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§1 . 9 函数的连续性与间断点. 一、函数的连续性. 变量的增量、. 函数连续的定义、. 左右连续性、. 左右连续与连续的关系、. 连续函数举例. 二、函数的间断点. 间断点的定义、. 间断点的类型. y. y = f ( x ). x 0. x. O. 一、函数的连续性. 变量的增量 :. 设变量 u 从它的一个初值 u 1 变到终值 u 2 ,终值与初值的差 u 2 - u 1 就叫做变量 u 的增量,记作 D u ,即 D u = u 2 - u 1 .. 设函数 y = f ( x ) 在点 x 0 的某一个 邻域内是有定义的..
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§1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量、 函数连续的定义、 左右连续性、 左右连续与连续的关系、 连续函数举例 二、函数的间断点 间断点的定义、 间断点的类型
y y=f(x) x0 x O 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1就叫做变量u的增量,记作Du,即Du=u2-u1. 设函数y=f(x)在点x0的某一个 邻域内是有定义的. 当自变量x在 这邻域内从x0变到x0+Dx时,函数 y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx), f(x0+Dx) Dy f(x0) 因此函数y的对应增量为 Dy= f(x0+Dx)- f(x0). Dx x0+Dx
函数连续的定义: 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果当自变量 的增量Dx=x-x0趋于零时,对应的函数的增量 Dy= f(x0+Dx)- f(x0) 也趋于零,即 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续. 等价关系:
讨论: 如何用e-d语言叙述函数的连续性定义? 用e-d语言叙述的函数的连续性定义: 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果对于任意 给定义的正数e,总存在着正数d,使得对于适合不等式 |x-x0|<d的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-f(x0)|<e, 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续.
函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连 续. 左右连续性: 左右连续与连续的关系: 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函 数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函 数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.
=2sin cos . =2|sin ||cos | <2 | |1=|Dx|, 连续函数举例: 1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(-,+)内是 连续的. 3.函数y=sin x在区间(-,+)内是连续的. 证明 x(-,+)及Dx0有 Dy=sin (x+Dx)-sin x 因为 0<|Dy| 所以当Dx0时,由夹逼准则,得|Dy| 0,这就证明了函数 y=sin x在区间(-,+)内任意一点x是连续的.
连续函数举例: 1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(-,+)内是连续的. 3.函数y=sin x在区间(-,+)内是连续的. 4.函数y=cos x在区间(-,+)内是连续的.
二、函数的间断点 间断点的定义: 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下,如 果函数f(x)有下列三种情形之一: (1) 在x=x0没有定义; 则函数f(x)在点x0不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间 断点.
y x O 间断点举例: 为函数tan x的无穷间断点.
1 x -1 因为当x0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,
y 2 1 x 1 O 所以点x=1是函数的间断点.
y 2 1 x 1 O 所以点x=1是函数的间断点. 如果补充定义:当x=1时,令y=2, 则所给函数在x=1 成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断 点. f(x)=x+1
y x O 1 因此x=1是函数f(x)的间断点. 1
y x O y=f(x)=1 1 因此x=1是函数f(x)的间断点. 如果改变函数f(x)在x=1处的 定义:令f(1)=1,则函数f(x) 在x=1 成为连续. 1 所以x=1也称为该函数的可去间断点.
y O x 1 左右极限虽然都存在,但不相等, 所以点x=0 -1 是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x=0处产生 跳跃现象, 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.
间断点的类型: 通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点,但左 极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一 类间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断 点.在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第 二间断点.