8.1 隨機變數

2. 8.1 隨機變數 • 隨機變數：根據機率不同出現不同數值的變量 • 離散隨機變數：可能值是有限的，或是無限可數的 。 • 連續隨機變數：在連續尺度下測量而產生的，如時間、體重、或距離等 -- 第九章討論。

3. 8.2 機率分配 卡車銷售量的機率分配

4. 一骰子點數的機率分配 4銅板正面數的機率分配

5. 解答： 經過計算，或查附表 XI, X = 0，1，2，3，4 的機率分別為

6. 機率分配的規則 • 機率分配的值，必須是介於 0 與 1 • 機率分配值的總和，必須等於 1。

7. f(1) = 4/15, f(2) = 5/15, f(3) = 6/15, 因為這些數值都沒有超過1，而且加起來等於1， 所以這個函數可以被當作機率分配。 解答：

8. 8.3 二項分配 • n 次試行的成功次數是一隨機變數，服從二項分配 • 前提：1.進行固定次數的試行。 2.每次試行的成功機率都是相同的。 3.各次試行之間是相互獨立的。 • 定義

9. 把n＝4、p＝0.5 代入二項分配的公式，得到 x ＝0、1、2、3、或4。 解答：

10. 把x ＝2、n＝5、p＝0.70 代入二項分配的公式， 得到 解答：

11. 把n＝6、p＝0.30，代入二項分配的公式， 解答：

12. 直方圖

13. n＝10、p＝0.60。 附表V， x＝0、1、2，3 時，機率為 0.000、0.002、0.011、0.042 因此，機率是 0.000＋0.002＋0.011＋0.042＝0.055 (2) 此時n＝10、p＝0.60。附表V， x＝7、8、9、10 時，機率為 0.215、0.121、0.040、0.006 因此，機率是 0.215＋0.121＋0.040＋0.006＝0.382 解答：

14. 解答： • 0.0000＋0.0008＋0.0063＋0.0285 ＝0.0356 • 0.2394＋0.1529＋0.0578＋0.0098 ＝0.4599 上圖是各別機率, 下圖是累積機率.

15. 8.4 超幾何分配 • 歸還抽樣時：使用二項分配計算機率 。 • 不歸還抽樣時：使用超幾何分配計算機率 。 超幾何分配的公式： n 次試行中成功x 次的機率為

16. 把a＝6、b＝9，與x＝3 代入超幾何分配的公式，得到有3個仍貼在往歐洲的包裹內，另外3 個貼在其它的9個任何包裹上， 解答：

17. 至少有三部救護車的廢氣污染物超過標準的機率是至少有三部救護車的廢氣污染物超過標準的機率是 0.359＋0.128＋0.013＝0.500 解答：

18. n＝8 ，a＋b＝300，b 小於0.05 (300)＝15， 採用二項分配來求取近似值。 表V：n＝8、p＝0.04、且x＝3時，120/300=0.04 ， 機率 = 0.279。 解答：

19. 8.5 卜瓦松分配 卜瓦松分配公式： • 當n 很大而且p 很小時，二項分配可以用卜瓦松分配的公式來求取近似值 • 適合用卜瓦松分配近似二項分配的情況： n≧100 而且np＜10

20. 卜瓦松分配與二項分配有多接近

21. n= 400>100，而且np＝8 < 10，0.02*400=8 ， 將np＝8， e-8 ＝0.00033546，與x＝5代入， 解答：

22. 此時n＝10,000 > 100，而且np＝0.6 < 10，使用卜瓦松分配。 將np ＝ 0.6，e -0.6＝0.5488，與x＝0、x＝1 代入卜瓦松分配的公式， 解答： 機率 = 1— (0.5488＋0.3293)＝0.1219。 用1 扣掉發生一部及二部爆胎的機率。

24. 用超幾何分配來計算：x＝2、a＝28、b＝3,972、n＝150用超幾何分配來計算：x＝2、a＝28、b＝3,972、n＝150 但是150＜0.05(4,000)＝200，可以用二項分配來近似。 n＝150、p＝0.007。28/4000=0.007 。 n ＞100，而且np＝1.05 < 10，可以再用卜瓦松分配近似。 以x＝2、np＝1.05 的卜瓦松分配近似超幾何分配的值： 解答：

25. 把x＝4與＝6代入卜瓦松分配的公式，得到 解答：

26. 把x＝3與λ＝5.6代入卜瓦松分配的公式，得到 解答：

27. *8.6 多項分配 多項分配 • 每次試驗有 k 種可能出現的結果 • 對應的機率分別為 p1、p2、……，與 pk • 第一種結果出現x1次、第二種結果出現x2次 …，與第 k 種結果出現 xk次的機率為

28. n＝7、x1＝3、x2＝1、x3＝2、x4＝1、 p1＝0.30、p2＝0.20、p3＝0.40，以及p4＝0.10 機率為 解答：

29. 8.7 機率分配的平均數 • 機率分配的平均數：

30. 解答：

31. 解答：

32. 特殊分配的平均數 • 二項分配： • 超幾何分配： • 卜瓦松分配： μ＝λ

33. 8.8 機率分配的標準差 • 機率分配的變異數 ：

34. 解答：

35. 二項分配的變異數：

36. 柴比雪夫定理

37. μ－σ＝27.5－3 (3.2)＝17.9、μ＋3σ＝37.1， 1 – 1/ 32＝ 0.89 有0.89機率，接到17.9與37.1通之間的來電，或 接到18至37通來電的機率為0.89。 解答：

38. 解答： 為二項分配n＝400，p＝0.50， μ＝200， σ＝10， μ－5σ＝150、μ＋5σ＝250， 1 – 1/ 52＝ 0.96 我們可以斷言，有 0.96的機率， 正面出現的次數會介於150與250次之間， 正面出現的比例介於 0.375 與 0.625 之間， 150/400=0.375，250/400=0.625 。