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第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程

第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程. 二阶常系数线性非齐次微分方程. 的一般形式是. 其中 p,q 为常数. 而求二阶常系数线性非齐次方的通解 , 归结为它所对应的线性齐次方程. 通解和非齐次方程 (1) 的特解 由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解 , 我们 在第八节中得到解决 . 所以这里只需要讨论二阶 常系数非齐次线性微分方程的一个特解 y * 的方法 本节只介绍当方程 (1) 中的 f(x) 取两种常见 形式时求特解 y * 的方法 . 这方法的特点是不用积 分就可以求出 y * 来 , 它叫做待定系数法 . f(x) 的两种形式是.

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第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程

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  1. 第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程 二阶常系数线性非齐次微分方程 的一般形式是 其中p,q为常数 而求二阶常系数线性非齐次方的通解,归结为它所对应的线性齐次方程

  2. 通解和非齐次方程(1)的特解 由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解,我们 在第八节中得到解决.所以这里只需要讨论二阶 常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*的方法 本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见 形式时求特解y*的方法.这方法的特点是不用积 分就可以求出y* 来,它叫做待定系数法. f(x)的两种形式是

  3. 下面,我们开始讨论上述两种形式时特解y* 的求法. 型 一、 我们来考虑怎样的函数可满足方程(1) y”+py’+qy=f(x), 因为f(x)是多项式pm(x)与指数函数eax的乘积,而多项式和 指数函数的导数仍然是同一类型,因此我们推测 可能是方程的特解

  4. 如果λ不是y”+py’+qy=0方程(2)的特征方程 • r2+p r+q=0的根,则λ2+pλ+q≠0, 所以Q(x) • 和pm(x)的次数相同.可设 把(4)代入(3)式,利用待定系数法,比较等式两端的同次 幂,得到m+1个方程将m+1个未知数b求出.这就是一个 特解. (2) 如果特征方程只有单根,即 那么方程(3)左端的次数与Q’(x)的次数相同,于是可设 Q(x)=xQm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的m个 系数.

  5. (3) 如果特征方程有重根,即 那么方程(3)左端的次数与Q(x)的次数相同,于是可设 Q(x)=x2 Qm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的 m+1个系数综上所述,我们有如下的结论: 那么二阶常系数非齐次线性方程(1)具有 如果 的特解,其中Qm(x)是与pm(x)同次的多项 形如 式,k是按不是特征方程的根,是特征方程的单根,重根分别取 0,1,2。

  6. 例1 求微分方程的一个特解 分析:非齐次方程的自由项3x+1=(3x+1)e0x,特征方程为 r2-2r-3=0,λ=0不是方程的根.所以设

  7. 例2 求微分方程的通解 分析: 特征方程为

  8. 例3 求微分方程的通解 特征方程为r2-4r+4=(r-2)2=0,所以它具有重根r=2,它对 应的齐次方程的通解为y(x)=(C1 +C2 x)e2x又f(x)=2e2x ，设 y*=b0x2e2x代入原方程 分析:

  9. 二 型 应用欧拉公式,把三角函数变为复变指数函数形式,有

  10. 是互成共轭的m次多项式,而m=max{l,n} 应用上面的结果,对于f(x)中的第一项P(x)e(λ+iω)x,可求出一 个m次多项式Qm(x)使得 为方程 的特解 其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1. 由于f(x)的第二项与第一项共轭,所以与y1成共轭的 函数 必然是方程

  11. 的特解,于是方程(1)有形如 的特解,上式可写成 的特解,其中Qm(x),Rm( x)是m次多项式,m=max{l,p},k按不是特征根特征单根分别取0,1

  12. 例4 求方程的一个特解 分析；方程的特征方程是r2+1=0,2i不是特征根.k=0 代入原方程,得到

  13. 例5 求方程的通解

  14. 三. f(x)= f1(x)+f2(x) 其中f1(x),f2(x)为上述 一,二中形式的f(x) 方程 y”+py’+qy=f(x)中的自由项f(x)=f1(x)+f2(x)可根据叠加原 理求出. 例6 求微分方程 y”-y’-2y=x(x+e-x)的通解. 分析: 该方程的自由项 f(x)=x2+xe-x不是属于情形一,但如果 看成f1(x)+f2(x)这 两函数的情形属于情形一.

  15. 写出微分方程对应的齐次方程的特征方程 r2-r-2=(r-2)(r+1) =0的根为 r1= -1 , r2=2, 故对应齐次方程的通解为 它的一个特解具有形式 它的一阶导数为 它的二阶导数为 代入原方程,得到

  16. 比较上式两端同类项的系数,得到 a=-1/2, b=1/2, c=-3/4, A=-1/6, B=0, 于是 故原方程的通解为

  17. 四. 可化为上述(一),(二),(三)的二阶常系数非齐次线性方程 有些二阶常系数非齐次线性微分方程的自由项f(x)并不属于 (一),(二),(三)的情况,但通过变量代换或利用三角公式化为 (一),(二),(三)的情形 例7 求微分方程 y”-y’=e2xcosex的通解 分析: 这里的自由项 f(x)= e2xcosex作变量代换 ex=t x=lnt 则

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