第七章 周期场中的电子态

1. 假设过于简单,势能为零,运动的电子不受束缚. 电子比热,热电子发射 实际上,受晶体的离子和电子产生的 晶体势场的影响. 金属自由电子论 第七章 周期场中的电子态

2. 7.1 周期性势场和布洛赫电子

3. 离子和电子的数密度 严格说，要求解晶体中的电子状态，必须写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电子的薛定谔方程 复杂的多体问题，进行三个近似

4. 电子间的库仑相互作用 计及自旋和电子间交换互作用 绝热近似，玻恩-奥本海姆近似 多体问题转化为多电子问题 哈特里平均场 平均场近似 哈特里-福克平均场 多电子转化为单电子问题 周期场近似 周期为晶格所具有的周期

5. 一、绝热近似 ∵ m核 ＞＞ me 电子运动的典型速率是106 m/s，而原子核运动速率最高只有103 m/s。 ∴ 认为原子核对电子的运动并无反应，而电子对原子核的运动响应如此迅速，电子体系的能量总是处于与任一瞬时原子核位置相对应的最低能量。通常将此描述为电子绝热地响应原子核位 置的变化。

6. 在讨论电子运动时，可认为所有的原子核都固定在平衡位置。在讨论电子运动时，可认为所有的原子核都固定在平衡位置。 原子核只相当于对电子提供了一个固定的外势场。 多种粒子问题 → 多电子问题，得到多电子薛定锷方程

7. 复杂的多粒子体系简化为周期场中的单电子运动复杂的多粒子体系简化为周期场中的单电子运动

8. 7.1.2 布洛赫波 晶体电子在规则排列的正离子势场中运动， 势场具有晶格周期性． 周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波， 而是调幅平面波，其振幅不再是常数。 此种形式的波函数称为布洛赫函数．

9. 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。  只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。  它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。  这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。  因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。

10. 证明布洛赫定理： 　平移算符：

11. 势能具有周期性 哈密顿量也具有周期性或平移对称性

14. 的本征值 必然满足 三维晶体，引入周期性边界条件

20. 周期为a的一维晶格，倒格子的周期是 　倒格子的坐标： • 平移算符对这两个波函数有同样的效果．为了使K的取值范围同算符的不同本征值一一对应，把K的范围限制在倒格子原胞内．

21. 这个倒格子空间限定的区域称为简约布里渊区．这个倒格子空间限定的区域称为简约布里渊区． • 波矢：简约波矢． • 每个波矢在简约布里渊区中占有线度： • 简约布里渊区内包括： 个波矢．

22. 状态点在倒空间所占的“体积” 状态点在倒空间密度

23. 对于波矢 和 应具有同样的能量 相差倒格矢的波矢描述同样的状态

24. 7.2 近自由电子近似 布洛赫定理 电子波函数的普遍形式 近自由电子近似 周期场较弱 周期场起伏较弱， 自由电子情况稳定势场的微扰 电子行为接近自由电子，故叫近自由电子近似， 给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。

25. 作为周期函数，傅立叶展开 取 7.2.1 一维周期势作为微扰

26. 势场为实数 势场的傅立叶分量

27. 为自由电子的波函数

28. 是一维晶体的长度 原胞数 K的范围限制在 周期性边界条件

29. 一级微扰的能量

32. 波函数为

34. 一维布洛赫函数的形式

35. 可以得出 具有晶格周期性

36. 在 附近 7.2.2 能隙的由来----简并微扰

37. 近似由 替代