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第九章 空间向量专题复习

第九章 空间向量专题复习. 制作人：焦明辉. 一复习回顾. 1 平行六面体法则. 2. 共线向量 : (1) 定义 : 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 , 则这些向量叫做共线向量 ( 或平行向量 ), 记作. (2) 共线向量定理 : 对于空间任意两个向量 a 、 b ( b =0), a // b 的充要条件是存在实数 λ 使 a = λ b. P. B. a. OP = mOA+nOB. (3). OP = OA + t a . (1).

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第九章 空间向量专题复习

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Presentation Transcript

  1. 第九章 空间向量专题复习 制作人：焦明辉

  2. 一复习回顾 1 平行六面体法则 2.共线向量: (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作

  3. (2)共线向量定理: 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条件是存在实数λ使a= λb. P B a OP = mOA+nOB. (3) OP = OA + t a. (1) OP = (1- t)OA + t OB. (2) OP 、OA 、OB.的终点共线的充要条件是存在实数m、n，且m+n=1，使得 (3)推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量a叫做直线l的方向向量. 说明:(1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.

  4. 一复习回顾 3 共面向量定理： 推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 实数对x、y，使 → → → MP = xMA + yMB 1 → → → → 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 2 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C， → → → → OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞ 四点P、A、B、C共面。 3

  5. P 一复习回顾 C 4空间向量基本定理： O A B B1 A1 P1 • 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。 • 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

  6. 5 空间两个向量的数量积 （1） （2） （3）

  7. 数量积的运算律 （1） （2） （3）

  8. 则 设 6、向量的直角坐标运算.

  9. 7空间向量的夹角和距离公式 (1) 夹角、

  10. (2) 空间两点间的距离公式、

  11. 学习目标： 1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。 2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离 3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）

  12. 二知识运用与研究 Z 解析：不妨设正方体的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系O-XYZ D1 F1 C1 E1 A1 B1 C D A O B Y X 例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= 求BE1与DF1所成的角的余弦值

  13. Z D1 F1 C1 E1 A1 B1 C D A B Y X 解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O—xyz，则 B(1，1，0)， E1(1，3／4，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1) BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1) ∣BE1∣=√17／4 ∣DF1∣=√17／4 BE1·DF1 =15／16 ∴cos＜BE1，DF1＞ BE1·DF1 = ∣BE1∣·∣DF1∣ =15／17

  14. C B A D 2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l AB=4cm,，AC=6cm，BD=8cm, CD=2√17求异面直线AC、BD所成角 ∴(2√17)2=62+42+82+2×6 ×8cos＜CA，BD＞ ∴cos＜CA，BD＞=1200 ∴所求角为600

  15. 例4.已知在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA’=5例4.已知在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA’=5 → → → → 解 ∵AC'=AB+AD+AA' → → → → C’ ∴∣AC'∣2=(AB+AD+AA')2 D’ =∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2 A’ → → → → → → B’ +2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA') D C =42+32+52+2(0+10+7.5) =85 A B ∴∣AC∣=√85

  16. Z 例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1⊥平面AB1D1 A D B C 证明 连结 A1C1 ∵CC1⊥平面A1B1C1D1 B1D1⊥A1C1 A1 D1 y ∴A1C⊥B1D1 B1 C1 同理可证 A1C⊥AD1 X ∵B1D1∩AD1=D1 ∴CA1⊥平面AB1D1

  17. 三 练习反馈 1 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB， 线段DD'⊥α，∠DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离 解 由已知有AC⊥AB <CA·BD>=1200 → → → → → → ∣CD∣2=CD·CD= (CA+AB+BD)2 C =∣CA∣2+∣AB∣2+∣BD∣2 D → → → → → → +2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD D’ =b2+a2+b2+2b2cos1200 =a2+b2 A B ∴∣CD∣=√a2+b2

  18. 2 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=1200 求(1) ︱BD1︳ (2)直线BD1和AC夹角的余弦值 D1 C1 A1 B1 D C A B

  19. 知识方法总结 利用向量解几何题的一般方法 1 把线段或角度转化为向量表示,并用已知 向量表示未知向量,然后通过向量运算去 计算或证明! 2 解决途径︰坐标式和向量式

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