연 속 확 률 분 포

1. 5 연 속 확 률 분 포 1 균등분포 2 지수분포 3 감마분포 4 정규분포

2. 1 균등분포(uniform distribution) 균등분포의 확률밀도함수와 분포함수 및 평균, 분산 그리고 균등분포에 대한 백분위수와 사분위수 등에 대하여 알아본다.

3. 1 b - a f(x) = , a ≤ x ≤ b x b - a b 1 x2 a+b b b   = = m = E(X) = x f(x)dx = dx 2 2 b - a a a a ☞ 1) 확률밀도함수 X ~ U(a, b) ☞ 2) 평균

4. b b   E(X2) x2 f(x)dx = dx a a b 1 x3 a2 +ab + b2 = = 3 3 b - a a s2 = Var(X) = E(X2) – E(X)2 2 a2 +ab + b2 a+b = - 3 2 (b – a)2 = 12 x2 b - a x x   P(X ≤ x) = f(x)dx = 0 du = 0 -∞ -∞ ☞ 3) 분산 ☞ 4) 분포함수 x < a인 경우 : x

5. x  P(X ≤ x) = f(x)dx -∞ 1 a x   = 0 dx + du x b - a -∞ a x  P(X ≤ x) = f(x)dx -∞ 1 x - a x a b    x = = 0 dx + du + 0 du b - a b - a -∞ a b = 1 0 , x < a x - a , a ≤ x < b F(x) = P(X ≤ x) = b - a 1 , x ≥ b a ≤ x < b인 경우 : x ≥ b인 경우 : 분포함수 :

6. ☞ 5) 백분위수와 사분위수 0 < p < 1에 대하여 100p-백분위수 xp: [a, b]를 p : 1-p로 내분하는 점xp=(1-p)a + pb 제1사분위수 Q1 = x0.25=0.75a + 0.25b 제2사분위수 Q2 = Me = x0.5=0.5a + 0.5b 제3사분위수 Q3= x0.75=0.25a + 0.75b 사분위수범위 I.Q.R = Q3 - Q1 = x0.75 - x0.25 = 0.5b – 0.5a

7. 1 1 10 f(x) = , 0 < x < 10 10 x 10 x  du 0 X ~ U(0, 10)에 대하여 (1) X의 확률밀도함수와 분포함수 (2) X의 평균(m)와 분산(s2) (3) P(m - s < X < m+s ) (4) 사분위수 Q1 , Q2 , Q3 (5) X의 최빈값 Mo = ? (1) X의 확률밀도함수 : X ~ U(0, 10)이므로 X의 분포함수 : 0 , x < 0 0 , x < 0 , 0 ≤ x < 10 , 0 ≤ x < 10 F(x) = P(X ≤ x) = = 1 , x ≥ 10 1 , x ≥ 10

8. (10 - 0)2 s2 = Var(X) = = 8.3333 12 P(m - s < X < m +s) = = 0.578 5.78 10 0+10 m = E(X) = = 5, 2 1 10 (2) (3) s2 = 8.3333이므로 s = = 2.89 (m - s , m + s) = (5 – 2.89, 5 + 2. 89) = (2.11, 7.89) (4) 제1사분위수 Q1 = (0.75)•0 + (0.25) •(10) = 2.5 제2사분위수 Q2 = (0.5)•0 + (0.5) •(10) = 5.0 제3사분위수 Q3= (0.25)•0 + (0.75) •(10) = 7.5 (5) [0, 10]에서 f(x) =이므로 f(x)의 최대값이 존재하지 않음. X의 최빈값이 없다.

9. x  0 X ~ U(0, 1)에 대하여 Y = a + (b – a)X (a < b)라 할 때, (1) Y의 분포함수 (2) Y의 확률밀도함수 (3) Y의 평균(m)와 분산(s2) (4) Y의 중앙값 Me = ? (1) X ~ U(0, 1)이므로 X의 분포함수 : 0 , x < 0 0 , x < 0 , 0 ≤ x < 1 x , 0 ≤ x < 1 1 du FX(x) = P(X ≤ x) = = 1 , x ≥ 1 1 , x ≥ 1 한편, y = a + (b – a)x이고0 ≤ x ≤ 1이므로a ≤ y ≤ b

10. P(Y ≤ y) = P[a + (b – a)X ≤ y] = P X ≤ = F = y - a = b - a y - a 0 , y < a b - a d d , a ≤ y < b dx dx FY(x) = y - a y - a y - a y - a b - a b - a b - a 1 , y ≥ b b - a a ≤ y < b에 대하여 Y의 분포함수 : (2) Y의 확률밀도함수 : 1 fY(y) = FY(y) = = , a ≤ y ≤ b b - a

11. s2 = Var(Y) = F(y0) = 0.5 = y0 - a b - a a+b Me = y0 = 2 (b – a)2 12 (3) Y ~ U(a, b)이므로 a+b m = E(Y) = 2 (4) Y ~ U(a, b)이므로

12. 2 지수분포 (exponential distribution) 지수분포의 확률밀도함수와 평균, 분산을 비롯한 비기억성 성질 그리고 포아송과정과의 관계에 대하여 알아본다.

13. f(x) = le-lx , x > 0 , l> 0 l의 비율로 사고가 발생할 때까지 걸리는 시간 또는 비율 l인 포아송과정에 따라 발생하는 사건 사이의 대기시간 등에 응용되는 확률분포를 모수 l인 지수분포라 한다. ☞ 1) 확률밀도함수 X ~ Exp(l)

14. ∞ ∞ ∞ ∞     0 0 0 0 lx + 1 l2x2 + 2lx + 2 1 2 1 1 2 l l2 l2 l l2 l2 l s2 = Var(X) = E(X2) – E(X)2 2 - = = ☞ 2) 평균 m = E(X) = x f(x)dx = x le-lx dx u = lim - e-lx = u→∞ 0 ☞ 3) 분산 E(X2) = x2 f(x)dx = x2le-lx dx u = lim - e-lx = x→∞ 0

15. ∞ 2   1 0 교차로에서 나타나는 교통사고 발생시간의 간격 X(단위:개월) (1) 사고가 관측된 이후로 한 달이 지난 후에 다음 사고가 발생할 확률 (2) 두 달 안에 사고가 발생할 확률 (3) 한 달을 30일이라 할 때, 평균 몇 일만에 사고가 나는가? f(x) = 3e-3x , x > 0 ∞ (1)P(X > 1) = 3e-3x dx = (-1)e-3x = e-3= 0.0498 1 2 (2)P(X ≤ 2) = 3e-3x dx = (-1)e-3x = 1 - e-6= 0.9975 0 (3) 사고일 수는 모수 l= 3인 기하분포이므로 월평균 사고발생 간격일 수는 m= 1/3, 즉 10일이다.

16. x x   P(X ≤ x) = f(x)dx = 0 dx = 0 -∞ -∞  P(X ≤ x) = f(x)dx -∞ x 0   = 0 dx + le-lu du 0 -∞ x = - e-lu = 1- e-lx 0 ☞ 4) 분포함수 x < 0인 경우 : x x ≥ 0인 경우 : x x

17. 0 , x < 0 F(x) = P(X ≤ x) = 1- e-lx , x ≥ 0 h(x) = =l f(x) S(x) 분포함수 : ☞ 5) 생존함수(survival function) S(x) = P(X > x) = 1 – F(x) = e-lx , x > 0 ☞ 6) 위험률(hazard rate function), 실패율(failure rate function)

18. f(x) = e-x/600 , x > 0 1 1 600 600 h(x) = l=, x ≥ 0 X ~ Exp(1/600)에 대하여 (1) X의 확률밀도함수와 분포함수를 구하여라. (2) X의 생존함수를 구하여라. (3) X의 위험률을 구하여라. (4) X의 기대값과 분산 X ~ Exp(1/600) 이므로 X의 확률밀도함수 X의 분포함수 ● ● F(x) = 1- e-x /600 , x ≥ 0 X의 생존함수 X의 위험률 ● ● S(x) = e-x/600 , x > 0 X의 평균 X의 분산 ● ● m = 1/ l = 600 s2 = 1/ l2 = 360000

19. f(x) = e-x/100 , x > 0 1 100 환자의 생존시간 : X ~ Exp(1/100) (1) 이 환자가 150일 이내에 사망할 확률 (2) 이 환자가 200일 이상 생존할 확률 X의 생존함수 X의 분포함수 F(x) = 1- e-x/100 , x ≥ 0 S(x) = e-x/100 , x > 0 (1) 이 환자가 150일 이내에 사망할 확률 : P(X < 150) = F(150) = 1- e-150/100 = 1 – 0.2231 = 0.7769 (2) 이 환자가 200일 이상 생존할 확률 : P(X ≥ 200) = S(200) = e-200/100 = e-2 = 0.1353

20. 정리 1 비기억성 성질(memorylessness property) X ~ Exp(l)에 대하여 다음이 성립한다. P(X > a+b | X > a) = P(X > b) , a, b > 0 P(X > a+b, X > a) P(X > a+b) P(X > a+b | X > a) = = P(X > a) P(X > a) P(X > a+b) P(X > a+b | X > a) = = = e-lb = P(X > b) P(X > a) e-l(a+b) e-la 증명 ∞ ∞  P(X > a+b) = le-lx dx = (-1) e-lx = e-l(a+b) a+b a+b ∞ ∞  P(X > a) = le-lx dx = (-1) e-lx = e-la a a ∞ ∞  P(X > b) = le-lx dx = (-1) e-lx = e-lb b b 증명 끝

21. 1 1 1000 1000 ∞  P(X ≥ 600 | X ≥ 500) = P(X ≥ 100) = e-x/1000 dx 100 = (-1)e-x/1000 = e-0.1 = 0.9048 ∞ 100 어떤 기계의 일부 부품이 고장 날 때까지 걸리는 시간은 평균 1,000시간인 지수분포에 따른다고 한다. (1) 이 기계를 500시간 이상 아무런 문제없이 사용한 후, 그 후로 다시100시간 이상 사용할 확률을 구하여라. (2) (1)의 조건에 대하여, 앞으로 x시간 이상 사용할 확률이 0.3이라면 x = ? (1) 부품이 고장 날 때까지 걸리는 시간 X는 평균m = 1000인 지수분포에 따르므로X ~ Exp(1/1000) f(x) = e-x/1000 , x > 0 X의 확률밀도함수 :

22. - = ln (0.3) ; x = (-1000)ln (0.3) = 1203.97 x 1000 (2) (1)의 조건 아래서, 이 기계를 고장 없이 사용한 전체 시간 :500 + x P(X ≥ 500 + x|X ≥ 500) = P(X ≥ x) = S(x) = e-x/1000 = 0.3

23. 3 감마분포 (gamma distribution) 감마분포의 확률밀도함수와 평균, 분산 그리고 카이제곱분포에 대하여 알아본다.

24. ∞ ∞ ∞ ∞     0 0 0 0 1 1 1 G(a) G(a) 1 x a-1 b G(a) ba b 일정한 비율로 발생하는 사고가 n건 발생할 때까지 걸리는 전체 시간에 관한 확률분포 감마함수 : G(a) = ta-1 e-t dt , a > 0 ta-1 e-t dt = 1 t = x/b e-x/b dx = 1 p.d.f. 조건을 만족 또는 xa-1 e-x/bdx = 1

25. G(1) = 1 G(a+1) = aG(a),a > 0 G(n+1) = nG(n)= n!, n 은 자연수 G(1/2) = p 1 G(a)ba xa-1 e-x/b, x > 0, a,b > 0 f(x) = ☞ 감마함수의 성질 ● ● ● ● ☞ 1) 확률밀도함수 X ~ G(a, b) a: 형상모수(shape parameter) b: 척도모수(scale parameter)

26. ∞ ∞ ∞ ∞     0 0 0 0 x 참고 G(a) ba 1 f(x) = e-x/b ,x > 0, b > 0 X ~ G(1, b) X ~ Exp(1/b) b ☞ 2) 평균 m = E(X) = x f(x)dx = xa-1 e-x/b dx 1 = x(a+1)-1 e-x/b dx G(a)ba G(a+1) b 1 = x(a+1)-1 e-x/b dx G(a) G(a+1)ba+1 aG(a) b G(a+1) b = = = a b G(a) G(a)

27. ∞ ∞ ∞ ∞     0 0 0 0 s2 = Var(X) = E(X2) – E(X)2 = a(a+1)b2 - (ab )2= ab2 x2 G(a) ba ☞ 3) 분산 E(X2) = x2 f(x)dx = xa-1 e-x/b dx 1 = x(a+2)-1 e-x/b dx G(a)ba G(a+2)b2 1 = x(a+2)-1 e-x/b dx G(a) G(a+2) ba+2 a(a+1)G(a) b2 G(a+2)b2 = = = a(a+1) b2 G(a) G(a)

28. 감마분포와 지수분포 그리고 포아송과정 • X1, X2, …, Xn ~ i.i.d.Exp(l) • S =X1 + X2 + …+ Xn ~ G(n, 1/l) (2)S:비율 l인 포아송과정에 따라 n번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간 비기억성 성질에 의하여 S ~ G(n, 1/l)

29. 1 1 G(2) 22 X = T1 + T2 ~ G(2, 2) 4 x2-1 e-x/2= xe-x/2 , x > 0 f(x) = 시스템의 응답시간 T는 평균 m=2인 지수분포 신호에 대한 응답이 끝나면 곧 바로 다음 신호를 접수 X :오전 9:00부터 2건의 신호가 들어올 때까지 걸리는 시간 (1) X의 확률밀도함수 (2) 2건의 신호가 들어올 때까지 걸리는 평균 시간 (3) 2건의 검색요구가 3초 안에 이루어질 확률 (1) 시스템의 응답시간 T는 평균 m=2인 지수분포에 따르므로T ~ Exp(1/2) T1:오전 9:00부터 처음 신호가 들어올 때까지 걸리는 시간 T2:처음 신호 이후에 두 번째 신호가 들어올 때까지 걸리는 시간 T1 ~ Exp(1/2) , T2 ~ Exp(1/2)

30. (2) m = a b = 2•2 = 4 3 3  (3) P(X < 3) = xe-x/2 dx = - e-x/2 = 1 - e-3/2 = 0.4421 0 0 x + 2 5 2 2 1 4

31. 1 x(r/2)-1 e-x/2 , x > 0, r > 0 f(x) = G(r/2) 2r/2 ☞ 2) 평균 r r 2 2 m = ab = • 2 = r ☞ 3) 분산 s2 = ab2 = • 4 = 2r 카이제곱(c2)분포(chi-squared distribution) 모수 a= r/2, b = 2인 감마분포를 자유도(degree of freedom; d.f.) r 인 카이제곱분포라 하고, X ~ c2(r)로 나타낸다. ☞ 1) 확률밀도함수 X ~ c2(r)

32. 2 카이제곱분포의 100(1-a)%백분위수 ca(r) P(X ≤ x0 ) = 1 – a인 x0을 100(1-a)%백분위수라 하고, ca(r)로 나타낸다. 2 ☞ 카이제곱분포의 백분위수

33. X ~ca(7) 2 에 대하여 P(X > c0.05 ) = 0.05를 만족하는c0.05 2 2 2 c0.05 = 14.07 d.f. = 7인 행과 a= 0.05인 열이 만나는 위치의 수 14.07

34. P(X < x0) = 0.95이므로 P(X > x0) = 0.05 이고, 따라서 카이제곱표에서 d.f. = 5와 a= 0.05인 백분위수 x0 = c0.05 (5) = 11.07 2 카이제곱분포의 성질 X ~ c2(r1), Y ~ c2(r2)이고 독립이면, X + Y ~ c2(r1 + r2)이다. X ~ c2(2), Y ~c2(4) 이고 독립이므로 X + Y ~ c2(6)이다. 그러므로 x0 = c0.01 (6) = 16.81 2 X ~ c2(5)에 대하여 P(X < x0) = 0.95 x0 = ? ☞ X ~ c2(2), Y ~ c2(4) 이고 독립일 때, P(X + Y > x0) = 0.01 x0 = ?

35. 4 정규분포 (normal distribution) 정규분포, 표준정규분포의 확률밀도함수와 평균, 분산을 비롯한 특성과 중심극한정리, 이항분포의 정규근사 등에 대하여 알아본다.

36. p 2 x - m z = s ( x - m )2 ∞ ∞ ∞    2s2 -∞ -∞ -∞ p 2 1 1 s ☞ 1) 확률밀도함수 ∞ 2  e-z /2 dz = 부록 A-4.2로부터 0 피적분함수가 우함수이므로 2 e-z /2 dz = 2 e-z /2 dz = 1 p.d.f. 조건을 만족 -∞ <m < ∞,s> 0 exp - dx = 1

37. 1 2 f(z) = e –z /2, -∞ < z< ∞ p 2 X ~ N(m, s2) 확률밀도함수: ( x - m )2 1 f(x) = ,-∞ < x< ∞, -∞ <m< ∞,s> 0 exp - s 2s2 모수 m과 s2인 정규분포 ☞ 2) 평균 : m = m ※평균 m이고, 분산 s2임을 보이는 것은 생략한다. ☞ 3) 분산 : s2 = s2 m = 0과 s2= 1인 경우 Z ~ N(0, 1) 확률밀도함수: 표준정규분포

38. (1) f(x)는 x=m에 관하여 좌우대칭이고, 따라서 X의 중앙값은 Me = m이다. (2) f(x)는 x=m에서 최대값을 가지고, 따라서 X의 최빈값은 Mo = m이다. (3) x=m-s,m+s에서 f(x)는 변곡점을 가지며, x=m-3s,m+3s에서 x-축에 거의 접하는 모양을 가지고 x→ -∞, x→ +∞이면 f(x)→ 0이다. (1) f(z)는 z=0에 관하여 좌우대칭이고, 따라서 Z의 중앙값은 Me = 0이다. (2) f(z)는 z=0에서 최대값을 가지고, 따라서 Z의 최빈값은 Mo = 0이다. (3) z=-1, 1에서 f(z)는 변곡점을 가지며, z=-3, 3에서 z-축에 거의 접하는 모양을 가지고 z→ -∞, z→ +∞이면 f(z)→ 0이다. ☞ 정규확률함수의 성질 ☞ 표준정규확률함수의 성질

39. Note 모수 m는 분포의 중심을 나타내며, s는 흩어진 정도를 나타낸다. m1≠ m2 s1 = s2 m1= m2 s1≠ s2

40. P(Z < z0), z0 > 0 ☞ 표준정규분포의 성질 (1) P(Z ≤ 0 ) = P(Z ≥ 0 ) = 0.5 (2)P(Z ≤ -z0 ) = P(Z ≥ z0 ) = 1- P(Z < z0), z0 > 0 (3) P(Z ≤ z0 ) = 0.5 + P(0 < Z < z0 ), P(Z ≥ z0) = 0.5 - P(0 < Z < z0), z0 > 0 (4) P(|Z|≤ z0 ) = P(-z0 < Z < z0 ) = 2P(0 < Z < z0), z0 > 0

41. (5) P(|Z|≤ 1.645 ) = 0.9, P(|Z|≤ 1.96 ) = 0.95, P(|Z|≤ 2.58 ) = 0.99 (6)P(|Z|≤ 1 ) = 0.683, P(|Z|≤ 2 ) = 0.954, P(|Z|≤ 3 ) = 0.998 0.05 0.025 0.005

42. z  -∞ (8) X ~ N(m, s2) ~ N(0, 1) X - m x0 - m Z = z0 = (9) P(X < x0) = P(Z < z0) = F(z0) , s s ☞ 표준정규분포의 분포함수 F(z) = f(u)du (7) 1 - F(z0 ) = P(Z ≥ z0 ) = P(Z ≤ -z0 ) = F(-z0 ) , z0 > 0

43. ( ) ( ) (10) P(a < X < b) = F- F b - m b - m ( ) a - m b - m ; P(a < X < b) = P s s < < s s X - m ( ) a - m s = P < Z < b - m a - m a - m s s s s ( ) ( ) = F - F (11) P(m + as < X < m + bs) = P(a < Z < b) = F(b) –F(a) (12) P(m - s < X < m + s) = P(-1 < Z < 1) = 0.683 P(m - 2s < X < m + 2s) = P(-2 < Z < 2) = 0.954 P(m - 3s < X < m + 3s) = P(-3 < Z < 3) = 0.998

44. ☞ 표준정규분포의 백분위수 표준정규분포의 100(1-a)%백분위수 :za P(Z ≤ z0 ) = 1 – a인 z0을 100(1-a)%백분위수라 하고, za로 나타낸다.

45. ☞ 표준정규확률표 사용방법 P(Z ≤ 1.36) = ? Z < 1.36의 소숫점 이하 첫째 자리인 1.3을 z열에서 선택하고, 소숫점 이하 둘째 자리인 .06을 z행에서 선택하여 만나는 값 0.9131을 선택한다.

46. ( ) (1) P(X ≤ 4.5) = F = F(0.75) = 0.7734 ( ) ( ) 5.5 - 3 1.5 - 3 (2) 2 2 4.5 - 3 2 F(-0.75) = 1 - F(0.75) = 1 – 0.7734 = 0.2266 P(1.5 ≤ X ≤ 5.5) = F(1.25) - F(-0.75) = 0.8944 – 0.2266 = 0.6678 예 X ~ N(3, 4) P(1.5 ≤ X ≤ 5.5) = F - F= F(1.25) - F(-0.75)

47. 표준정규확률표를 이용하여 (1) P(0 < Z < 1.54) (2) P(-1.10 < Z < 1.10) (3) P(Z < -1.78) (4) P(Z > -1.23) • (1) P(0 < Z < 1.54) = P(Z < 1.54) – 0.5 = 0.9382 – 0.5 = 0.4382 • (2) P(-1.10 < Z < 1.10) = 2P(0 < Z < 1.10) = 2[P(Z < 1.10) – 0.5)] • = 2(0.8643 - 0.5) = 0.7286 • (3) P(Z < -1.78) = P(Z > 1.78) = 1 - P(Z < 1.78) = 1 – 0.9625 = 0.0375 • (4) P(Z > -1.23) = P(Z < 1.23) = 0.8907

48. 6.4 - 5 2 x0 - 5 x0 - 5 2 2 = 1.96 ; x0 = 5 + 2•(1.96) = 8.92 X ~ N(5, 4)에 대하여 (1) P(X < 6.4) (2) P(X < x0) = 0.9750인 x0 = ? (3) P(3 < X < x0) = 0.756인 x0 =? (1) m = 5, s = 2이므로 X를 표준화 하면 ( ) P(X ≤ 6.4) = P Z < = F(0.70) = 0.7580 (2) X를 표준화 하면 ( ) P(X < x0) = P Z < 표준정규확률표로부터 P(Z < 1.96) = 0.9750

49. x0 - 5 x0 - 5 x0 - 5 x0 - 5 3 - 5 2 2 2 2 2 X - 5 2 ( ) (3) P(3 < X < x0) = P < < x0 - 5 ( ) = P -1 < Z < 2 x0 - 5 ( ) = P Z < - P(Z < -1) 2 한편, P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 – P( Z < 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 ( ) P(3 < X < x0) = P Z < - 0.1587 = 0.756 ( ) P Z < = 0.756 + 0.1587 = 0.9147 표준정규확률표로부터 P(Z < z0 ) = 0.9147에 대하여 약 z0 = 1.37 = 1.37 ; x0 = 5 + 2•(1.37) = 7.74

50. (1) X ~ N(128.4, 19.62)이므로 100 – 128.4 134 – 128.4 X – 128.4 X – 128.4 ( ) P(X ≤ 100) = P ≤ 19.6 19.6 19.6 19.6 ( ) (2) P(X ≥ 134) = P ≥ = P(Z ≥ 0.29) = 1 – P(Z < 0.29) = 1 – 0.6141 = 0.3859 성인의 혈압은 평균 128.4,표준편차 19.6인 정규분포 (1) 임의로 선정된 사람의 혈압이 100이하일 확률 (2) 임의로 선정된 사람의 혈압이 134이상일 확률 (3) 임의로 선정된 사람의 혈압이 110에서 130사이일 확률 = P(Z ≤ -1.45) = 1 – P(Z ≤ 1.45) = 1 – 0.9265 = 0.0735