單元 2 數字系統與資料表示法

1. 單元2 數字系統與資料表示法

2. 目錄 • 2-1　數字系統 • 2-2　資料表示法

3. 2-1數字系統 • 常用的數字系統 • 數值表示法 • 轉換數字系統 • 數字系統的運算 • 應用祕笈

4. 常用的數字系統： • 數字系統是用來表示數量的規則與符號，一般常見的數字系統有10進位數字系統、2進位數字系統、8進位數字系統以及16進位數字系統等。 • 例如10進位數字系統，是指使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9等10個基底符號來表示數量的數字系統；而2進位數字系統則是使用0和1兩個符號來表示數量大小的數字系統。

5. 各數字系統使用的符號整理如下： • 我們熟悉的10進位數字3010（右下角的數字代表數字系統的種類），以2進位數字系統表示為111102，以8進位數字系統表示為368，以16進位數字系統表示為1E16。

6. 10進位數字系統的數值0~31和其它數字系統的對照表：10進位數字系統的數值0~31和其它數字系統的對照表：

7. 數值表示法： • 10進位數字系統表示的數值： 6553610 • 標示在右下角的數值稱為底數（Base），最左邊的稱為最高數位，最右邊的稱為最低數位。

8. 下表是幾個數值的底數、最高數位和最低數位：下表是幾個數值的底數、最高數位和最低數位： • 以6553410為例，其數值計算如下： • 6*104 + 5* 103 + 5 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100

9. 下面是各種數字系統的數值計算結果： • 2進位數字 • 110110012=1 * 27 + 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 *22 + 0 *21 + 1 * 20 • 8進位數字 • 37218= 3 * 83 + 7 * 82 + 2 * 81 + 1 *80 • 16進位數字 • 2FFF16=2 * 163 +F * 162 + F * 161 + F* 160 • 數字系統的數值計算方式可歸納如下： • Nm = apmp + ap-1mp-1 + ap-2mp-2 +…… + a0m0 • 其中，m為數字系統的底數，或稱為基底。

10. 轉換數字系統： • 相同的數值，可以使用各種數字系統來表示，換句話說，數字系統間可以直接轉換。

11. 10進位轉2進位： • 把10進位轉換成2進位，最簡單的方法是將10進位數字不斷得除以2，所得到的餘數就是2進位數字的數位。

12. 將10進位數字9710轉換成2進位的操作結果如下：將10進位數字9710轉換成2進位的操作結果如下： • 9710轉換成2進位數字等於11000012。 • 小數點後的計算方式改成乘法->原因。

13. 10進位轉16進位： • 把10進位數字轉換為16進位數字方法，是將10進位數字不斷得除以16，所得到的餘數就是16進位數字的數位。

14. 將10進位數字6553610轉換為16進位數字的計算結果：將10進位數字6553610轉換為16進位數字的計算結果： • 根據計算結果，6553610等於1000016。

15. 10進位轉8進位： • 把10進位數字轉換為8進位數字方法，是將10進位數字不斷得除以8，所得到的餘數就是8進位數字的數位。

16. 將10進位數字12910轉換為8進位數字的計算結果：將10進位數字12910轉換為8進位數字的計算結果： • 根據計算結果，12910等於2018。

17. 10進位與2進位的快速轉換表： • 應用除法技巧，可以將10進位數字轉換為2進位、8進位和16進位等數值。 • 對於較小的數值，可以用列表的方式，迅速算出對應的轉換數值。

18. 10進位與2進位的數值對照表：

19. 根據數值對照表的資料，可快速轉換各數位數值：根據數值對照表的資料，可快速轉換各數位數值： • 10進位數字66等於上表的64+2，所以轉換為2進位數字等於1000010。而10進位數字56轉換為2進位等於111000（56=32+16+8）。 • 應用查表的方法，也可以迅速將2進位數字轉換為10進位。例如將2進位數字00101010轉換為10進位數字，其對照表如下： • 從表中，可以迅速計算出2進位數字00101010等於10進位數字42（32+8+2）﹔2進位數字110010等於10進位數字50（32+16+2）。

20. 快速轉換2進位與8進位、16進位的技巧-1： • 2進位數字系統轉換為8進位或16進位數字系統，不必經過除法的計算，每3個2進位的數位等於一個8進位的數位，每4個2進位的數位等於一個16進位的數位。例如： 110100102=D216 • 2進位數字的前面四個數位（1101）轉換為16進位數字D，後四個數位（0010）轉換為16進位數字2。 • 將16進位數字的每一個數位轉換為4個2進位數位；將8進位數字的每一個數位轉換為3個2進位數位。例如： 3FC16=0011111111002 • 16進位數字3轉換為0011，16進位數字F轉換為2進位數字1111，16進位數字右邊的C，轉換為2進位數字1100。因此，3FC16可轉換為0011111111002。

21. 快速轉換2進位與8進位、16進位的技巧-2： • 使用相同的方法，可以轉換2進位與8進位的數值： • 1011002=548 • 168=0011102 • 若要將8進位數字轉換為16進位數字，或將16進位數字轉換為8進位數字，則必須將數字轉換為2進位或10進位數字，然後再轉換為其它數字系統。

22. 數字系統的運算： • 模仿10進位數字系統的運算方式，很快就能熟悉其它數字系統的運算技巧，下面是數字系統的加法、減法和補數運算方法。

23. 加法運算： • 10進位數字系統的數字相加時，只要相加後大於或等於10，就產生進位。 • 同樣的加法運算原理，2進位數字系統的數字相加時，只要相加後大於或等於2時，就產生進位；16進位數字的相加，只要相加後大於或等於16時，就產生進位；8進位數字的相加，只要相加後大於或等於8時，就產生進位。

24. 2進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）2進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

25. 16進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）16進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

26. 8進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）8進位數值加法運算結果如下：（由右而左運算）

27. 減法運算： • 加法運算使用進位技巧，而減法運算則使用借位技巧。應用10進位減法運算原理，就可以進行2、16和8進位的減法運算。

28. 2進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）2進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）

29. 16進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）16進位數值減法運算結果如下：（由右而左運算）

30. 補數的換算： • 補數可應用於計算機中的減法運算。 • 在10進位數字系統中，610的補數為410、910的補數為110、1210的補數為8810；在2進位數字系統中，12的補數為12、112的補數為012、11012的補數為00112。 • 歸納而言，某一m位數的數值N（a進位數字系統）的補數為： am-N • 因此，1210的補數為102-12等於8810。

31. 下面是幾個數值與補數的對照表：

32. 用補數進行減法運算： • 前面提到補數可應用於計算機中的減法運算，也就是應用於2進位數字系統的減法運算。 • 例如：計算2進位數值： P2 - Q2 • 以補數來進行減法運算的規則如下： • 計算P和Q中較大的位數n。 • 計算Q之補數R=2n-Q。 • 計算P+R之結果S。 • 判斷S之正負數。 • 正數：當S之位數大於n時，結果為S刪去多出的位數。 • 負數：當S之位數等於或小於n時，則結果為S之補數加上負號。

33. 計算下面的減法算式-1： • 111012 - 101102 = ? • 位數n=5 • 計算101102之補數為25-101102=010102 • 111012+ 010102等於1001112 • 1001112之位數為6大於5，所以結果為 + 001112

34. 計算下面的減法算式-2： • 10002 - 11002 = ? • 位數n=4 • 11002之補數為01002 • 10002+ 01002等於11002 • 11002之位數為4，結果為11002之補數01002加上負號，即-01002

35. 應用祕笈： • 前面介紹了數字系統轉換的原理與技巧，事實上，可以將轉換的工作交給電腦來執行。Windows附屬應用程式中的工程型小算盤，就具有轉換數字系統的功能。

36. 以下就是啟動工程型小算盤的操作示範：

37. 小算盤有標準型和工程型兩種視窗。啟動小算盤時，會延續前一次使用的視窗類型。小算盤有標準型和工程型兩種視窗。啟動小算盤時，會延續前一次使用的視窗類型。

38. 以下就是利用小算盤轉換10進位數值為2進位數值的操作示範：以下就是利用小算盤轉換10進位數值為2進位數值的操作示範：

39. 轉換後，會顯示轉換為2進位數值的結果，畫面顯示如下：轉換後，會顯示轉換為2進位數值的結果，畫面顯示如下：

40. 以下是利用小算盤將2進位數值轉換為16進位數值的操作示範：以下是利用小算盤將2進位數值轉換為16進位數值的操作示範：

41. 轉換後，會顯示轉換為16進位數值的結果，畫面顯示如下：轉換後，會顯示轉換為16進位數值的結果，畫面顯示如下：

42. 2-2　資料表示法 • 編碼系統 • 中文字編碼系統 • 浮點資料表示法 • 應用祕笈

43. 編碼系統： • 鍵盤上的每一個按鍵，都對應了一個編碼，在鍵盤上按下某一個按鍵時，鍵盤就會送出該按鍵所對應的編碼資料到電腦中。 • 電腦和電腦間採用的編碼系統必須相同，所產生的資料才能交換，否則會造成甲電腦產生的資料，在乙電腦上出現無法顯示或亂碼的現象。

44. BCD碼： • BCD（Binary Coded Decimal）是專門用來表示數字資料（0~9）的編碼系統，它的編碼方法是以4個2進位的數位來表示10進位數字的一個數位，例如下表的編碼：

45. EBCDIC碼-1： • EBCDIC（Extended BCD Interchange Code）是使用八個位元來表示資料的編碼系統，這種系統可以用來表示所有的文字、數字（包含字母、數字和特殊字元）。 • EBCDIC編碼的前四碼為區域碼，後四碼為數值碼。區域碼的四個位元又分成兩部分，前兩碼區別大小寫、數值和特殊符號，後兩碼則區別字母的類別。下面是EBCDIC碼的編碼結構：

46. EBCDIC碼-2： • 位元7和位元6用來區別大小寫、特殊符號等，而位元5和位元4用來區別英文字母的範圍或數字。 • 根據這種編碼方式，大寫字母A的編碼為1100 0001、B的編碼為1100 0010，小寫字母a的編碼為1000 0001、b的編碼為1000 0010。

47. ASCII碼： • ASCII（American Standard Code for Information Interchange，簡稱為美國資訊標準交換碼）是使用七個位元來表示資料的編碼系統，這種編碼系統類似EBCDIC碼，是個人電腦上使用最普遍的編碼系統。

48. 下面是EBCDC和ASCII的編碼表-1：

49. 下面是EBCDC和ASCII的編碼表-2：

50. 2421碼 • 用四個位元表示一個阿拉伯數字。 • 4個位元由左到右，其權重（Weights）分別是2，4，2，1→此編碼不是唯一。 • 十進位系統的9補數正好等於二進位系統的1補數，所有具有這種特性的碼被稱為自補碼（Self-Complementing Code）