第 4 章类型化  演算的模型

第4章类型化演算的模型 • PCF语言由三部分组成 • 带函数类型和积类型的纯类型化演算 • 自然数类型和布尔类型 • 不动点算子 • 第2章对代数数据类型进行了透彻的研究 • 第3章研究简单类型化演算 • 本章先研究递归函数和不动点算子 • 然后研究类型化演算的模型，因为第3章的模型不能解释不动点算子

4.1 引言 本章的主要内容 • 递归函数和不动点算子，以及PCF语言的编程实例 • 基于完全偏序集合的，带不动点算子的类型化演算的论域理论模型 • 不动点归纳法，这是一种对递归定义进行推理的证明方法

4.2 递归函数和不动点算子 4.2.1 递归函数和不动点算子 • 在类型化演算中，可以加递归定义 letrec f : = M in N • f可以出现在M中 • M的类型必须是，否则等式f = M没有意义 • 例：定义阶乘函数和计算5的阶乘 letrec f : natnat = y : nat.(if Eq? y 0 then 1 else y f (y – 1)) in f 5 把该等式看成关于f的方程：f : natnat = y : nat. if Eq? y 0 then 1 else y f (y – 1)

4.2 递归函数和不动点算子 • 从数学的观点看 • 含PCF表达式M的方程f := M是否都有解？ • 若有若干个解的话，选择哪个解？ • 在讨论PCF的指称语义时解决这些问题 • 从计算的观点看 • 递归函数声明有清楚的计算解释 • 因此，暂且假定每个这样的等式都有解，并在PCF中增加上述表示它的语法

4.2 递归函数和不动点算子 • 函数的不动点若F :是类型到它自身的函数，则F的不动点是使得F (x) = x的值x : 例如，自然数上 • 平方函数的不动点有0和1 • 恒等函数有无数个不动点 • 后继函数没有不动点

4.2 递归函数和不动点算子 • 重要联系 • 递归定义f := M可以用函数f :.M来表示，因为函数f :.M的不动点正好是方程f = M的解 (f :.M)N = N，即[N/f]M = N， N是f = M的解 • 方程f = M的求解转化为找函数f :.M的不动点例：阶乘函数是 F f : natnat.y : nat.if Eq? y 0 then 1 else y f (y – 1) 的不动点

4.2 递归函数和不动点算子 • PCF的最后一个基本构造 fix : ( )  , 对每个类型 • fix为任何到的函数产生一个不动点 • letrec声明形式看成是let和不动点算子组合的一种语法美化 letrec f :M in N let f : = (fixf :.M) in N • 也可用语法美化 letrec f (x :) : = M in N letrec f :x :.M in N

4.2 递归函数和不动点算子 • fix等式公理 fix = f :  .f (fix f ) (fix) fix MM (fix M) （使用( ) 可得） • fix归约规则 fixf :. f (fix f ) (fix)

4.2 递归函数和不动点算子 • 继续阶乘函数的例子使用fixnatnat，阶乘函数写成 fact  fixnatnat F，其中F是表达式 F f :natnat.y:nat.if Eq? y 0 then 1 else yf (y-1) fact nfix Fn //计算fact n的前几步 F(fix F) n  (f : natnat.y:nat.if Eq? y 0 then 1 else yf(y-1)) (fix F) n  if Eq? n 0 then 1 else n(fix F) (n-1)

4.2 递归函数和不动点算子 • 乘运算的递归定义 • 基于加运算，并假定有前驱函数pred，它把n > 0映射到n1，并把0映射到0 • letrec mult : nat natnat =p : nat nat. if Eq? (Proj1p) 0 then 0 else (Proj2p) + multpred (Proj1p), Proj2p in mult8, 10 • 使用更多语法美化： letrec mult x : nat, y : nat: nat = if Eq? x 0 then 0 else y + mult pred x, y in mult8, 10

4.2 递归函数和不动点算子 4.2.2 有不动点算子的急切归约考虑fix对各种归约策略的影响 • 最左归约、惰性归约、并行归约只要在原来的公理中增加fix归约公理即可 • 急切归约若沿用原来的fix规则，则对变元先求值的要求会导致归约不终止引入“延迟”（ delay）来暂停对递归定义函数的归约，直到有变元提供给它为止

4.2 递归函数和不动点算子 值（在急切归约中需要引入值的概念） • 若V是常量、变量、抽象或值的序对，则V是值 • delayMx:.Mx, x在M :中非自由的公理 • (x :.M)V eager VxM V是值 • Proji(V1, V2) eagerViV1和V2是值 • fixVeagerV(delayfixV) V是值 • … … 子项规则 • 和上一章一样

4.2 递归函数和不动点算子 • 例：仅含一个平凡不动点 (fix (x : nat  nat.y : nat.y)) ((z : nat.z +1)2) eager(x:nat  nat.y:nat.y)(delayfix(x:nat  nat. y : nat.y)) ((z : nat.z +1)2) eager(y:nat.y)((z : nat.z +1)2) eager (y:nat.y)(2+1) eager (y:nat.y)3eager 3 • 例：急切归约可能发散（无不动点） let f (x : nat) : nat = 5 in letrec g (x : nat) : nat = g (x +1) in f (g 3)

4.3 论域理论模型和不动点 4.3.1 递归定义和不动点算子 • 用fix归约的特点来启发论域的主要性质 • 以阶乘函数为例： fact  fixnatnat F，其中F是表达式 F f :natnat.y:nat.if Eq? y 0 then 1 else yf (y-1) • 考虑fix F的有限步展开，用另一种方式来理解fact

4.3 论域理论模型和不动点 • fix F的有限步展开 fix[n]F描述F体的计算最多使用n次的递归计算 • fix[0]F = diverge （表示处处无定义的函数） • fix[n+1]F = F(fix[n]F) • (fix[2]F) 0 = 1，(fix[2]F)1 = 1，(fix[2]F) n对n  2没有定义 • 把函数看成二元组的集合后，fix[n1]F = (fix[n]F)  {n, n}，真包含所有的fix[i]F (in) • 即 {0, 0!}  {0, 0!, 1, 1!}  {0, 0!, 1, 1!, 2, 2!}  …

4.3 论域理论模型和不动点 n( fix[n]F)和F的不动点让fact = n( fix[n]F)是有直观计算意义的尚不足以相信，对任意的F， n( fix[n]F)就是F的不动点强加一些相对自然的条件到F才能保证这一点当用集合包含对部分函数排序时， n( fix[n]F)将是F的最小不动点

4.3 论域理论模型和不动点 论域用集合之间的包含关系来定义部分函数之间的偏序在类型化演算的论域理论模型中，类型指称值的偏序集合，叫做论域阶乘函数常函数1 {0,1,1,1,2,1} {0,1,1,1,2,2} . . . . . . . . . {0,1,1,1} . . . . . . {0,1} {0,5} . . . . . . . . . 

4.3 论域理论模型和不动点 计算不终止的项和递归相联系的一个特别问题是如何给计算不终止的项以合理解释? letrec f : nat nat = x: nat. f (x1) in f 3 延伸“自然数”论域，包含一个额外的值nat，表示类型nat上的不终止的计算部分数值函数可看成值域为 {nat}的全函数，在该论域上nat所有的自然数论域上的偏序可以用来刻画称之为“信息量”或“定义度”的特征

4.3 论域理论模型和不动点 4.3.2 完全偏序集合、提升和笛卡儿积定义偏序集合D,  有自反、反对称和传递关系 的集合D 离散序指x y iff x  y。集合有离散的偏序上界若D,，则子集SD的上界是元素xD，使得对任何yS都有y  x

4.3 论域理论模型和不动点 定义最小上界 S的一个上界，它小于等于()S的任何其它上界有向集合在D, 中，对子集SD，若每个有限集合S0S都有上界在S中，则称子集S有向有向集合都非空若SD是线性序，则S一定有向线性序对所有的x, yS，都有x  y或y  x

4.3 论域理论模型和不动点 例偏序集合{a0, b0, a1, b1, a2, b2, …}，其中对任意ij 都有ai aj, bj并且bi aj, bj 两个线性序 a0a1a2…，和 b0b1b2… {ai, bi} 有上界ai+1和bi+1等，但没有最小上界 a2 b2 a1 b1 a0 b0 ai和bi没有最小上界

4.3 论域理论模型和不动点 定义完全偏序集合D, （简称CPO）若每个有向集合SD都有最小上界（∨S）例使用离散序，任何集合都可看成CPO 任何有限偏序集合都是CPO 考虑普通算术序，自然数集合不是CPO 有理数的非平凡闭区间不是CPO，所有小于的有理数的最小上界是无理数若S，TD都有向，且S的每个元素都T的某个元素，那么∨S ∨T 2

4.3 论域理论模型和不动点 定义有最小元的CPO DD,  存在元素a，使得对D的任何元素b都有a b 最小元（也叫底元）用D表示提升集合A A  {} 提升CPO D，类似地可得到有底元的CPO D … 0 1 2 3 4  CPON的图形表示

4.3 论域理论模型和不动点 引理4.3 若D是一个CPO，那么D是有底元的CPO 引理4.4 若D和E都是CPO并都有底元，则它们的积DE也是有底元的CPO。而且，若SDE是有向的，则∨S =∨S1, ∨S2，其中Si= ProjiS 如果D和E分别有最小元D和E，那么D,E是DE 的最小元

4.3 论域理论模型和不动点 4.3.3连续函数 CPO上的连续函数包括了在程序设计中使用的所有普通函数给出的是一类有不动点的函数本节证明从一个CPO到另一个CPO的所有连续函数的集合形成一个CPO 在构造把每个类型看成一个CPO的模型时，这是最本质的一步，因为构造这样的模型时，函数类型必须解释成CPO

4.3 论域理论模型和不动点 记号如果f : D  E是函数，如果S  D，用记号f(S)表示E的子集：f (S) = { f (d ) | dS} 定义单调函数若D=D, D和E=E, E都是CPO，且f : D E 是它们基础集合上的函数，若dd蕴涵 f(d)f (d), 则f 单调若f单调且S有向，则f (S)有向

4.3 论域理论模型和不动点 定义连续函数单调，且若对每个有向的S D，都有f (∨S)  ∨f (S) 例在实轴闭区间[x, y]上，若把[x, y]看成CPO时，则通常计算意义下的连续函数仍然连续任何CPO上的常函数是平凡地连续的若D是离散序，则D上每个函数都连续从提升集合A到任何CPO的单调函数连续

4.3 论域理论模型和不动点 定义提升函数如果D和E都是CPO，且f :D E连续，定义 f : (D  {}) (E  {})如下： f(d) = if d D then f(d) else  严格函数若f 是有底元CPO之间的函数，且f()  引理4.5 令D和E 都是CPO, 若f:DE连续, 则f:DE严格并连续

4.3 论域理论模型和不动点 CPO之间的函数集合上的偏序关系若D = D, D和E = E, E都是CPO，对于连续函数f, g:DE，若对每个dD，都有f(d)E g(d)，就说f DE g（逐点地排序）记号从D到E 的连续函数集写成 DEDE, DE 若S DE是函数集合，且d D，那么S(d) E是由 S (d) = {f (d) | fS} 给出的集合

f9 f10 f5 f7 f6 f8 f3 f1 f2 f4 f0 表4.2 从B到B的单调函数 f () f (true) f (false) f () f (true) f (false) f0f6falsetrue f1 true f7 truefalse f2 false  f8 falsefalse f3  truef9 true truetrue f4  falsef10 falsefalsefalse f5 true true

4.3 论域理论模型和不动点 引理4.6 对任何CPO D和E，逐点排序的连续函数集DE也是一个CPO 具体说，若SDE有向，则作为其最小上界的函数f 由f(d) =∨S(d)给出。若E 有最小元，则CPODE 有最小元 DE 是一个偏序集合若E有最小元E，则x:D.E是DE 的最小元每个有向集合S 都有最小上界f f 是连续的，即对每个有向的S  D E ，有f (∨S) ∨f (S)

4.3 论域理论模型和不动点 常用连续函数 n元函数： f :D1 … DnE 连续，当且仅当它在每个变元上连续配对函数：若S  D和T  E都有向，则∨S, ∨T =∨{s, t | sS, tT} 射影函数：若S  DE有向，则Proji(∨S)=∨{ Proji(x) | xS} 函数应用：若S  DE和T  D都有向，则∨S(∨T) = ∨{f (x) | fS, xT} 函数合成：若S  DE和T  EF都有向, 则(∨S) (∨T) =∨{g f | fS, gT}

4.3 论域理论模型和不动点 4.3.4 不动点和完备连续层级完备连续层级若有CPOAb0, 0, …, Abk, k，则取Ab0, …, Abk为基类型 A   A A，由 逐坐标地定序 A  所有连续的f : A,   A, ，由逐点地定序由先前引理，每个A, 都是一个CPO 这是在CPOAb0, 0, …, Abk, k上构造的类型框架

4.3 论域理论模型和不动点 主要结论任何若干CPO上的完备连续类型层级形成通用模型，并在所有有底元的类型上有最小不动点算子引理4.8 若D是有底元CPO，且f :DD连续，则f 有最小不动点fixD f = ∨{f n () | n  0}。此外，映射fixD是连续的先证∨{f n () | n  0}是不动点再证它是最小不动点最后证明fixD连续

4.3 论域理论模型和不动点 例 id:DD是有底元CPOD上恒等函数，计算fix id fix id = ∨{ idn (D) | n  0} = ∨{D} = D f:PNPN，f(A) = A 不在A中的最小IN，若它存在的话 很容易看出f k () = {0, …, k-1} 于是fix f = N

4.3 论域理论模型和不动点 4.3.5 PCF的CPO模型要点考虑PCF语言的论域理论语义APCF 提供对PCF性质的某种透彻理解提供对PCF进行语义推理的基础 PCF等式公理系统对APCF可靠归约系统对APCF也可靠 PCF等式证明系统对APCF不可能完备 4.4节将考虑等式公理系统的一个扩展，它基于该CPO模型，能证明项之间更多的性质

4.3 论域理论模型和不动点 APCF是N和B上的完全连续体系 PCF的类型常量解释为有底元的CPO PCF的所有类型都可以解释为有底元的CPO 常量的解释常量0,1,2,…和true，false按通常的方式解释为提升集合N和B上的自然数和布尔值 +和Eq?解释为它们普通解释的提升版本和Eq? nat +x = x + nat = nat 条件运算的解释需仔细考虑当M指称而N不是时，if false then M else N不应该指称

4.3 论域理论模型和不动点 不动点常量按下面定理进行解释若D是有底元的CPO，且f :DD 连续，则f 有最小不动点 fixD f = ∨{f n() | n  0} 此外，映射fixD是连续的结论 PCF的每个项在APCF中都有含义

4.3 论域理论模型和不动点 定理4.13 令M和N是上的PCF表达式，若   M =N :从PCF的公理可证，则APCF满足等式 M = N :  推论4.14 若M:是良类型的PCF项，且MN，则PCF模型APCF满足等式  M = N : 

4.3 论域理论模型和不动点 例阶乘函数可以写成fact fixnatnat F，其中 Ff :natnat. y:nat. if Eq? y 0 then 1 else yf (y-1) 可以证明，APCFF是连续的 APCF fact =∨{(APCF fact)n() | n0} (APCF fact)0() = natnat 直接用项来表示相应论域中元素的名字

4.3 论域理论模型和不动点 (APCF fact)1() = y:nat. if Eq? y 0 then 1 else y ((APCF fact)0() )(y-1) = y:nat. if Eq? y 0 then 1 else y  (natnat) (y-1) = y:nat. if Eq? y 0 then 1 else nat

4.3 论域理论模型和不动点 例考虑函数F : (natnat)  (natnat)，其定义为 Ff :natnat. x:nat. if Eq? x 1 then 1 else f (x-2) 满足下列条件的函数g:natnat都是上面F的不动点 g(1) = 1 g(x+2) = g(x) 最小不动点是：当x是奇数时，结果是1 当x是偶数时，计算不终止

4.4 不动点归纳 例如果f : D D和g : D D是某个CPO D上的连续函数，则fix (f g) = f (fix (gf)) fix (f g) = ∨{( f g)i () | i  0} = ∨{, ( f g)(), ( f g f g)(), …} = ∨{f (), (f  (g f ))(), (f  (g f )2)(),...} = ∨{( f  (g f )i )() | i  0} = f (fix (gf)) 仅使用PCF的等式证明系统不可能证明 fix (f g) = f (fix (gf))

4.4 不动点归纳 基于项的CPO解释来扩展证明系统在CPO模型A中，近似 M N 对环境 是满足的，如果AM AN (eq) (asym)  M= N :   MN:   MN : ,  N M:   M = N: 

 MN : ,  N P:   MP:   M1  M2:  ,  N1  N2:   M1N1M2 N2:  , x :  M  N : x : .M x : . N :   4.4 不动点归纳 (trans)    M   (bot)      = x : .  :    (botf) (acong) (fcong)

 MN =N :   fix MN:   [/x] A, , [c/x]A [F(c)/x]A  [fix F/x]A 常量c不在A中 (fpind) 4.4 不动点归纳用 A表示从一组等式和近似可以证明等式或近似A

4.4 不动点归纳 例证明,如果N是M的一个不动点,那么fix M N • 假定 MN N  ，这就有 MNN   • 令A  , x :  xN :，其中x在N中不是自由的 • 令不动点归纳规则中F是M 1、首先证明[/x]A     N : 2、然后取[c/x]A   cN :作为假设，证明 [Mc/x]A   McN : 根据假设cN,由单调性，有 McMN : 因为MNN，所以 McN :

习题 第一次：4.6，4.7，4.12 第二次：4.18，4.25 第三次： 4.30(a)，4.40(b)

第 4 章 类型化  演算的模型