コンパクト Calabi-Yau 多様体に対する開弦のミラー対称性の解析

コンパクトCalabi-Yau多様体に対する開弦のミラー対称性の解析コンパクトCalabi-Yau多様体に対する開弦のミラー対称性の解析清水将英 (北海道大学＆名古屋大学 D2) H. Fuji, M. Jinzenji, S. Nakayama, M.S., H. Suzuki TO APPEAR 2009年7月7日　＠YITP

導入 Ⅱ型 string theory / + (超対称) D-brane ⇒4次元 N=1 超対称ゲージ理論 Open mirror Symmetryを用いて、 • 4次元N=1理論の超ポテンシャルへの非摂動的寄与（世界面instantonの効果）を計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(Physics) • 複素3次元内部空間のdisk不変量を計算　(Geometry) Compact CY・・・　　　　 ’06～, Walcher Morrison-Walcher Pandharipande-Solomon-Walcher Krefl-Walcher, Knapp-Sheiddegger Jockers-Soroush, Grimm-Ha-Klemm-Klevers Alim-Hecht-Mayer-Mertens, …… 本研究： “direct integration”という素朴で明快な手法を提唱

今回： disk近似 OPEN Mirror Symmetry A-brane B-brane A-model on ＋ (special Lagrange部分多様体) 　　　　　　　　　　⇒ (実) 3次元 B-model on “mirror” ＋ (正則部分多様体) 　　　　　　⇒ (実) 偶数次元

今回： disk近似 OPEN Mirror Symmetry A-brane B-brane Open Mirror 対称性 • A-model on • ＋ • (special Lagrange部分多様体) • 　　　　　　　　　　⇒ (実) 3次元 B-model on “mirror” ＋ (正則部分多様体) 　　　　　　⇒ (実) 偶数次元

今回： disk近似 OPEN Mirror Symmetry Open Mirror 対称性 A-brane B-brane • A-model on • ＋ • (special Lagrange部分多様体) • 　　　　　　　　　　⇒ (実) 3次元 • 　非摂動的効果（世界面instanton）がある B-model on “mirror” ＋ (正則部分多様体) 　　　　　　⇒ (実) 偶数次元　世界面instantonはない

今回： disk近似 OPEN Mirror Symmetry A-brane B-brane Open Mirror 対称性 • A-model on • ＋ • (special Lagrange部分多様体) • 　　　　　　　　　　⇒ (実) 3次元 • 　非摂動的効果（世界面instanton）がある B-model on “mirror” ＋ (正則部分多様体) 　　　　　　⇒ (実) 偶数次元　世界面instantonはない “physical” なⅡA型理論 / ＋ “physical” なⅡB型理論 / ＋超対称brane 超対称brane “mirror”

今回： disk近似 OPEN Mirror Symmetry × A-brane B-brane Open Mirror 対称性 • A-model on • ＋ • (special Lagrange部分多様体) • 　　　　　　　　　　⇒ (実) 3次元 • 　非摂動的効果（世界面instanton）がある B-model on “mirror” ＋ (正則部分多様体) 　　　　　　⇒ (実) 偶数次元　世界面instantonはない “physical” なⅡA型理論 / ＋ “physical” なⅡB型理論 / ＋超対称brane 超対称brane “mirror” ⅡA・・・・・・D6-brane ⅡB・・・・・・D3, D5, D7, D9-brane 4次元N=2　⇒N=1 Becker-Becker-Strominger Ooguri-Oz-Yin

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数）

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数）世界面instanton disk の面積: ⇒ A-braneの変形自由度 A-braneL

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Mirror 写像 Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数）世界面instanton disk の面積: ⇒ A-braneの変形自由度 A-braneL

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Mirror 写像 Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数） reduction Brane世界体積上のgauge理論正則Chern-Simons理論世界面instanton disk の面積: ⇒ A-braneの変形自由度 Witten A-braneL

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Mirror 写像 Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数） ⇒“相対”周期世界面instanton disk の面積: ⇒ A-braneの変形自由度 A-braneL cf. （普通の）周期：正則3形式の3-cycle上の積分

4次元N=1理論への寄与 ⇒ 超ポテンシャル正則曲線（D5） Mirror 写像 Ooguri-Vafa Aganagic-Vafa disk 不変量（正則円盤の数） ⇒“相対”周期世界面instanton disk の面積: ⇒ A-braneの変形自由度 A-braneL cf. （普通の）周期：正則3形式の3-cycle上の積分 Open moduli, : 4次元N=1ゲージ理論の chiral多重項のスカラー場の真空期待値

設定話を具体的に： CY：Quintic – mirror Quintic A 側 : B 側 : 複素構造 moduli • compact CY • worldsheet : disk • braneの枚数1 ⇒ 4次元 N=1 U(1)ゲージ理論 • B-brane : 正則曲線(D5)

A-branev.s. B-brane　（Quintic – mirror Quintic） A-brane B-brane Special Lagrange 部分多様体 ⇒ 反正則対合の固定点～正則部分多様体 (今は正則曲線) ⇒ 離散的!! 変形パラメータ = open moduli

A-branev.s. B-brane　（Quintic – mirror Quintic） A-brane B-brane Special Lagrange 部分多様体 ⇒ 反正則対合の固定点～正則部分多様体 (今は正則曲線) Mirror Brane Pair cf. 行列因子化 etc cf. 行列因子化 Brunner-Douglas-Lawrence-Romelsberger Hori-Walcher Brunner-Hori-Hosomichi-Walcher Herbst-Hori-Page …… ⇒ 離散的!! 変形パラメータ = open moduli

A-branev.s. B-brane　（Quintic – mirror Quintic） A-brane B-brane Special Lagrange 部分多様体 ⇒ 反正則対合の固定点～正則部分多様体 (今は正則曲線) Mirror Brane Pair ⇒ 離散的!! 変形パラメータ = open moduli ⇒ dim =1

A-branev.s. B-brane　（Quintic – mirror Quintic） A-brane B-brane Special Lagrange 部分多様体 ⇒ 反正則対合の固定点～正則部分多様体 (今は正則曲線) Mirror Brane Pair 重要な事実：Spacetimeの描像での解釈 ⇒ 離散的!! 変形パラメータ = open moduli ⅡA ⅡB ⇒ dim =1 × ⇒ BPS domainwall Ooguri-Vafa(cf. Gopakumar-Vafa) D6-D4BPS-bound domainwall tension ⇒

On-shell v.s. off-shell 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める Morrison-Walcher Krefl-Walcher Knap-Scheidegger Walcher （通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α ⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式離散的 open moduli

On-shell v.s. off-shell 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める “on-shell” Morrison-Walcher Krefl-Walcher Knap-Scheidegger Walcher （通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α ⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式 “off-shell” 離散的 open moduli “仮想的な” 連続 open moduli Jockers-Soroush Grimm-Ha-Klemm-Klevers

On-shell v.s. off-shell 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める “on-shell” Morrison-Walcher Krefl-Walcher Knap-Scheidegger Walcher （通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α ⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式 “off-shell” 離散的 open moduli 3-chain “仮想的な” 連続 open moduli Jockers-Soroush Grimm-Ha-Klemm-Klevers （CYの中の超曲面） ⇒ 拡張 Picard-Fuchs 方程式 (closed moduli+ open moduli) 解

新手法 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める ⇒　非常に煩雑

新手法 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める ⇒　非常に煩雑我々の手法：相対周期の積分を直接実行する!!

新手法 従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める ⇒　非常に煩雑我々の手法：相対周期の積分を直接実行する!! コンパクト CY の正則3形式の表式： Griffiths-Dwork 通常の周期相対周期 Jockers-Soroush

座標変換 • braneに対する　　作用の特異点を解消 • 　局所座標を取るの周り Morrison-Walcher の周り特異点解消 • 良い座標をとる最終的な局所座標

積分の実行 CY （Quintic）の定義方程式 braneの定義方程式相対周期 Y積分を実行で展開各積分を実行： , は容易問題は　　　だが解析接続や種々の積分公式を駆使すれば求まる各変数が分離!! off-shell “有効” 超ポテンシャル ⇒ Jockersらの結果を再現

“On-shell” 超ポテンシャル 臨界点極限結果 domainwall tensionを直接得た (自然：　　を考えているから（　とを両方とも考えている） ⇒ Walcherの結果を再現 B-model側での計算が終了 A-modelの描像に移る Mirror写像： moduliについて平坦座標をとる　　　　　　　⇒　mirror dual側のmoduli座標に!

Disk不変量（正則円盤の数） Open Gromov-Witten 不変量（写像の“数”）多重被覆公式 Ooguri-Vafa disk不変量（正則円盤の数） Ooguri-Vafa不変量（BPS状態数）整数になるべき！世界面 instanton

整数性 • 特徴二つ • 全部偶数 • ⇒ 正則diskは二つペア • 偶数次は無い • ⇒ 境界に2回巻くと0 • （閉弦の自由度になる）＋

まとめと展望 • 相対周期積分を直接実行することによってoff-shell 有効超potential （BPS domainwall tension）を計算した • Jockersら、Walcherらの結果を再現 • シンプルで明快他のモデルやこれまで計算できなかった種類のCYに機能すると期待 closed moduliの数が一つではなく多い場合 open moduliが　　　　　　　　の場合　　　　　　　　　（完全交差の場合にWalcherが見つけた） open moduliが連続的な場合（？）とにかく面白く豊富な内容を含む現象論・宇宙論への応用？

まとめと展望 • 相対周期積分を直接実行することによってoff-shell 有効超potential （BPS domainwall tension）を計算した • Jockersら、Walcherらの結果を再現 • シンプルで明快他のモデルやこれまで計算できなかった種類のCYに機能すると期待 closed moduliの数が一つではなく多い場合 open moduliが　　　　　　　　の場合　　　　　　　　　（完全交差の場合にWalcherが見つけた） open moduliが連続的な場合（？）とにかく面白く豊富な内容を含む現象論・宇宙論への応用？ありがとうございました！

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