§4.6 抛物面

1. 精品课程《解析几何》 §4.6 抛物面

2. 精品课程《解析几何》 Ⅰ椭圆抛物面 一、椭圆抛物面的概念 二、椭圆抛物面的性质 三、椭圆抛物面的图形

3. 精品课程《解析几何》 一、椭圆抛物面的概念 1 定义4.6.1在直角坐标系下，由方程 (4.6-1) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面(elliptic paraboloid). 方程(1)叫做椭圆抛物面的标准方程.

4. 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 z y 精品课程《解析几何》 o

5. 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 z y x 精品课程《解析几何》 o

6. 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 精品课程《解析几何》 旋转抛物面 z . o y x

7. (4.6－1)与三坐标轴均交于原点，此为其顶点； ， ， 代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y轴,，z轴上的截距都是零。 精品课程《解析几何》 二、椭圆抛物面的性质 1 对称性（symmetric） 椭圆抛物面(4.6－1)关于z轴对称，z轴为主轴； 关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面； 而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心. 2 有界性(bounded) 椭圆抛物面(4.6－1)位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界. 3 顶点及截距(vertex and intercept)

8. z y O x 精品课程《解析几何》 4.主截线 两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向 1°用z = 0 截曲面 2°用y = 0 截曲面 Cx＝0 3°用x = 0 截曲面 Cy＝0

9. ————其为点（0，0，0） 主抛物线 ————xoz 面上的抛物线  ————  yoz 面上的抛物线  有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向 精品课程《解析几何》

10. z y O x 精品课程《解析几何》 5. 平截线 1°用z = k (k>0)截曲面 结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动

11. ① 当 时，（4）为原点； ② 当 时，（4）为椭圆，其顶点为（0， ，k），（ ，0，k）. 两半轴长为： , . 椭圆抛物面(4.6－1)是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的，这些椭圆的顶点（ ，0，k）,（0， ，k） 分别在抛物线（2）和（3）上变化. 精品课程《解析几何》

12. z y O x 精品课程《解析几何》 ②用y = k截曲面 结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.

13. z y 0 x 平行截割法 主截口 用z = 0 截曲面 用y = 0 截曲面 用x = 0 截曲面 辅助截口 用z = h 截曲面 用y = k 截曲面 用x = t 截曲面

14. 例 已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。 精品课程《解析几何》 分析： 对称面为xOz 面与yOz 面 且

15. 精品课程《解析几何》 Ⅱ双曲抛物面 一、双曲抛物面的概念 二、双曲抛物面的性质 三、双曲抛物面的形状

16. 精品课程《解析几何》 三、双曲抛物面的概念 定义４.６.２在直角坐标系下，由方程 （4.6-２） 所表示的曲面叫做双曲抛物面 ( hyperbolic paraboloid), 也叫马鞍面, 其中a，b为任意的正常数. 方程（4.6-２）叫做双曲抛物面的标准方程.

17. 精品课程《解析几何》 四、双曲抛物面的几何特性与形状 1 对称性 （symmetric） 双曲抛物面(4.6－2)关于yoz平面，xoz平面对称，这两个平面称为主平面；关于z轴对称，z轴称为主轴；而关于xoy平面，x轴,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心. 2 有界性 (bounded) 由(4.6－2)知双曲抛物面(4.6－2)是无界曲线. 3 截距（intercept） 曲面在x轴,y轴及z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫做顶点.

18. z 两相交直线 y O 抛物线 x 抛物线 精品课程《解析几何》 4 主截线 两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反. 1°用坐标面z = 0截割曲面，得 Cy＝0 2°用坐标面y = 0截割曲面，得 3°用坐标面x = 0截割曲面，得 Cx＝0

19. z 双曲线 y O x 精品课程《解析几何》 5 平截面 Cz＝h 1°用平面z = h截割曲面，得 当h>0 时， 实轴平行于x轴 当h<0 时， 实轴平行于y轴 Cz＝h

20. z 抛物线 y O x 精品课程《解析几何》 2°用平面y= t 截曲面，得 Cy＝t

21. z y O x 精品课程《解析几何》 结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。

22. z y O x 精品课程《解析几何》

23. z z y O x x O y 精品课程《解析几何》 双曲抛物面被 xOy 面分割成上、下两部分，上半部分沿x轴的两个方向上升，下半部分沿y 轴的两个方向下降，曲面的大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面。

24. 精品课程《解析几何》

25. 精品课程《解析几何》 双曲抛物面 椭圆抛物面 抛物面的方程可以写成统一的形式： （＊） 当 时， （＊）表示椭圆抛物面； 当 时， （＊）表示双曲抛物面.

26. 例 作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形. z O y x 精品课程《解析几何》 分析： （0，0，4） （0，4，0） （2，0，0）

27. 例作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形. z O y x 精品课程《解析几何》 （0，0，4） A D （0，4，0） C B （2，0，0）

28. 例作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形. z O y x 精品课程《解析几何》 （0，0，4） A D （0，4，0） B C （2，0，0）

29. z o y x 精品课程《解析几何》 （0，0，2） .

30. z o y x 精品课程《解析几何》 L （0，0，2） . . .

31. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 x+y+z=6 3x+y=6 6 2 6

32. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 x+y+z=6 3x+y=6 6 2 6

33. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 x+y+z=6 3x+y=6 3x+2y=12 6 2 4 6

34. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 x+y+z=6 3x+y=6 3x+2y=12 6 2 4 6

35. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 x+y+z=6 6 2 4 6

36. z 0 y x 精品课程《解析几何》 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 6 2 4 6

37. z 0 y x 精品课程《解析几何》 a a

38. z y = 0 x= 0 0 y z = 0 x 精品课程《解析几何》 a a

39. z 0 y x 精品课程《解析几何》 a a a

40. z 精品课程《解析几何》 1 0 y 1 x –1

41. z 0 y x 精品课程《解析几何》 a a a

42. . z 0 y x 精品课程《解析几何》 a a a

43. . z 0 y x 精品课程《解析几何》 a a a

44. z x=0 y=0 0 y z=0 x 精品课程《解析几何》 a a a