§1 ． 9 函数的连续性与间断点

1. §1．9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量、 函数连续的定义、 左右连续性、 左右连续与连续的关系、 连续函数举例 二、函数的间断点 间断点的定义、 间断点的类型

2. y y=f(x) x0 x O 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差 u2-u1就叫做变量u的增量，记作Du，即Du=u2-u1． 设函数y=f(x)在点x0的某一个 邻域内是有定义的． 当自变量x在 这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数 y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)， f(x0+Dx) Dy f(x0) 因此函数y的对应增量为 Dy= f(x0+Dx)- f(x0)． Dx x0+Dx

3. 函数连续的定义: 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量 的增量Dx=x-x0趋于零时，对应的函数的增量 Dy= f(x0+Dx)- f(x0) 也趋于零，即 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续． 等价关系：

4. 讨论： 如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？ 用e-d语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意 给定义的正数e，总存在着正数d，使得对于适合不等式 |x-x0|<d的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-f(x0)|<e， 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．

5. 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连 续． 左右连续性： 左右连续与连续的关系： 函数在区间上的连续性： 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函 数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函 数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．

6. =2sin cos ． =2|sin ||cos | <2  | |1=|Dx|, 连续函数举例： 1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是 连续的． 3．函数y=sin x在区间(-，+)内是连续的． 证明 x(-，+)及Dx0有 Dy=sin (x+Dx)-sin x 因为 0<|Dy| 所以当Dx0时，由夹逼准则，得|Dy| 0，这就证明了函数 y=sin x在区间(-，+)内任意一点x是连续的．

7. 连续函数举例： 1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是连续的． 3．函数y=sin x在区间(-，+)内是连续的． 4．函数y=cos x在区间(-，+)内是连续的．

8. 二、函数的间断点 间断点的定义： 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如 果函数f(x)有下列三种情形之一： (1) 在x=x0没有定义； 则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间 断点．

9. y x O 间断点举例： 为函数tan x的无穷间断点．

10. 1 x -1 因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，

11. y 2 1 x 1 O 所以点x=1是函数的间断点．

12. y 2 1 x 1 O 所以点x=1是函数的间断点． 如果补充定义：当x=1时，令y=2， 则所给函数在x=1 成为连续． 所以x=1称为该函数的可去间断 点． f(x)=x+1

13. y x O 1 因此x=1是函数f(x)的间断点． 1

14. y x O y=f(x)=1 1 因此x=1是函数f(x)的间断点． 如果改变函数f(x)在x=1处的 定义：令f(1)=1，则函数f(x) 在x=1 成为连续． 1 所以x=1也称为该函数的可去间断点．

15. y O x 1 左右极限虽然都存在，但不相等， 所以点x=0 -1 是函数f(x)的间断点． 因函数f(x)的图形在x=0处产生 跳跃现象， 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点．

16. 间断点的类型: 通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左 极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在，那么x0称为函数f(x)的第一 类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断 点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点， 不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第 二间断点．