8. 을 사다리꼴 공식과 Sympson 공식으로 계산하고 , 실제값과 비교하라 . 단 , 세분 폭은 h=0.1 이라고 한다 .

1. 8. 을 사다리꼴 공식과 Sympson 공식으로 계산하고, 실제값과 비교하라. 단, 세분 폭은 h=0.1이라고 한다. • 의값은 • 사다리꼴 공식 • Sympson의 공식 • 실제값은 이다. • 사다리꼴 공식의 오차 • Sympson 공식의 오차

2. 9. Euler, 수정된 Euler 알고리즘을 그림을 이용하여 유도하라. 이러한 개념을 이용하여 Runge-Kutta, Adams- Bashforth, Adams-Moulton Methods의 알고리즘을 설명하라. • Euler • 식 (1)의 우변의 적분을 폭 h, 높이 의 구형의 면적으로 근사 • 위 식으로부터 의 순서로 를 계산할 수 있다. 이 방법을 Euler법이라고 한다. • 1차까지의 Taylor 전개법의 공식과 일치 (1)

3. 수정된 Euler법 • 식 (1)의 우변 제 2항의 적분을 사다리꼴 공식으로 근사 • 위 식의 우변에는, 계산되지 않은 이 포함되어 있기 때문에, 이대로는 계산할 수 없다. 그래서, 우변의 을 Euler법으로 예측(근사)하고, 예측된 값을 위 식의 우변에 대입 • 이 방법을 수정된 Euler법이라고 한다. 수정된 Euler법은, 다음에 서술하는 2차까지의 Taylor 전개법과 같다. • 함수 의 2차까지의 Taylor 전개는 • 여기에서 x, y에 대한 f의 편미분을 각각 라 하면

4. 위의 관계를 대입 • 의 1차까지의 Taylor 전개(Euler법)는 • 가 된다. 이 식은 앞에 구한 식과 일치하고 있다. 따라서, 수정된 Euler법과 2차까지의 Taylor 전개는 같다고 할 수 있다. 이것으로부터, 수정된 Euler법에 따른 절단 오차는 이라고 할 수 있다.

5. Runge-Kutta법 • 초기값 문제의 해법으로서 4차의 Runge-Kutta법 (단지 Runge-Kutta법이라고 부르는 경우가 많다)은, 가장 자주 이용되기는 하나, 다음의 1개 공식으로 계산한다. • 단, • 이 Runge-Kutta법은, 수정된 Euler법의 경우와 마찬가지로 전개에 의해 4차까지의 Taylor 전개법과 같은 것을 보여 줄 수 있다. 따라서, 절단 오차는 이 된다. 이 방법은, 를 4회 계산하여야 하지만, 계산 정밀도가 좋으므로 폭넓게 이용되고 있다.

6. Adams-Bashforth법 • 이 방법은, 과거 어떤 점이나 의 값을 이용(적분을 면적으로 평가함. h*f)하고 구간 의 f의 값을 외삽하여 식 (9.3)에 대입하는 방법이다. 단법에서는 의 값을 이용하여 (9.16) • 의 공식으로 계산한다. 여기에서 이다. • 그 예로서 2단법을 고려해보자. 2단법에서는, 구간 의 f의 값을 와 의 두 점을 통과하는 직선 로부터 외삽 식(9.3)에 대입 적분 • 균등 공간 간격을 사용할 경우 로 변환 (9.17) 을 얻는다.

7. 단()법에 있어서도 차 보간다항식으로부터 동일한 형태로 유도하는 것이 가능하고, 공식의 계수 는 표 9.1이 된다. 국소 절단 오차는 이다. 이 공식은 을 포함하지 않는 양의 공식이므로, 예측자로서 이용된다. • 표 9.1 Adams-Bashforth법의 계수

8. Adams-Moulton법 • 이 방법은 구간 의 f의 값을 까지의 값을 이용하여 내삽하고 식 (9.3)에 대입하는 방법이다. 단법에서는 • (9.18) • 의 공식으로 나타낸다. • 그 예로서 2단법을 생각해 보자. 2단법에서는 와 의 값으로부터 구간 의 f의 값을 • 과 두 점을 통과하는 직선으로 내삽한다. 이 식을 식 (9.3)에 대입하여 적분하기 위하여 좌표계를 다음과 같이 변환한다. • 따라서,(9.19) 을 얻는다.

9. 단 법에 있어서도 같은 방법으로 유도하는 것이 가능하고, 공식의 계수 는 표 9.2가 된다. 국소 절단 오차는 이다. 이 공식 은 의 계산에 을 포함하는 음의 공식이므로, 의 계산에는 예측자에서 구해진 값 을 대입하여, 의 값 을 계산한다. 이후는 이 을 로 치환해서 다시 공식에 대입하여 의 값 을 계산한다. 이것을 의 값이 수렴할 때까지, 즉 • (9.20) • 을 만족시킬 때까지, 혹은 최대 반복 회수 가 될 때까지 반복 계산한다. 보통은 2, 3회 반복하고 수렴한다. 이처럼, Adams-Moulton법은 수정자로서 이용된다. 또한, 실제로 단의 Adams-Moulton법을 이용할 때, 초기 의 값이 필요하다. 이들은, 「Starter」라고 불리는 양의 공식의 프로그램을 이용하여 계산한다. Starter에는 수정된 Euler법이나 Runge-Kutta법 등이 이용된다. • 표 9.2 Adams-Moulton법의 계수

10. < Adams-Moulton법의 계산 순서 (3단법) > • 1) 주 프로그램 • 단계 1 자료의 입력 • 해의 수 , 초기값 , 최종값 , 수정자 공식의 최대 반복 회수 , 수렴 판정 정수 의 입력 • 단계 2 세분 폭 의 계산 • 단계 3 Adams-Moulton법의 계산 (모듈의 호출) • 단계 4 계산 결과의 출력 • 2) Adams-Moulton법의 모듈 • 단계 1 Starter(Runge-Kutta법)에 따른 계산(모듈의 호출) 의 계산 • 단계 2 반복 계산 • 2.1 예측자 공식의 계산 • 2.1.1 • 2.1.2 • 2.1.3

11. 2.2 수정자 공식의 반복 계산 • 2.2.1 • 2.2.2 • 2.2.3 이라면 단계 2로 간다 • 2.2.4 • 3) 미분 함수 정의의 모듈 • 프로그램 • Adams-Moulton법의 프로그램 예를 프로그램 F9.3과 프로그램 C9.3에 나타내었다. 미분 함수 정의의 모듈은 생략하였다. 3단 이외의 단법인 경우는 Adams-Moulton법 모듈의 단계 1에 있어서 까지 구하여, 단계 2.1.3의 예측자 공식과 단계 2.2.2의 수정자 공식을 변경하면 된다.