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Références Classical electrodynamics John David Jackson Wiley Computational Electromagnetics

Références Classical electrodynamics John David Jackson Wiley Computational Electromagnetics Anders Bondeson , Thomas Rylander , Pär Ingelström Springer E-book (accessible sur le campus) : http://dx.doi.org/10.1007/b136922

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  1. Références Classicalelectrodynamics John David Jackson Wiley ComputationalElectromagnetics Anders Bondeson, Thomas Rylander, PärIngelström Springer E-book (accessible sur le campus) : http://dx.doi.org/10.1007/b136922 Ce cours sur le web : http://bruno.lepetit.pagesperso-orange.fr/teaching.html Une question ? bruno.lepetit@irsamc.ups-tlse.fr

  2. modélisation multiphysique à l’échelle méso-macroscopique Plan • 1. Introduction : que veut-on calculer ? • 2. Rappels d’électromagnétisme • 3. Une méthode de résolution des équations de Maxwell : • Différences finies domaine temporel • 4. Equation de la chaleur : traitement des non-linéarités • 5. Applications industrielles • Mécanique : Stéphane Guinard, EADS • Electromagnétisme : Ivan Revel, EADS

  3. Les matériaux : métalliques et composites… 787 Dreamliner Composite Profile

  4. Les composites : fibres et résines Délaminages

  5. Composite ; un empilement complexe : plis, protection de surface, peinture

  6. Un matériau doit assurer une multitude de fonctions : tenue mécanique (efforts, chocs), thermique, protection électromagnétique (champs forts, foudre effets directs et indirects, électrostatique, furtivité…), tenue à la corrosion, au feu, esthétique…

  7. La modélisation aide à dimensionner le matériau en amont dans le développement d’un programme, soit en amont d’essais, soit pour économiser des essais. Plusieurs types de contraintes se prêtent bien à une modélisation de type physique, Passant par la résolution d’équations aux dérivées partielles : Mécanique, thermique, électromagnétique…

  8. Modélisation électromagnétique Que cherche-t-on ? Effet d’une agression extérieure (champ fort, foudre) sur les systèmes embarqués (câblages, équipements…). Une modélisation à 2 niveaux : Modélisation locale Ex : matériau et efficacité de blindage , câblages, fentes…

  9. 2. Modélisation globale Des outils utilisant les équation de Maxwell permettent de réaliser ces modèles.

  10. Modélisation thermique Tenue en température de matériaux Tenue à la foudre (effets directs) de matériaux : électro-thermo-mécanique

  11. EQUATIONS DE MAXWELL E, H : champs D, B : inductions Conservation de la charge : Milieux linéaires : permittivité électrique perméabilité magnétique Loi d’Ohm :

  12. Liens entre les différentes équations de Maxwell Je prends la divergence de l’équation de Faraday : Par ailleurs je prends la divergence de l’équation d’Ampère : Par comparaison avec l’équation de conservation de la charge : Et Conclusion : si à l’instant initial les champs satisfont : Alors à tout instant suivant, il suffit que les champs satisfassent les équations d’Ampère et de Faraday (et de conservation de la charge) pour satisfaire les autres équations de Maxwell.  On ne propage numériquement que les équations de Faraday et Ampère.

  13. Propagation dans un milieu conducteur Expulsion de la charge : Equations de propagation : Solution recherchée sous la forme :

  14. (relation de dispersion) Vitesse de phase : Indice du milieu : Impédance d’onde :

  15. Cas particulier : mauvais conducteur : Vide (SI): Cas particulier : bon conducteur : δ : épaisseur de peau (décroit quand ω croit) :

  16. Propagation avec atténuation : • Exemples pour f=100 kHz (foudre…) : • Métal : σ=5 107 S/m  δ≈0.2 mm • Composite Carbone (CFC, CFRP…) σ= 104 S/m  δ≈15 mm

  17. Interfaces 1 2 n Discontinuités aux interfaces ρs(C/m2), Js (A/m): densités surfaciques

  18. Discontinuités à la surface d’un conducteur Réel Parfait • - La composante normale de E • peut connaitre une discontinuité • pour un conducteur chargé. • La composante tangentielle de H peut être • discontinue s’il y a des courants de surface • - Les autres composantes sont continues • Seule la composante normale de E • peut être discontinue • - Les autres décroissent avec l’effet de peau en pénétrant dans le conducteur.

  19. Propagation d’un paquet d’ondes u(x,t) : une composante de E ou H à une dimension Transformée de Fourier : ω(k) : relation de dispersion Δx.Δk≈π Onde plane infinie : Δk=0 , Pulse infiniment étroit : Δk=+∞

  20. Dispersion Supposons une loi de dispersion linéaire (vide, diélectrique…) : Le paquet d’onde se propage sans déformation à la vitesse de groupe : Dans le cas général (conducteur...) la relation de dispersion n’est pas linéaire. Il y a donc déformation du paquet d’onde durant sa propagation.

  21. Dispersion numérique Dans un milieu diélectrique (dispersion linéaire) combinant avec j’obtiens (équation de Helmholtz) Question : Quelle relation de dispersion ? Grille spatiale et temporelle utilisée pour la résolution numérique

  22. L’équation de Helmholtz, Pour une composante de champ, en différences finies, devient : Le champ à l’instant n+1 est donc donné par la récurrence : Je cherche la relation de dispersion que doit satisfaire une onde du type Pour être solution de l ’équation discrétisée Nouvelle relation de dispersion : QUESTION : Limite pour des intervalles tendant vers 0 ?

  23. R=1. R=1.2 R=0.9 R=0.01 • R=1 : on retrouve la loi de dispersion physique : ω=ck • R>1 : pour certains intervalles en k, ωdevient complexe • eiωt a une composante exponentielle réelle • amplification non physique de cette contribution. Instabilité • R<1 : dispersion non linéaire sur les k élevésdéformation du signal

  24. CRENEAU

  25. PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL CAS 1D On ne propage que les eq. d’Ampère et Faraday 1D Elles ont les 2 la même structure : Dérivée spatiale=dérivée temporelle Premières idées : 1. Différences finies centrées 2. Utiliser la même grille pour E et H (celle déjà utilisée).

  26. Différences finies, grille unique Différences finies Au point (r,n) : Algorithme du type « saut de grenouille » (leapfrog) : je passe directement du temps n-1 au temps n+1 en passant par-dessus n. Inconvénient de l’algorithme : précision réduite du fait que, en temps comme en distance, On fait des sauts de 2 pas. En utilisant des grilles décalées (staggered) pour E et H, on peut réduire le saut à un seul pas !

  27. Différences finies, grilles décalées Grille Ex : (r,n) Grille Hy : (r+1/2,n+1/2) Au point (r,n+1/2) : Au point (r+1/2,n) : • Les sauts sont bien d’un seul pas • Les points où sont utilisées les équations n’appartiennent ni à la grille E, ni à la grille H • QUESTION : quelle relation de dispersion ?

  28. PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL CAS 3D : ALGORITHME DE YEE (K.S. Yee, IEEE Trans. Ant. Propag., AP-14, 302-307, 1966) Composantes du champ E : milieu des arêtes Temps entiers Ex : points (p+1/2, q, r, n) Ey : points (p, q+1/2, r, n) Ez : points (p, q, r+1/2, n) Composantes du champ H : milieu des faces Temps demi-entiers Hx : points (p, q+1/2, r+1/2, n+1/2) Hy : points (p+1/2, q, r+1/2, n+1/2) Hz : points (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)

  29. CALCUL DES CHAMPS H AU TEMPS n+1/2 Au point (p, q+1/2, r+1/2, n) Au point (p+1/2, q, r+1/2, n) Au point (p+1/2, q+1/2, r, n)

  30. CALCUL DES CHAMPS E AU TEMPS n+1 Au point (p+1/2, q, r, n+1/2) Au point (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2) Au point (p, q, r+1/2, n+1/2)

  31. ALGORITHME DE YEE : RELATION DE DISPERSION 3D Quelle relation ω(k) pour avoir une solution du type Expressions des opérateurs différentiels Si f(x)=e i(ωt-kx)alors

  32. Alors les équations de Yee donnent : Si Combinant ces 2 équations : donc Par ailleurs Donc Résultat Relation de dispersion 3D

  33. Condition de stabilité : Qui est satisfaite si : Condition CFL (Courant-Friedrichs-Levy) :

  34. Choix de la taille de maille : • Description suffisamment précise des détails géométriques • Critère de longueur d’onde ≈ 10 points par longueur d’onde • Choix du pas de temps : critère CFL • Occupation mémoire : (2 pas de temps stockés)*(6 composantes)*Nx.Ny.Nz=12 Nx.Ny.Nz • Temps de calcul : proportionnel à 6 Nx.Ny.Nz.Nt • Proportionnel à (fréquence)**4 • Impossibilité pratique du calcul à très hautes fréquences : autres méthodes • (asymptotiques : optique, théorie de rayons…)

  35. Exemple : on veut modéliser un avion. Taille : 50 m. On considère un coup de foudre qui dure 100 μs. On veut représenter de façon suffisamment fine les détails  taille de maille : 0.1 m Nombre de mailles ≈ 10003=109 (en fait on a moins besoin pour la hauteur) soit 12*8=96 Go d’occupation mémoire Pas de temps max : Δx/31/2c≈0.2 ns, soit Nt=500 000 Nombre d’opérations : de l’ordre de 6*500 000*109=3 1015 Temps de calcul sur un processeur à 30 Gflops : 105 s ≈ la journée Fréquence max traitée correctement dans ce calcul : longueur d’onde = (10 points par longueur d’onde)*0.1m=1m, soit 300 MHz.

  36. Limitations du volume maillé Il faut absorber l’onde en bords de volume. Si on mettait un conducteur (effet de peau…) il y aurait des réflexions très importantes. On ajoute une couche absorbante de matériaux fictifs (conductivité magnétique !) en bords de volume Impédance d’onde : (cf page 14) Pour une onde normale à la surface le coefficient de réflexion est : Si Z=Z0 : pas de réflexion ! Adaptation d’impédance On obtient cette adaptation d’impédance si :

  37. CALCUL DU COEFFICIENT DE REFLEXION A L’INTERFACE MILIEU Z0 MILIEU Z Ei Et Er Pas de discontinuité à l’interface (Courant réparti dans l’épaisseur) -ki ki kt Hi Ht Hr Donc :

  38. Cas général : onde incidente non normale J.P. Bérenger, J. Comput. Phys. 114, 185 (1994) Séparer les composantes du champ parallèle à la couche absorbante en 2 morceaux (ici, la couche absorbante en perpendiculaire à z) Quand σ=σ*=0, on retrouve les équations dans le milieu physique. Seule les morceaux en z (cad correspondant à une propagation en z) sont modifiés. La propagation en x,y est inchangée.

  39. Dans la pratique, il faut considérer des murs perpendiculaires à x, y ,z. …et il faut augmenter progressivement les conductivités, par exemple :

  40. Plaques minces : cas 2D (pour simplifier) L.K. Wu et L.T. Han, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 40, 628, 1992 On ne veut pas mailler l’épaisseur de la plaque, cela conduirait à des maillages énormes ! On remplace la plaque par une résistance équivalente  modèle basse fréquence (pas d’effet de peau = pas d’induction) - Pas de dépendance en z Question : S1, S2 ?

  41. Loi d’Ohm sur la plaque résistive : L Plaque carrée : e = Impédance de surface L Continuité de la composante tangentielle du champ et loi d’Ohm dans la plaque Discontinuité du champ H tangentiel aux interfaces en présence de courant de surface + - Ce qui rend caduque eq. 5c

  42. Algorithme modifié sur la plaque Algorithme initial 2R En supposant une dépendance linéaire en temps autour de n+1/2

  43. Prise en compte de fils minces R. Holland, L. Simpson, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 23, 88, 1981 • Une perturbation EM est susceptible d’induire des courants parasites sur les systèmes • Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à • des équations sur les courants et charges induits sur les fils Etablissement des équations sur I et Q On a Ez(a)=0 (pourquoi ?)

  44. Hypothèses sur les champs (basse fréquence, et localement) (Théorème d’Ampère en magnétostatique) (Théorème de Gauss en électrostatique) À une distance moyenne R Equation de continuité I(z) I(z+dz) Q(z)dz

  45. Modification de l’algorithme de Yee avec fil (vertical) Intensité Intensités I : milieu des arêtes Temps demi-entiers I : points (p, q, r+1/2, n+1/2) Charges Q : coins du cube, temps entiers Q: points (p, q, r, n) Charge • Par cellule : 8 quantités (6 composantes de champ+Q+I) à propager • Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à • des équations sur les courants et charges induits sur les fils

  46. Modification de l’algorithme de Yee avec fils 1. Calculer I au temps n+1/2, à partir de I au temps n-1/2 et de E et de Q au temps n 2. Calculer H au temps n+1/2, à partir de H au temps n-1/2 et de E au temps n 3. Calculer E au temps n+1, à partir de E au temps n et de H et de I au temps n+1/2 4. Calculer Q au temps n+1, à partir de Q au temps n et de I au temps n+1/2 Yee sans changement Yee avec rajout du courant du fil

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