1 / 55

REPÀS PROBABILITAT

REPÀS PROBABILITAT. Repàs probabilitat. Repàs probabilitat. S’anomena probabilitat de A condicionada a B ,al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :. Repàs probabilitat. Sigui A 1 , A 2 , A 3 , …, A k , una partició del espai mostral Ω. Ω. B. A 1. A 2.

joshua-hernandez
Download Presentation

REPÀS PROBABILITAT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. REPÀSPROBABILITAT Curs 2012-13

  2. Repàs probabilitat Curs 2012-13

  3. Repàs probabilitat S’anomena probabilitat deAcondicionada aB,al valor de la probabilitatdeAsabent quel’esdevenimentBja ha succeït: Curs 2012-13

  4. Repàs probabilitat Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω Ω B A1 A2 Ak Curs 2012-13

  5. Repàs probabilitat El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment Ω B A1 A2 Ak Curs 2012-13

  6. Exercici La probabilitat de ser del grup A es d’un 40% El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia Si agafem a l’atzar un individu malalt quina es la probabilitat que pertanyi al grup A? Quina es la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)? Curs 2012-13

  7. Exercici Curs 2012-13

  8. REPÀSVARIABLE ALEATORIA Curs 2012-13

  9. Distribució Binomial Un experiment binomial es aquell que compleix aquestes característiques: N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) es constant a cada prova El resultat de cada prova es independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre d'èxits a cada prova Distribució binomial X~B(n,p) E(X)=np V(X)=np(1-p) Curs 2012-13

  10. Distribució Poisson El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat Distribució Poisson X~P(λ) λ:Nombre mig de successos en un interval E(X)=λ V(X)=λ Curs 2012-13

  11. Propietats Esperança i Variança Propietats esperança: E(k) = k E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(kX)=kE(X) E(k1X+k2Y)=k1E(X)+k2E(Y) Propietats variança: • V(k) = 0 • V(X+Y)=V(X)+V(Y) • V(kX)=k2V(X) • V(k1X+k2Y)=k12V(X)+k22V(Y) Curs 2012-13

  12. Exercici • La probabilitat de una reacció al·lèrgica es del 1% • Quina es la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? • Quina es la probabilitat de que en una mostra de 120 individus hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques? Curs 2012-13

  13. Exercici Quina es la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? • N=10 P=0’01 • X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica • X~B(10,0’01) P(X≥1)= 1-P(X=0) = 1 – 0’9044 = 0’0966 Curs 2012-13

  14. Exercici Quina es la probabilitat de que en una mostra de 120 individus hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques? • N=120 P=0’01 • X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica • X~B(120,0’01) N gran X~B(120,0’01) X~Poisson(λ=120·0’01) X~Poisson(λ=1’2) Curs 2012-13

  15. Exercici X~Poisson(λ=1’2) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] = = 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] = = 1 – 0’8795 = 0’1205 Curs 2012-13

  16. Distribución normal o de Gauss Està caracteritzada per dos paràmetres: • La mitjana, μ, • la desviació típica, σ. X ~ N( µ, σ) Curs 2012-13

  17. P(X>a) a P(Z > (a-µ) / σ) 0 a-µ σ Curs 2012-13

  18. Distribución normal o de Gauss • P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) • P(Z>-a) = P(Z<a) • P(Z<a) = 1 - P(Z>a) • P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) Curs 2012-13

  19. Exercici • El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg. • Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg? • Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg Curs 2012-13

  20. Exercici • P(70>X>85) • P(X>95) X~N(80,10) Z~N(0,1) P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 ) a - 80 10 a Curs 2012-13

  21. Exercici X: N(80,10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) = Curs 2012-13

  22. Curs 2012-13

  23. Exercici X: N(80,10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) = = [1 – 0’1687] – 0’3086 = 0’8313 – 0’3086 = 0’5227 Curs 2012-13

  24. Exercici X: N(80,10) P (X > 95) = = P ( > ) = P (Z > 1’5) = 0’0668 Curs 2012-13

  25. Curs 2012-13

  26. REPÀSINTERVAL DE CONFIANÇA Curs 2012-13

  27. Repàs interval de confiança Interval de confiança d’una mitjana: σ coneguda σ desconeguda, n gran (n≥30) σ desconeguda, n petita (n<30) Curs 2012-13

  28. Repàs interval de confiança Interval de confiança d’una proporció: Curs 2012-13

  29. REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS Curs 2012-13

  30. Repàs proves d’hipòtesi Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements: Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica Curs 2012-13

  31. Repàs proves d’hipòtesi Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a El estadístic de la prova (σconeguda) Sota la hipòtesi H0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞) Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2) Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96 Curs 2012-13

  32. Repàs proves d’hipòtesi Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a El estadístic de la prova (σconeguda) Sota la hipòtesi H0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H0 si z Є (zα,∞) Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα) Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645 Curs 2012-13

  33. Repàs proves d’hipòtesi Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a El estadístic de la prova (σ desconeguda) Sota la hipòtesi H0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞) Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2) Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1) Curs 2012-13

  34. Repàs proves d’hipòtesi Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a El estadístic de la prova (σ desconeguda) Sota la hipòtesi H0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞) Acceptació de H0 si t Є (-∞,t n-1,α) Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1) Curs 2012-13

  35. Contrastos unilateral i bilateral La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis. Bilateral H0: µ = a H1: µ ≠ a - z/2 z/2 Unilateral Unilateral H0: µ ≤ a H1: µ ≥ a H0: µ ≥a H1: µ ≤ a - z z Curs 2012-13

  36. Exercici • Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2 • Volem testar: • Si la mitjana de X es 40 • Si la mitjana de X es igual o menor que 40 Agafem una mostra de 16 elements. Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90 Curs 2012-13

  37. Exercici Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40 Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40 El estadístic de la prova (σconeguda) Sota la hipòtesi H0 certa Curs 2012-13

  38. Exercici Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es: Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞) Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2) Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96 Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞) Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96) 1’80 esta dintre de la regió de acceptació. Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40 Curs 2012-13

  39. Exercici Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és: Rebuig de H0 si z Є (zα,∞) Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα) Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645 Rebuig de H0 siz Є (1’645,∞) Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645) 1’80 esta dintre de la regió de rebuig. Rebutgem la hipòtesi nul·la, Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40 Curs 2012-13

  40. Tipus de error, poder i nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança 1-  és el nivell de confiança Curs 2012-13

  41. 1 -  - z/2 z/2 1 -  z 1 -  - z Contrast per al paràmetre p Curs 2012-13

  42. REPÀSCOMPARACIÓ DUES VARIABLES Curs 2012-13

  43. Resum de la comparació de dues mitjanes observades Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA-µB = 0 Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA-µB ≠ 0 El estadístic de la prova Sota la hipòtesi H0 certa La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de: La mida de les mostres La normalitat de X en els dos grups La variança de X sigui igual en els grups EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes Curs 2012-13

  44. Resum de la comparació de dues mitjanes observades Estratègia:  coneguda (1)  desconeguda nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30 Distribució Normal variàncies homogènies (2A=2B) (3) variàncies NO homogènies (2A2B)(4) Distribució no Normal  proves no paramètriques Curs 2012-13

  45.  coneguda  desconeguda, n gran  desconeguda, n petita, X normal, 2A=2B  desconeguda, n petita, X normal, 2A2B Curs 2012-13

  46. Exercici Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4. Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5. Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ? Quin es el grau de significació? Curs 2012-13

  47. Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA-µB = 0 Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA-µB ≠ 0 El estadístic de la prova Sota la hipòtesi H0 certa Situació:  desconeguda n petita, X normal, 2A=2B Exercici EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes Curs 2012-13

  48.  desconeguda, n petita, X normal, 2A=2B Exercici Curs 2012-13

  49. Resultats Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2A i s2B Curs 2012-13

  50. Càlcul de l’Error Estàndard Curs 2012-13

More Related