第 25 课时　矩形、菱形、正方形

回归教材 考点聚焦考点聚焦回归教材归类探究归类探究第25课时　矩形、菱形、正方形

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 考点聚焦考点1　矩形直角直相等斜边考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 相等考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 考点2　菱形邻边相等垂直一组对角考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 相等垂直一半考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 考点3　正方形平行相等直角垂直平分考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 判定正方形的思路图：考点聚焦归类探究回归教材

定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形常见结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______________ 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是______________ 第25课时┃ 矩形、菱形、正方形考点4　中点四边形菱形矩形考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 正方形菱形菱形矩形考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 归类探究探究一　矩形的性质及判定的应用命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定．例1 [2013·白银]如图25－1，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF. 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 (1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE. ∴AF＝CD.又AF＝BD，∴BD＝CD. (2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形．图25－1 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 探究二　菱形的性质及判定的应用命题角度： 1. 菱形的性质； 2. 菱形的判定．例2[2013·泰安]如图25－2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF. (1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 解：(1)∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC＝∠DAC. ∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF. ∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD. 又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE. 所以∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE. (2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD. 所以四边形ABCD是菱形．图25－2 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 (3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD. 理由：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF. 又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF.∴∠CBF＝∠CDF. ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°. ∴∠EFD＝∠BCD. 方法点析在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．考点聚焦归类探究回归教材

例3[2013·龙岩] 第25课时┃ 矩形、菱形、正方形探究三正方形的性质及判定的应用命题角度： 1. 正方形的性质； 2. 正方形的判定． B 图25－3 考点聚焦归类探究回归教材

解　析 第25课时┃ 矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 探究四特殊平行四边形的综合应用命题角度： 1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用； 2. 矩形、菱形、正方形的关系转化．例4[2013·梅州] 如图25－4，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE. (1)求证：四边形BECF是菱形； (2)若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．图25－4 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 解：(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D， ∴BF＝FC，BE＝EC. 又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC. ∴BE∶AB＝DB∶BC. ∵D为BC中点，∴DB∶BC＝1∶2， ∴BE∶AB＝1∶2，∴E为AB中点，即BE＝AE. ∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE， ∴四边形BECF是菱形． (2)如图，∵四边形BECF为正方形， ∴∠BEC＝90°.又AE＝CE，∴∠A＝45°. 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 探究五中点四边形命题角度： 1. 对角线相等的四边形的中点四边形； 2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形．例5[2013·恩施]如图25－5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH为菱形．图25－5 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 方法点析依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 回归教材探索正方形中的三角形全等教材母题　　如图25－6，四边形ABCD是正方形．点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF－BF＝EF. 图25－6 考点聚焦归类探究回归教材

证　明 　　　　　∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°. 又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. ∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED， ∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，故AF－BF＝AF－AE＝EF. 第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 [点析] 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 中考预测 1．如图25－7①，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE. (1)求证：AF＝BE； (2)如图②，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．图25－7 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 解：(1)证明：设AF与BE交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， ∴Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°， ∴Rt△AEG中，∠FAD＋∠AEG＝90°. ∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE. (2)相等．理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于E.得到▱BEQN和▱AFPM， ∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ. 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 2．如图25－8，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．图25－8 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 解：根据题目条件可判断DE∥BF. 证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°. ∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF，∴AE＝BF. ∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)． ∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE. ∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°， ∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴DE∥BF. 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 3．如图25－9，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长．图25－9 考点聚焦归类探究回归教材

第25课时┃ 矩形、菱形、正方形 考点聚焦归类探究回归教材

第 25 课时 矩形、菱形、正方形