工程數學

工程數學 第9章偏微分方程

本章內容 • 9.1 導論 • 9.2 偏微分方程的成因 • 9.3 定義 • 9.4 直接用積分解微分方程 • 9.5 一階線性偏微分方程 • 9.6 拉格朗線性方程 • 9.7 微分方程解法 • 9.8 一階非線性方程工程數學第9章第445頁

本章內容（續） • 9.9 (a) 方程式f(p, q) = 0 • 9.9 (b) 方程式z = px + qy + f(p, q) • 9.9 (c) 方程式f(z, p, q) = 0 • 9.9 (d) 方程式f1(x, p) = f2(y, q) • 9.10 夏比法 • 9.11 係數為常數的齊次線性方程 • 9.12 求餘函數的方法 • 9.13 求特解的方法工程數學第9章第445頁

本章內容（續） • 9.14 非齊次線性方程 • 9.15 將方程式約化為常係數偏微分方程 • 9.16 二階非線性偏微分方程 • 9.17 用蒙日法積Rr + Ss + Tt = V 工程數學第9章第445頁

導論 • 包含偏導數的微分方程，稱為偏微分方程(partial differential equation)。例如， …(1) …(2) …(3) 都是偏微分方程。工程數學第9章第446頁

導論 • 偏微分方程的階(order) 指的是，方程式中出現微分最高次那一項的階數，而它的次(degree)則是最高階項相乘的次數。 • 因此，式(1) 是一階的，而式(2) 及式(3) 是二階方程。它們都是一次微分方程。 • 如果z 是以x 及y 為變數的函數，我們將會用下列符號來表示z 的偏微分：工程數學第9章第446頁

9.2 偏微分方程的成因 • 偏微分方程是把一些未定常數或未定函數消掉而得到的。如果消掉的常數個數等於自變數的個數，這個偏微分方程是一階的。如果消掉的常數個數多於自變數的個數，這個偏微分方程是二階或更高階。如果這個方程是把函數消掉而得到的，它的階數通常會等於消掉的函數個數。下面的例子說明偏微分方程各種不同的形成方法。工程數學第9章第446頁

9.3 定義 • 一階偏微分方程的解如果包含兩個未定常數，也就是說，由 f(x, y, z, a, b) = 0 …(1) 所定義，我們就稱這個解為方程的完全解(complete solution)。工程數學第9章第450頁

9.3 定義 • 如果給定兩個常數間的關係b = (a)，由此定義出一族平面f(x, y, z, a, (a)) = 0 ，我們就可以得到一個包含任意函數的解。這樣的解稱為一般解(general solution)。 • 給定完全解中未定常數的值而得到的解，稱為特解(particular solution)。工程數學第9章第451頁

9.3 定義 • 偏微分方程在區域R 的解指的是，定義在R 上而且導數會滿足這個微分方程的函數。同樣的偏微分方程可能會有許多個完全不同的解。例如u = x2－y2, u = log (x2 + y2), u = sin k x coshk y，都是拉普拉斯方程的解。偏微分方程對應到某個物理現象的唯一解，還必須要知道R 的邊界上的一些條件才能決定。我們稱它們為邊界條件(boundary conditions)。工程數學第9章第451頁

9.3 定義 • 如果這些條件是在時所給定，就稱為初始條件(initial conditions)。工程數學第9章第451頁

9.4 直接用積分解微分方程 • 如果方程式中只包含一個偏導數，它的解可以經由直接積分而得到。但是這時的積分常數，要改成與除了被積的變數外其他所有變數有關的任意函數。工程數學第9章第452頁

9.5 一階線性偏微分方程 • 只包含一階偏導數p 及q 的微分方程，稱為一階偏微分方程(partial differential equation of the first order)。如果p 及q 都只有一次項而且不互乘，這樣的方程式就稱為一階線性偏微分方程(linear partial differential equation of the first order)。工程數學第9章第454頁

9.6 拉格朗線性方程 • 一階線性偏微分方程都可以化為Pp + Qq = R …(1) 的標準形式，其中P, Q 及R 是x, y, z 的函數。我們稱這種形式的方程式為拉格朗線性方程(Lagrange’s Linear Equation)。它是把任意給定的方程式(u, v) = 0 …(2) 其中的函數u 及v 消去而得到。工程數學第9章第454頁

9.6 拉格朗線性方程 • 將式(2) 對x 及y 求偏導數而工程數學第9章第454-455頁

9.6 拉格朗線性方程 • 把兩式中的及消去，會得到或工程數學第9章第455頁

9.6 拉格朗線性方程 • 令就會得到式(1)。工程數學第9章第455頁

9.6 拉格朗線性方程 • 反之，如果要從P, Q, R 得到u, v，先假設而，其中a 及b 都是常數。則工程數學第9章第455頁

9.6 拉格朗線性方程 • 交差相乘會得到或 …(3) 工程數學第9章第455頁

9.6 拉格朗線性方程 • 解式(3) 可以得到u = a及v = b，其中a 及b 是未定常數，而u 及v 是x, y 及z 的函數。u 和v 之間的任何關係式(u, v) = 0或u = f(v)就給出了方程式的一般解。 • 註：式(3) 稱為拉格朗輔助方程(Lagrange’s auxiliary equation; Lagrange’s subsidiary equation)。工程數學第9章第455頁

9.7 微分方程解法 • 解方程式Pp + Qq = R的標準過程為 (i) 找出輔助方程 (ii) 分組求解或使用乘子，以得到輔助方程兩個獨立的解u = a及v = b，其中a 及b 是任意常數。 (iii) 找出u 及v 的關係(u, v) = 0或u = f(v) ，這就是方程式Pp + Qq = R的一般解。工程數學第9章第455-456頁

9.8 一階非線性方程 • 對於一個最多只有一階導數p 及q，但是卻包含它們的高次項或乘積的方程式，我們稱為一階非線性偏微分方程。這一類方程的完全解會有兩個未定常數(與自變數的個數相同)。 • 有一個標準的方法可以解這種方程，但是在介紹這個方法之前，我們要先討論一些可以用其他更簡單的方法解決的特殊方程。工程數學第9章第461頁

9.9 (a) 方程式f(p, q) = 0 • 也就是說，方程式中只有出現p 及q，而沒有x, y, z。 • 這種方程的完全解為z = ax + by + c …(1) 其中未定常數a 及b 的關係為f(a, b) = 0 …(2) [因為而 ] • 假設由式(2) 得到的關係為b = (a)。把它代入式(1) 會得到 z = ax + (a) y + c，其中a 及c 為任意常數。工程數學第9章第461頁

9.9 (b) 方程式z = px + qy + f(p, q) • 它的完全解是z = ax + by + f(a, b) 也就是用a 取代p 及用b 取代q 而得到。工程數學第9章第463頁

9.9 (c) 方程式f(z, p, q) = 0 • 也就是說，方程式不包含x 及y。 • 令z = (x + ay) = (u) ，其中u = x + ay代表我們想要求的解。 ∴ 工程數學第9章第464頁

9.9 (c) 方程式f(z, p, q) = 0 • 把這個p 及q 代入原方程式，會到。這是一個一階常微分方程，積分後就會得到完全解。工程數學第9章第464頁

9.9 (c) 方程式f(z, p, q) = 0 • 解法： (i) 令 u = x + ay使得而。 (ii) 把p 及q 的值代入原來的方程式。 (iii) 解這個以z 及u 為變數的常微分方程。 (iv) 把u 用x + ay代入。工程數學第9章第464頁

9.9 (d) 方程式f1(x, p) = f2(y, q) • 也就是說，方程式中沒有出現z，而且可以把x 及p 移到等號的一邊，而y 及q 移到等號另一邊。 • 首先令方程式兩邊都等於常數a，則 f1(x, p) = f2(y, q) = a 假設p 及q 解出來為p = F1(x) 及 q =F2(y) 。工程數學第9章第465頁

9.9 (d) 方程式f1(x, p) = f2(y, q) • 因為 ∴ dz = F1(x) dx + F2(y) dy 積分後會變成這就是所求的完全解。工程數學第9章第465頁

9.10 夏比法 • 這是解任何一階非線性偏微分方程最一般的方法。 • 假設給定方程為f(x, y, z, p, q) = 0 …(1) 如果可以找到另一個包含x, y, z, p及q 的關係式 F(x, y, z, p, q) = 0 …(2) • 我們就可以用式(1) 及式(2) 來求出p 及q，然後代入 dx = pdx + qdy …(3) 如果式(3) 有解，它就會是式(1) 的完全解。工程數學第9章第468頁

9.10 夏比法 • 為了要找出F，我們先把式(1) 及式(2) 對x 及y 作偏微分： …(4) …(5) 工程數學第9章第468頁

9.10 夏比法 …(6) …(7) • 消去式(4) 及式(5) 中的，會得到 …(8) 工程數學第9章第468-469頁

9.10 夏比法 • 消去式(6) 及式(7) 中的，會得到 …(9) 工程數學第9章第469頁

9.10 夏比法 • 因為，式(8) 及式(9) 的最後一項只會差一個負號。把式(8) 及式(9) 加起來，會得到 ...(10) 這是以x, y, z, p, q為自變數而F 為應變數的一階線性偏微分方程。工程數學第9章第469頁

9.10 夏比法 ∴它的輔助方程為 …(11) • 從式(11) 取出的任意一個包含p 及q 的方程式都可以當作是另一個關係式(2)。在實際的應用中，我們通常取最簡單的一個來使用。工程數學第9章第469頁

9.11 係數為常數的齊次線性方程 • 我們把可以表示為 …(1) 的方程式稱為常係數n 階齊次線性方程，其中a0, a1, a2,……, an,都是常數。這裡所有的偏導數都是n 階的。工程數學第9章第471頁

9.11 係數為常數的齊次線性方程 • 把及分別用D 及D表示，式(1) 就可以改寫為 (Dn + a1Dn-1D + a2Dn-2D2 +……+ anDn)z =F(x, y) 或 (D, D)z =F(x, y) …(2) 與常係數線性常微分方程的情形一樣，式(2) 的解也可以分成兩部分：工程數學第9章第471頁

9.11 係數為常數的齊次線性方程 (i) 方程式(D, D)z =0 的完全解稱為餘函數(C.F.)。如果原方程式是n 階的，則餘函數就會有n 個任意給定的函數。 (ii) 特別積分(P.I.)是指方程式 (D, D)z =F(x, y) 的一個特解(不包含未定的函數)。 • 式(2) 的完全解為z = C.F. + P.I.。工程數學第9章第471頁

9.12 求餘函數的方法 • 這一節要說明的是如何求二階微分方程的餘函數，同樣的方法也可以推廣到高階的情形。 • 考慮方程式用符號表示為 (D2 + a1DD + a2D2)z =0 …(1) • 把它的符號算子設為零，也就是說 D2 + a1DD + a2D2=0 …(2) 這個方程式稱為輔助方程(A.E.) • 如果把式(2) 視D/D為的二次方程，假設它的根為m1, m2。工程數學第9章第471-472頁

9.12 求餘函數的方法 • 情形I：如果A.E. 有不同的兩個根m1≠m2，則式(2) 可以表示為 (D－m1D)(D－m2D)z=0 …(3) 注意到(D－m2D)z=0的解也是式(3) 的解。 • 但是(D－m2D)z=0  p－m2q = 0 這是一個勒讓德方程，它的輔助方程為工程數學第9章第472頁

9.12 求餘函數的方法 • 取前兩項會得到 dy + m2dx = 0 或 y + m2x = a 所以dz = 0 或 z = b ∴ z = f2(y + m2x ) 是方程式 (D－m2D)z=0 的解。 • 同樣地，也可以考慮 (D－m1D) z=0 得到的解 z = f1(y + m1x ) 也是式(3) 的解。 • 所以式(2) 的完全解為 z = f1(y + m1x ) + f2(y + m2x ) 工程數學第9章第472頁

9.12 求餘函數的方法 • 情形II：A.E. 的兩根都等於m，此時式(2) 可以分解為 (D－mD)(D－mD)z=0 …(4) • 令(D－mD)z= u，式(4) 就變成(D－mD)u=0 用情形I 的方法可以解出u = f(y + mx)。 ∴(D－mD)z= u可以化為(D－mD)z= f(y + mx) 或 p－mq = f(y + mx)x 工程數學第9章第472頁

9.12 求餘函數的方法 • 這是一個勒讓德方程，它的輔助方程為因為給定 dy + mdx = 0 或 y + mx = a 而且給定 dz = f(a) dx或 z = f(a)x + b也就是 z－xf(y + mx) = b ∴式(2) 的完全解是 z－x(y + mx) = (y + mx) 或 z = f(y + mx) + xf(y + mx) 工程數學第9章第472頁

9.12 求餘函數的方法 • 註1：我們知道微分方程(D2 + a1DD + a2D2)z=0 的輔助方程為 D2 + a1DD + a2D2=0 …(1) • 如果把式(1) 看成是D/D的二次方程，會等於 m2 + a1m + a2 = 0 …(2) ∴在找A.E.時，只要在(D, D) = 0中設D = m 及 D = 1就可以得到。因為，微分方程(D, D)z =F(x, y)的輔助方程為 (m, 1) = 0。工程數學第9章第472-473頁

9.12 求餘函數的方法 • 註2：情形I 及II 的結果也可以加以推廣為 (i) 如果A.E的根為m1, m2, m3,……(都不相同)，則 C.F. = f1(y + m1x) + f2(y + m2x) + f3(y + m3x) +…… (ii) 如果A.E的根為m1, m1, m3,……(有兩個重根)，則 C.F. = f1(y + m1x) + f2(y + m1x) + f3(y + m2x) +…… (iii) 如果A.E.的根為m1, m1, m1,……(有三個重根) ，則 C.F. = f1(y + m1x) + f2(y + m1x) +x2f3(y + m1x) +…… 工程數學第9章第473頁

9.13 求特解的方法 • 方程式(D, D)z =F(x, y)的特解為工程數學第9章第474頁

9.13 求特解的方法 I. 求特解的簡單方法和常係數線性常微分方程的情形一樣，齊次線性偏微分方程也有求特解的一個比較快速的方法。 (i) 在F(x, y) = eax+by的情形， (也就是說，在(a, b)≠0的情況下取D = a及 D = b。) 如果(a, b) = 0，這種情況不適用。工程數學第9章第474頁

9.13 求特解的方法 (ii) 若F(x, y) = sin (ax + by)， (也就是說， (－a2, －ab, －b2) ≠ 0時，取 D2 = a2, DD = －ab, D2 = －b2。) • 如果(－a2, －ab, －b2) = 0，這種情形不適用。 • F(x, y) = cos (ax + by)時，也是用同樣的方法處理。工程數學第9章第474頁

常數常數 9.13 求特解的方法 (iii) 若F(x, y) = xpyq，其中p, q都是正數。 • 如果p < q，把[(D, D)]-1用展開 • 如果q < p，把[(D, D)]-1用展開 • 所以會得到及工程數學第9章第474頁

9.13 求特解的方法 II. 求特解的一般方法 F(x, y)並不是都可以化成上述的幾種形式，而且上面提供的方法中也有得不到解的情形。現在要討論的一般方法就沒有這麼多限制，可以用來解各種不同的方程式。工程數學第9章第474頁

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