=莫爾圓半徑 (R) 6.最大剪應力面與主平面夾450 7.最大正交應力 θ=0° σmax=C+R 8.最小正交應力 θ=90° σmin=C-R 9.最大剪應力 θ=45° τmax=R σ2 C R σ1

  19. 莫爾圓應力分析優點 1.應力分析視覺化。 2.σ1,σ2可以簡單之加減法求得。 3.(σθ,τθ)可以三角函數求得。 4.沒有公式之背誦錯誤困擾。

  20. 同學練習囉 問題2 如下圖，利用模具，練習莫爾圓的作圖程序，求σ1、σ2及τmax。 τ (B) (A) σ (B) (A)

  21. 450 1000kg 1000kg 單軸應力分析 如圖所示，一矩形斷面兩端受1000kg之拉力，其斷面為 4cm x 5cm，。試以 1.公式解 2.莫爾圓求：(1)θ=450°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為多少？ (3)σ1，σ2各為多少？

  22. 450 1000kg 1000kg 公式解

  23. 莫爾圓解 θ=450 σx σx σx=1000/(4x5)=50 τ 圓心座標=1/2(50+0)=25 (σ,τ)=(25,0) r=25 半徑 r=1/2(50 - 0)=25 (σθ,τθ) 1. σθ=25 (kg/cm2) τθ=25 (kg/cm2) 2θ=900 σ (25,0) (50,0) 2. σ1=50(kg/cm2) σ2=0(kg/cm2) τmax=25(kg/cm2) σ1=50

  24. 雙軸應力分析 如圖所示σx=400kg/cm2，σy=200kg/cm2。試求：(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為若干？1.公式解 2.莫爾圓 σy=200kg/cm2 θ σx=400kg/cm2

  25. 200 平面應力公式解 θ=300 400 σx σy σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos 2θ =1/2(400+200)+1/2(400-200) cos(2x30°) =350 (kg/cm2) τθ=1/2(σx-σy)sin2θ =1/2(400-200) sin(2x30°) =50√3 (kg/cm2) θ=45° τmax=1/2(σx-σy) =1/2(400-200) =100(kg/cm2)

  26. 200 莫爾圓解 θ=300 400 τ 圓心座標=1/2(400+200)=300 (σ,τ)=(300,0) =300 半徑r=1/2(400-200)=100 (350, 50√3) 1.σn=300+100cos60° =350(kg/cm2) τ=100sin60°=50√3(kg/cm2) 2θ=600 σ (300,0) =200 2.最大剪應力 θ=45° τmax=r =100(kg/cm2) =400

  27. 平面應力分析例題 如下圖所示之平面應力元件σx=50 kg/cm2，σy=10 kg/cm2，τxy=40kg/cm2 。試以 1.公式解 2.莫爾圓求：(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為多少？ (3)σ1，σ2各為多少？ 10 (kg/cm2) 40 (kg/cm2) y 50(kg/cm2) x 50 (kg/cm2) 10 (kg/cm2)

  28. 10 公式解 40 θ=300 50 σn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos2θ-τxysin2θ =1/2(50+(-10))+1/2(50-(-10)) cos2x30°-40sin2x30° =0.359(kg/cm2) τ=1/2(σx-σy)sin2θ+ τxysin2θ =1/2(50-(-10)) sin2x30°-40sin2x30° =45.981(kg/cm2) θ=45° τmax= (kg/cm2)

  29. 10 莫爾圓解 40 θ=300 50 τ 圓心座標=1/2(50+(-10))=20 (σ,τ)=(20,0) r=50 σ2=30 半徑r=√(302+402)=50 α=tan-1(40/30)=53.130 (σn ,τ ) 1σθ=20-50xcos66.870 =0.359(kg/cm2) τθ=50sin66.87°=45.981(kg/cm2) 2θ=600 (50 ,40) α=53.130 2.最大剪應力 θ=45° τmax=r =50(kg/cm2) σ1=20+50=70 σ2=20-50=-30 σ (20,0) (10 ,40) =20 σ1=70

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