Графы

1. Графы Хочешь знать больше? Математические чтения

2. Задача . Винни-Пух решил навестить своих друзей: Пятачка, Кролика и Иа-Иа. Ему обязательно нужно побывать у каждого из своих друзей и вернуться домой. Если он к кому-то не зайдет, то его друг обидится. Но вы же знаете Винни-Пуха: он не любит длительных путешествий. Помогите ему выбрать кратчайший путь, если известно, как расположены домики друзей и на каком расстоянии они находятся друг от друга

3. Решим, построив граф: • В-К-П-И-В=60+50+55+30=195; • В-К-И-П-В=60+45+55+40=200; • В-И-К-П-В=30+45+50+40=165. • Ответ: самый короткий путь Винни-Пуха: В-И-К-П-В=165

4. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг Леонард Эйлер (1707—1783гг.)Математик, механик, физик и астроном. Ученый необычайной широты интересов. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. Л.Эйлер по происхождению швейцарец. В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук). Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном

5. Графы широко используются в технике и естественных науках

6. Граф метаграмм Графы используют филологи

7. Турнирное дерево чемпионата Европы по футболу 2008 г.

8. Генеалогическое древо

9. Схема линий москов-ского метропо-литена

10. Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова « графио » - пишу. Наверное, все помнят с детства, что очень популярна была следующая задача: не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”

11. Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”.

12. Некоторые понятия теории графов Точки А, Б, В, Г, Д называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки — ребрами графа. Заметим, что если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно n(n-1)/2 Cтепень вершины - количество ребер графа, исходящих из этой вершины. Вершина называется нечетной - если степень этой вершины нечетная, четной - если степень этой вершины четная.

13. Закономерность 1 Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше числа вершин этого графа. Закономерность 2 Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа. Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого графа. Закономерность 3 Число нечетных вершин любого графа четно. Закономерность 4 (вытекает из рассмотренной нами закономерности 3). Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

14. Вернемся к задаче о кенигсбергских мостах:

15. Теперь понятно, что и более громоздкие задачи, например задачу о 15 мостах, можно легко решить при помощи графов Задача о 15 мостах

16. Задача Льюиса Кэрролла. В различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца: один с водой, другой с маслом, а третий с повидлом. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались? Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей.

17. Материал подготовила ученица 8 – А класса Белицкая Елена 2008 – 2009 учебный год