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ARBRES EQUILIBRES

ARBRES EQUILIBRES. Définition : On dit qu’un arbre binaire est H équilibré si en tout nœud de l’arbre, les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent au plus de 1. Exemple :. Fonction DESEQUILIBRE sur les arbres binaires Déséquilibre ( Ø)= 0

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Presentation Transcript

  1. ARBRES EQUILIBRES Définition : On dit qu’un arbre binaire est H équilibré si en tout nœud de l’arbre, les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent au plus de 1. Exemple : MIGO ET COMPLEXITE

  2. Fonction DESEQUILIBRE sur les arbres binaires Déséquilibre (Ø)= 0 Déséquilibre (<O,G,D>)= hauteur (G) – hauteur (D) Remarque : Un arbre T est H-équilibré si pour tout sous-arbre S de T on a : Déséquilibre (s)Є -1,0,1 MIGO ET COMPLEXITE

  3. Proposition Tout arbre H-équilibré ayant n nœuds a une hauteur h vérifiant : log 2 (n+1) ≤ h + 1 <1,44 log 2 (n+2) • Preuve • Arbre H-équilibré de hauteur h contenant le plus de nœuds ? • Celui dont tous les niveaux sont complètement remplis • Déséquilibre o en chaque nœud • Nmax (h) : nombre de nœuds d’un tel arbre • Nmax (h) = 1+2Nmax (h-1) • Nmax (o) = 1 MIGO ET COMPLEXITE

  4. Nmax (h) = 2h+1 – 1 Donc pour tout arbre H-équilibré ayant n nœuds et de hauteur h : n ≤ 2h+1 – 1 n+1 ≤ 2h+1 Log2 (n+1) ≤ h+1 b) Arbres H-équilibrés de hauteur h contenant le moins de nœuds ? ▪ si déséquilibre = -1 ou +1 dans tous les noeuds Nmin (h) : nombre de nœuds d’un tel arbre Nmin (o)=1, Nmin (1) = 2 Nmin (h) = 1+Nmin (h-1) + Nmin (h-2) MIGO ET COMPLEXITE

  5. Soit F(h) = Nmin (h) + 1 On a : F(h) = F(h-1) + F (h-2) F(o)є = 2 ; F(1) = 3 Equation de récurrence de Fibonacci F (h) = rh F (h-1) = rh-1 ; F(h-2) = r h-2 rh = rh-1 + rh-2 rh-2 (-r2 + r + 1) = 0 ≠ 0 r2-r-1=0 ∆ = 1 + 4 = 5 r1 = 1+√5 = Ø, r2 = 1- √5 =Ø 2 2 MIGO ET COMPLEXITE

  6. La solution est de la forme • F(h) = λ1Øh + λ 2 (Ø)h • F(o) = 2 • 2 = λ1 + λ2(1) • F (1) = 3 • 3 = λ1 Ø+ ג2 Ø • 3 = λ1 (1+√5) + λ2(1-√5) • 2 2 • 6 = λ1 (1+√5) + λ2(1-√5) • 6 =λ1 + ג2 + √5 (λ1 - ג2) • 6 = 2 + √5 (ג1 - ג2) • 4 = ג1 - ג2 (2) • + (2) : • 2 + 4 = 2 ג1 • √5 • λ1 = 1 + 2 = √5 + 2 • √5 √5 MIGO ET COMPLEXITE

  7. Ø= 1 + √5 2 Ø-1 = √5 2 λ1 = 2Ø-1+2 = 2Ø+1 2Ø-1 2Ø-1 λ2 = 2- ג1 = 2-(√5 + 2) Øh + (√5 – 2) √5 √5 F(h)= 1 (√5 + 2) Øh + (√5 – 2) Øh √5 MIGO ET COMPLEXITE

  8. F (h) = 1 (Øh+3 – Øh+3) √5 Nmin (h)+1 = 1 (Øh+3 – Øh+3) √5 Donc pour tout arbre H-équilibré à n noeuds et de hauteur h N+1 >1 (Øh+3 – Øh+3) √5 Or : -1 <Øh+3 = (1- √5 )h+3 <1 2 n+1>1 (Øh+3 – 1) √5 1+ √5(n+1) ≥ Øh+3 Log Ø 1+√5(n+1) ≥ h+3 Log Ø √5(n+2) ≥ h+3 MIGO ET COMPLEXITE

  9. Log Ø (x) = (log2 (Ø))-1 log2 (Ø) h+3 < logØ ( √5) + logØ (n+2) < 2 + 1 log2 (n+2) log2(Ø) Remarque : √5 < Ø2 = (1+√5)2 2 logØ (√5) < logØ (Ø2) < 2 1 ~1,44 Log2 Ø h+1 < 1,44 log2 (n+2) MIGO ET COMPLEXITE

  10. Arbres AVL • Adelson – Velskii – Landis • Définition • Un AVL est un arbre binaire de recherche H-équilibré • Equilibrage ? • Rotations • Rotation droite, rotation gauche A = p q rd (A) q p w u rz (A) v u v w A, u, v, w : arbres binaires de recherche MIGO ET COMPLEXITE

  11.  Rotation gauche-droite A = r rgd (A) q p w r p q T w T u y u v A, T, u, v, w : arbres binaires de recherche Remarque : rotation gauche-droite = la composée d’une rotation gauche sur le sous-arbre gauche de A suivie d’une rotation droite sur A MIGO ET COMPLEXITE

  12. Function RD (A : ARBRE) : ARBRE ; Var Aux : ARBRE ; Begin Aux : = A .g ; A .g : = Aux .d ; Aux .d = A ; RD : = Aux end RD ; Function RGD (A : ARBRE) : ARBRE ; Begin A .g : = RG (A .g) ; RGD : = RD (A) end RGD ; MIGO ET COMPLEXITE

  13. Adjonction dans un AVL et rééquilibrages Exemple : 12, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 11, 14, 10 12 E1 : 12 E2 : 3 12 3 rd E3 : 3 2 12 3 2 E4 : 2 12 5 3 3 E5 : rd 2 2 12 2 5 0 1 5 4 12 0 4 MIGO ET COMPLEXITE

  14. E6 : -2 3 5 rg 2 5 3 12 4 12 2 4 7 7 E7 : 5 5 rgd 3 2 12 3 9 7 4 2 2 4 7 12 9 E8 et E9 : 5 3 9 2 4 7 12 11 14 MIGO ET COMPLEXITE

  15. 5 5 rgd 3 3 -2 9 11 2 4 7 12 2 4 9 12 11 14 7 10 14 10 • Principe général • Soit T= <r, G, D> un AVL • Supposons que l’adjonction de l’élément x ait lieu sur une feuille de G et qu’elle fasse augmenter de 1 la hauteur de G et que G reste un AVL • Si le déséquilibrage de T valait 0 avant l’adjonction, il vaut 1 après. • T reste un AVL et sa hauteur a augmenté de 1 MIGO ET COMPLEXITE

  16. 2) Si le déséquilibrage de T valait -1 avant l’adjonction, il vaut 0 après. T reste un AVL et sa hauteur n’est pas modifiée 3) Si le déséquilibre de T valait +1 avant l’adjonction, il vaut +2 après. T n’est plus H-équilibré il faut le restructurer en AVL adj dans sous-arbre 2 cas possibles gauche de G adj dans sous-arbre droit de G MIGO ET COMPLEXITE

  17. b a a rd b .. ... .. .. .. ... c a b rgd .. b c a .. ... . . . .. ... . . . MIGO ET COMPLEXITE

  18. ALGORITHME D’ADJONCTION DANS UN AVL Ajoutavl : Arbre x Valeur Arbre ajoutavl (Ø,x) = x x ≤ r ajoutavl (<r, G, D>, x) = rééquilibrage (<r, ajoutavl (G, x), D>) x>r ajoutavl (<r, G, D>, x) = rééquilibrage (<r, G, ajoutavl (D, x)>) Rééquilibrage : Arbre Arbre Déséquilibre : Arbre {-2,-1,0,1,2} MIGO ET COMPLEXITE

  19. Déséquilibre (T)=0 (ou 1 ou -1) rééquilibrage (T) = T Déséquilibre (T)=+2 et Déséquilibre (g (T))=+1 rééquilibrage (T) = rd (T) Déséquilibre (T)=-2 et Déséquilibre (d (T))=-1 rééquilibrage (T)=rg (T) Déséquilibre (T)=+2 et Déséquilibre (g(T))=-1 rééquilibrage (T)=rgd (T) Déséquilibre (T)=-2 et Déséquilibre (d(T))=+1 rééquilibrage (T)= rdg (T) Implémentation type AVL = NŒUD ; NŒUD = record deseq : -2..+2 ; val : VALEUR ; g, d : AVL end ; MIGO ET COMPLEXITE

  20. Procédure AJOUTAVL (var T : AVL ; x : VALEUR) ; Var Y, A, AA, PP : AVL ;{ AA est le père de A ; PP père de P } begin{ création du noeud à ajouter } new (Y) : Y .val : = x ; Y .deseq :=0 ; y .g=nil ; y .d : = nil ; if T = nil then T:=Y Else Begin { descente à la recherche de la feuille, en mémorisant le dernier noeud pointé par A dont le déséquilibre est + 1 } A : = T ; AA : = nil ; P : =T ; PP:= nil; while P <> nil do begin if P . deseq <> 0 then begin A : = P ; AA : = PP : P ; If x ≤P .val then P : = P .g else P:z P .d PP; end { adjonction } If x ≤ PP .val then PP .g : = Y else PP .d : = Y ; {modification du déséquilibre sur le chemin de A à Y} MIGO ET COMPLEXITE

  21. P = A; while P <> Y do if x ≤ P .val then begin P .deseq : = P .deseq + 1 ; P : = P .g end else begin P .deseq : = P .deseq - 1 ; P : = P .d end ; { rééquilibrage } Case A .deseq of O, +1,-1 : return ; +2: Case A .g deseq of +1:begin A:=RD(A) ; A deseq :=0 ; A .d .deseq:=0 ; End ; -1:begin A:=RDG (A); Case A .deseq oF +1:begin A .g .deseq :=O ; A .d .deseq :=-1 end ; -1:begin A .g .deseq :=-1 ; A .d .deseq :=0 end ; 0:begin A .g .deseq :=O ; A .d .deseq :=0 end ; End ; A .deseq :=0; End ; End ; MIGO ET COMPLEXITE

  22. -2:{ cas symétrique du cas +2 }... End { fin du cas } If AA = mil then T:=A Else if A .val ≤AA .val then AA .g : = A else AA .d:=A End ; +2: Case A .g deseq of +1:begin A:=RD(A) ; A deseq :=0 ; A .d .deseq:=0 ; End ; { descente } End AJOUT VAL ; MIGO ET COMPLEXITE

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