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第一章 空間向量

第一章 空間向量. 1-3空間向量的內積. 目錄. 1-3空間向量的內積 甲、空間向量的內積 乙、正射影與高 丙、柯西不等式. 請看課本 p.36. 一 . 空間向量的內積 在空間中 , 若 , 為兩個非零向量 , 作 , 則 為 與 的夾角 , 此時我們可仿平面向量內積的定義 , 定義 與 的內積為 也記為　　　　　　　　 , 且當 , 有一為 時 , 我們定義. 例題 1. 隨堂 1. 例題 2. 隨堂 2-1. 隨堂 2-2.

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第一章 空間向量

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  1. 第一章 空間向量 1-3空間向量的內積

  2. 目錄 • 1-3空間向量的內積 • 甲、空間向量的內積 • 乙、正射影與高 • 丙、柯西不等式

  3. 請看課本p.36 • 一. 空間向量的內積 • 在空間中, 若 , 為兩個非零向量, 作 ,則 為 與 的夾角, • 此時我們可仿平面向量內積的定義, • 定義 與 的內積為 • 也記為　　　　　　　　, • 且當 , 有一為 時, 我們定義 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 下一主題

  4. 甲、空間向量的內積 請看課本p.36 • 上述中, 若 = (x1, y1, z1 ) , = (x2, y2, z2 ), 且O為原點, 則A點坐標為(x1, y1, z1 ), B點坐標為(x2, y2, z2 ), 如右圖, • 在OAB中, 由餘弦定理可得 • 所以 • 化簡得 • 即 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 下一主題

  5. 甲、空間向量的內積 請看課本p.36 • 此關係式, 當 或 或 時, 同學們很容易檢驗其會成立. 我們將此結果整理如下： • 空間中兩向量 = (x1, y1, z1 ) 與 = (x2, y2, z2 ) , 則 • 與 的內積為 •  當 與 皆不為 時, 與 的夾角 滿足 • 上式中, x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 下一主題

  6. 例題1 請看課本p.37 試求下列兩向量的夾角. = ( 1 , -1 , 2 ) , = ( 2 , 1 , 1 ) . = ( 3 , 7 , 6 ) , = ( 5 , -3 , 1 ). • 解： • 設 與 的夾角θ, 則 • 所以 與 的夾角為 60°. 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  7. 例題1 請看課本p.37 試求下列兩向量的夾角. = ( 1 , -1 , 2 ) , = ( 2 , 1 , 1 ) . = ( 3 , 7 , 6 ) , = ( 5 , -3 , 1 ). • 解： • 設 與 的夾角 , 則 • 所以 與 的夾角為90°.  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  8. 隨堂練習1 請看課本p.37 求 = ( -1 , 0 , 1 ) 與 = ( 1 , 1 , 0 ) 的夾角. 若 = ( 3, -2, 1 ), = ( 1, 4, 5 ) 與 = ( 1, 1, -1 ),試判斷哪兩向量互相垂直. • 解： • 設 與 的夾角θ, 則 • 所以 與 的夾角為120°. 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  9. 隨堂練習1 請看課本p.37 求 = ( -1 , 0 , 1 ) 與 = ( 1 , 1 , 0 ) 的夾角. 若 = ( 3, -2, 1 ), = ( 1, 4, 5 ) 與 = ( 1, 1, -1 ),試判斷哪兩向量互相垂直. • 解： •  • 所以 , 與 兩兩互相垂直, 即 且 . 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  10. 例題2 請看課本p.38 如右圖, ABCD-EFGH為一正立方體, O為正立方體的中心點, 試證試求 • 解： • 建一坐標系,使原點在F上, 並將經過F點的三邊分別置於x軸, y軸, z軸的正向上, 如右圖. • 若正立方體的邊長為a, 則各頂點的坐標分別為 正方體對角線(3D) 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  11. 例題2 請看課本p.38 如右圖, ABCD-EFGH為一正立方體, O為正立方體的中心點, 試證試求 • 解： • 　　　　　　 , , • 由 • 故　　　　 . 正方體對角線(3D) 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  12. 例題2 請看課本p.38 如右圖, ABCD-EFGH為一正立方體, O為正立方體的中心點, 試證試求 • 解： • 　　　　　　 , , 所以 正方體對角線(3D) 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  13. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 正方體對角線(3D) 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  14. 隨堂練習2-1 請看課本p.38 在例題2的正立方體中, 試求： 　　　　　　　　 • 解： • 建一坐標系, 使原點在F上, 並將經過F點的三邊分別置於x軸, y軸, z軸的正向上, 如右圖. • 若正立方體的邊長為a, 則各頂點的坐標分別為 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  15. 隨堂練習2-1 請看課本p.38 在例題2的正立方體中, 試求： 　　　　　　　　 • 解： •  • 所以 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  16. 隨堂練習2-1 請看課本p.38 在例題2的正立方體中, 試求： 　　　　　　　　 • 解： •  • 所以 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  17. 請看課本p.39 • 二. 空間向量內積的性質 • 空間向量的內積與平面向量的內積一樣, 皆具有下列的性質: • 設 為任意三向量, k為任意實數, 則 •  •  •  •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 下一主題

  18. 請看課本p.39 • 仿照平面向量的作法, 以上性質, 我們可用空間坐標的方式來驗證, 僅將如下： • 證： • 設　　　　　　　　　　　 , 則 •  • 又 •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 下一主題

  19. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 1. 試驗證上述性質. 2. 試利用向量內積的性質, 驗證下列結果﹕    平行四邊形定理： 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  20. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 1. 試驗證上述性質. • 證： • 設 • 則 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  21. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 1. 試驗證上述性質. • 證： • 則 例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  22. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 2. 試利用向量內積的性質, 驗證下列結果﹕  • 證： •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  23. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 2. 試利用向量內積的性質, 驗證下列結果﹕  • 證： •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  24. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 2. 試利用向量內積的性質, 驗證下列結果﹕  • 證： •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  25. 隨堂練習2-2 請看課本p.39 2. 試利用向量內積的性質, 驗證下列結果﹕ 平行四邊形定理： • 證： •  例題1 隨堂1 例題2 隨堂2-1 隨堂2-2 返回 下一主題

  26. 乙、正射影與高 請看課本p.40 • 在第三冊第三章中, 我們介紹過內積與正射影的關係, 如下圖所示, 為 在 方向上的正射影： 0°θ< 90° θ= 90° 90°<θ 180° 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 下一主題

  27. 乙、正射影與高 請看課本p.40 • 我們知道： •  在 方向上的正射影 •  • 利用這些關係, 我們可用來求平行四邊形或三角形的高. 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 下一主題

  28. 例題3 請看課本p.40 若△ABC的三頂點為 A(2, 1 ,0), B(10, 5, 8) ,C(8, 0, –1), 試求AB邊上的高. • 解： • 先作如右之略圖, 設C點在AB邊上的垂足為H, 則AB邊上的高為 . • 方法一 • 　 為 在 上的正射影, • 又 =(8,4,8) , = (6,–1,–1), • 得 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  29. 例題3 請看課本p.40 若△ABC的三頂點為 A(2, 1 ,0), B(10, 5, 8) ,C(8, 0, –1), 試求AB邊上的高. • 解： • 方法一 • 由 • = (2,1,2) – (6,–1,–1) = (– 4,2,3), • 所以高為 . 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  30. 例題3 請看課本p.41 若△ABC的三頂點為 A(2, 1 ,0), B(10, 5, 8) ,C(8, 0, –1), 試求AB邊上的高. • 解： • 方法二 • 　 為　 在　 上的正射影, 設 • 又 • 由 得8(8t– 6) + 4(4t+1) + 8(8t+1) = 0, 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  31. 例題3 請看課本p.41 若△ABC的三頂點為 A(2, 1 ,0), B(10, 5, 8) ,C(8, 0, –1), 試求AB邊上的高. • 解： • 方法二 • 整理得144t– 36 = 0, • 故得 • 所以高為 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  32. 隨堂練習3 請看課本p.41 設ABCD為平行四邊形, 其三頂點的空間坐標為A(2, 1, 0), B(10, 5, 8), C(8, 0, –1), 試求D點坐標及AB邊上的高. • 解： • 先作如右之略圖, • 設D點坐標為(x, y, z), • 且D點在AB邊上的垂足為H, • 則AB邊上的高為 . • 因為ABCD為平行四邊形, 故 • 所以 • 得D(0, – 4, –9). 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  33. 隨堂練習3 請看課本p.41 設ABCD為平行四邊形, 其三頂點的空間坐標為A(2, 1, 0), B(10, 5, 8), C(8, 0, –1), 試求D點坐標及AB邊上的高. • 解： • 又 為 在 上的正射影, • 由 = (8, 4, 8), • = (–2, –5, –9), 得 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  34. 隨堂練習3 請看課本p.41 設ABCD為平行四邊形, 其三頂點的空間坐標為A(2, 1, 0), B(10, 5, 8), C(8, 0, –1), 試求D點坐標及AB邊上的高. • 解： • 由 • 所以高為 . 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  35. 請看課本p.41 • 此外, 在平面向量中, 我們曾介紹如何利用正射影的概念, 將一向量分解為兩個互相垂直向量的和, 且其中的一個向量和另一個已知向量平行, 同樣的概念, 也可用於空間向量中, 我們以下面例題說明： 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  36. 例題4 請看課本p.41 設 = (8,4,8), = (6,–1,–1), 試將 表示成 , 其中　　 且　　 . • 解： • 設 在 方向上的正射影為 , 必與 平行, 且 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  37. 隨堂練習4 請看課本p.41 設 = (2, –1, 2), = (4, 1, 1), 試將 分解為 ,其中 且 . • 解： • 設 在 方向上的正射影為 , 必與 平行, • 取 = (4, 1, 1) – (2, –1, 2) = (2, 2, –1), 則 • 即 前一主題 例題3 隨堂3 例題4 隨堂4 返回 下一主題

  38. 丙、柯西不等式 請看課本p.42 • 根據向量內積的定義, 柯西不等式對於空間向量也成立： • 設 , 為任意兩向量, 則 • 且 或 , 中有一為 • 在空間中, 若 • 則柯西不等式可以寫成 • 兩邊平方得 前一主題 例題5 隨堂5 下一主題

  39. 丙、柯西不等式 請看課本p.42 • 亦即 • 柯西不等式在 或 , 有一為 時, 等號都成立, 反之亦成立. 此結論我們整理如下： • 柯西不等式 • 設a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3為任意實數, 則 • 且當 與 平行或 , 有一為 時,等號成立, 反之亦然. 前一主題 例題5 隨堂5 下一主題

  40. 例題5 請看課本p.43 設x, y, z為實數,且滿足x–2y +3z = 6, 試求 x2 +4y2 +9z2的最小值及產生最小值時的x, y, z值. • 解： • 由柯西不等式知[x2 + (2y)2 + (3z)2][12 + (–1)2 + 12] ≥ (x – 2y + 3z)2, • 得 3(x2 +4y2 +9z2)≥ 36, • 即 x2 +4y2 +9z2 ≥ 12, • 因為 x–2y +3z = 6, 故(x, 2y, 3z)不是零向量, • 所以等號成立時, 向量 (x,2y,3z)‖ (1,–1,1), 前一主題 例題5 隨堂5 返回 下一主題

  41. 例題5 請看課本p.43 設x, y, z為實數,且滿足x–2y +3z = 6, 試求 x2 +4y2 +9z2的最小值及產生最小值時的x, y, z值. • 解： • 即存在, 使得(x,2y,3z) = k (1,–1,1), • 故　　　　　　　　　 代入 x–2y +3z = 6, • 得 • 故　　　　　　　　 時, x2+4y2+9z2=12為最小值. 前一主題 例題5 隨堂5 返回 下一主題

  42. 隨堂練習5 請看課本p.43 設x, y, z為實數, 且滿足x2+4y2+z2=17, 試求2x+4y –3z的最大值﹑最小值及產生最大值﹑最小值時的x, y, z值. • 解： • 由柯西不等式知 • 得 • 所以 • 故 2x+4y –3z的最大值為17, 最小值為 –17. • 又等號成立時, 向量(x, 2y, z) // (2, 2, –3), • 即存在　　 , 使得(x, 2y, z) = k(2, 2, –3), 前一主題 例題5 隨堂5 返回 下一主題

  43. 隨堂練習5 請看課本p.43 設x, y, z為實數, 且滿足x2+4y2+z2=17, 試求2x+4y –3z的最大值﹑最小值及產生最大值﹑最小值時的x, y, z值. • 解： • 故 • (1)當 時, • 得 • 即最大值時 • (2)當 時, • 得 • 即最小值時 前一主題 例題5 隨堂5 返回 下一主題

  44. 第一章 空間向量 1-3 習題

  45. 一﹑觀念題 請看課本p.44 對的在題號前打「」, 錯的在題號前打「」 當 = (x1, y1, z1)與 = (x2, y2, z2)為兩非零向量時, x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. 若B在直線OA的垂足為H, 則 在 的正射影為 . 在 上正射影的長為 • 解： • ○　 ○　○

  46. 一﹑觀念題 請看課本p.44 若 為 在 方向上的正射影, 則 若a1, a2, a3, b1, b2, b3為非零實數且則 • 解： • ○　○

  47. 二﹑基礎題 請看課本p.44 1.如右圖, A–BCD為一邊長為a的正四面體, 試求　　　　　　　　之值. 試證 • 解： • 及 的夾角均為60°, • 所以

  48. 二﹑基礎題 請看課本p.44 1.如右圖, A–BCD為一邊長為a的正四面體, 試求　　　　　　　　之值. 試證 • 解： • 由 • 所以 , 故得證.

  49. 二﹑基礎題 請看課本p.44 2.設 A(2, 0, –3), B(0, –2, –2), C(6, 1, –2)為空間中三點, 試求： A的度數. 在 方向上的正射影. △ABC中 邊上的高. • 解： •  設 = (–2, –2, 1), = (4, 1, 1), • 得 •  • 所以A = 135°.

  50. 二﹑基礎題 請看課本p.44 2.設 A(2, 0, –3), B(0, –2, –2), C(6, 1, –2)為空間中三點, 試求： A的度數. 在 方向上的正射影. △ABC中 邊上的高. • 解： •  設C點在AB邊上的垂足為H, 則 在 方向上的正射影為

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