第四章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 第一节数学期望第二节方差第三节协方差与相关系数第四节矩、协方差矩阵

第一节数学期望 为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即上一页下一页返回

E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值. 上一页下一页返回

虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为 X的数学期望: 上一页下一页返回

常用随机变量的数学期望： 例2：设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。解： X的分布律为 0<p<1,q=1-p 上一页下一页返回

解： X的分布律为 则：例3：设X~b(n，p)，求E(X)。上一页下一页返回

例5 设X~U(a，b)，求E(X)。 上一页下一页返回

随机变量函数的数学期望： 定理1:设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。上一页下一页返回

设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为证明上一页下一页返回

推广：设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）上一页下一页返回

例7： 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。上一页下一页返回

随机变量数学期望的性质： 定理2：设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在. 上一页下一页返回

例8：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。例8：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。上一页下一页返回

方差的性质 设随机变量X与Y的方差存在，则上一页下一页返回

X 0 1 P 1-p p 几种重要随机变量的数学期望与方差上一页下一页返回

第三节协方差与相关系数 上一页下一页返回

若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i, j=1,2,… 若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) 上一页下一页返回

由此可知：X,Y相互独立＝＞ X,Y不相关；但反之不成立. 上一页下一页返回

由此可知：若（X,Y）服从二维正态分布，则X，Y相互独立＜＝＞ X，Y不相关. 上一页下一页返回

第四节矩、协方差矩阵 上一页下一页返回

设n维随机变量(X1,X2,···Xn)的1+1阶混合中心矩 都存在，则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,···Xn)的协方差矩阵。协方差Cov(X,Y)是X和Y的1+1阶混合中心矩协方差矩阵具有以下性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵; （2）协方差矩阵为非负定矩阵。上一页下一页返回

第四章 随机变量的数字特征