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第 8 章 M 通道滤波器组

第 8 章 M 通道滤波器组. 8.1 M 通道滤波器组的基本关系 8.2 M 通道滤波器的多相结构 8.3 混迭抵消和 PR 条件的多相表示 8.4 M 通道滤波器组的设计 8.5 余弦调制滤波器组. X 0 (z). V 0 (z). U 0 (z). H 0 (z). ↓ M. ↑ M. G 0 (z). X 1 (z). V 1 (z). U 1 (z). H 1 (z). ↓ M. ↑ M. G 1 (z). X M-1 (z). V M-1 (z). U M-1 (z). H M-1 (z). ↓ M. ↑ M.

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第 8 章 M 通道滤波器组

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  1. 第8章 M通道滤波器组 8.1 M通道滤波器组的基本关系 8.2 M通道滤波器的多相结构 8.3 混迭抵消和PR条件的多相表示 8.4 M通道滤波器组的设计 8.5 余弦调制滤波器组

  2. X0(z) V0(z) U0(z) H0(z) ↓M ↑M G0(z) X1(z) V1(z) U1(z) H1(z) ↓M ↑M G1(z) . . . . . . . . . XM-1(z) VM-1(z) UM-1(z) HM-1(z) ↓M ↑M GM-1(z) 8.1 M通道滤波器组的基本关系 • 标准的M通道滤波器组 : 图8.1.1 M通道滤波器组

  3. 由第五章~第七章的讨论，我们得到图中各处信号之间的如下相互关系：由第五章~第七章的讨论，我们得到图中各处信号之间的如下相互关系： 8.1.1 及8.1.3

  4. 滤波器组的最后输出 令 则 这样，最后的输出 是 的加权和。

  5. 由于 8.1.7 在 时是 的移位，因此， 是 及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在 时， 是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证 (8.1.8) 则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真. 再定义 8.1.9 显然， 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。（8.1.9）式的和（7.2.4）式的 一样，都称为“失真函数”。

  6. 由（8.1.5）式， 能否为零取决于 的性质。将该式写成矩阵形式，有 （8.1.10） 令 （ 8.1.11） 并令（8.1.10）式右边的矩阵为 ，则在去除混迭失真的情况下，有 （8.1.12）

  7. 由（8.1.12）式，我们有 （ 8.1.13） 为保证去除混迭失真,可选 这样，若 已知，即可求出综合滤波器组 。 （8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为： (8.1.14) 式中 是 的伴随矩阵。

  8. a.若 是FIR的，显然det 也是FIR的，这时 将变成IIR的； b.若选择 ，这时 可保证是FIR的，但由于 ，因此 的阶次将远大于 ; c.若 有零点在单位圆上， 的幅度将会产生较大的失真。

  9. 8.2 M通道滤波器的多相结构 • 仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为： (8.2.1) 写成矩阵形 (8.2.2) 记

  10. 并记（8.2.2）式右边的矩阵为，则 (8.2.4) 称为多相矩阵，而 是由上一节的AC矩阵的 第一列构成的。同理，对综合滤波器组 按第二类多相结构展开，有 (8.2.5) 写成矩阵形式：

  11. 记该式右边的多相矩阵为 ，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式 (8.2.7)

  12. 式中已在（8.1.11）式中定义， 。利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1.1的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图（b）和（c）的形式。 在图（c）中 该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵 和 的分析，或简单的 的分析。若 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。

  13. 我们讨论一下，AC矩阵和多相矩阵的关系。由（8.2.3）式对 的定义及（8.1.10）式对 的定义，我们有 (8.2.8) 由（8.2.2）式， 又可表为

  14. (a) ↓M ↓M ↑M ↑M . . . . . . . . . . . . . . . . . . ↓M ↑M ↓M ↑M ↓M ↑M (b) ↓M ↑M ↓M ↑M ↓M ↑M (c) ↓M ↑M

  15. 记 (8.2.9) (8.2.10) 则 (8.2.11a) 或(8.2.11b) （8.2.11）式即是混迭分量矩阵 和多相矩阵 的关系。

  16. 8.3 混迭抵消和PR条件的多相表示 • 定理8.1 一个M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵 为伪循环矩阵。 所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵 将其主对角线以下的元素都乘以 所得到的矩阵，即

  17. 该伪循环矩阵所对应的时域关系是： 现证明定理8.1。 由图8.2.1（c），有

  18. (8.3.1) (8.3.2) 于是最后的输出 该式是M通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有

  19. (8.3.4) 因为 为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。 也就是说，使混迭抵消的充要条件是使 时的 (8.3.5) 记(8.3.6)

  20. 则（8.3.5）式可表为： (8.3.7) 式中c为不等于零的常数。 为便于观察矩阵中元素的规律，现对（8.3.6）式作进一步的展开。假定M=4，有 (8.3.8a) (8.3.8b) (8.3.8c) (8.3.8d)

  21. 注意式中省去了 的 。同时，（8.3.7）式可表为 由于 ，所以上式又变为： (8.3.9) 常数c’包含了常数c和M。由于W是DFT矩阵，其第一行和第一列全为１。因此，（8.3.9）式意味着

  22. (8.3.10) 由（8.3.8）和（8.3.10）式可知，矩阵中各元素应有如下规律（以M=4为例） 1.同为 的系数应该相等，即 2.同为 的系数应该相等，即 3.同为 的系数应相等，即 4.由于 ，因此，在（8.3.8）的前两个式子中，必应有

  23. 5.同理，由（8.3.8b）和（8.3.8c）式，应有 由（8.3.8c）和（8.3.8d）式，应有 因此矩阵P的各元素之间应有

  24. 注意式中由 改成 是因为矩阵 实际上是 。由此我们可以看出， 确实是一伪循环矩阵。

  25. 定理8.2　　一个通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是定理8.2　　一个通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是 (8.3.11) 式中 为整数， ，c为不等于零的常数。 证明：PR条件意味着混迭抵消条件成立。由（8.3.4）式，在k=0时，有 (8.3.12) 由（8.3.6）式的定义，则

  26. 由（8.3.10）式，并定义 (8.3.13) 则 (8.3.14) 我们希望 ，则 。由（8.3.8a）式，由于 因此，要求 ，则等效要求 中只能包含一项。不失一般性，设 中下标为 的元素不为零，该项是 。由于 又是伪循环矩阵，也即从第一行开始，以下各行元素都是第０行元素循环移位的结果，因此， 必然具有如下形式：

  27. 即(8.3.15) 于是定理得证。

  28. 8.4 M通道滤波器组的设计 • 定理8.1和定理8.2指出，对M通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则 应为伪循环矩阵。若再做到准确重建，则 的每一行（或列）只能有一个元素不为零，整个 的如（8.3.11）式所示。这样，实现PR的M通道滤波器组的 结构已确定，其余的任务即是寻求 来满足 。直接求出 是比较困难的。由于 ，因此，由给定形式后 的来寻求 相对比较容易。又由于一旦求出 后为求 需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使 为IIR的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定 是仿酉的。

  29. 这样(8.4.1) 是一个极简单的计算。同时 (8.4.2) 保证了系统的PR性质。反之，若系统满足PR，由（8.4.2）和（8.4.1）式， 必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出 使之满足（8.4.2）式，一旦求出，由 (8.4.3a) (8.4.3b) 即可求出 和 。

  30. 给定一个范数等于1的向量 ，其维数为 ，那么 是 的矩阵，定义 (8.4.4) 则 是仿酉矩阵，即 (8.4.5) 每一个 ，都是一个一阶的仿酉系统，该系统可由图8.4.1来实现。

  31. 图8.4.1 一阶仿酉系统 的实现 可以证明，一个J阶的仿酉矩阵 可由一阶的简单仿酉矩阵 的级联来构成，即 (8.4.6) 式中为常数酉矩阵，即 ，那么， 可由图8.4.2来实现。

  32. … 图8.4.2 的实现 文献［15］进一步证明了常数酉矩阵可进一步作如下分解： (8.4.7) 式中D是对角阵，其元素 ，而矩阵可表为 (8.4.8)

  33. 将 按（8.4.5）式分解， 由（8.4.4）式的 表示，而将 可按（8.4.6）式分解后， 又由（8.4.7）式的 表示。因此，决定的 主要是向量 和 ，现在的工作是选定一目标函数，然后对 和 求最优，从而得到所需要的“好的”分析滤波器 。目标函数可选 这M个滤波器阻带能量的和，即 (8.4.9) 令 将对 和 最小可得到 ，再由 即可得到综合滤波器组。

  34. … (a) (b) 图8.4.3 (a)矩阵的实现 (b) 矩阵 的实现 文献[15]利用此方程设计了一个三通道的滤波器组，其幅频响应如图8.4.4所示， 的数值如表8.4.1所示。

  35. 表8.4.1三通道滤波器组各滤波器的系数 0 -0.0429753 -0.0927704 0.0429888 1 0.0000139 0.0000008 -0.0000139 2 0.1489104 0.0087654 -0.1489217 3 0.2971954 0.0000226 0.2972354 4 0.3537539 0.1864025 -0.3537496 5 0.2672266 -0.0000020 0.2672007 6 0.0870758 -0.3543303 -0.0870508 7 -0.0521155 -0.0000363 -0.052090 8 -0.0875973 0.3564594 0.0875786 9 -0.0427096 -0.0000049 -0.0427067 10 0.0474530 -0.1931082 -0.0474452 11 0.0429618 0.0000230 0.0429677 12 0.0 0.0 0.0 13 -0.0232765 -0.0000026 -0.0232749 14 0.0000022 0.0 0.0000022

  36. 图8.4.4 三通道滤波器组的幅频响应

  37. 8.5 余弦调制滤波器组 • 8.5.1余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFB 我们在6.2节介绍了DFT滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组，令 (8.5.1a) 则(8.5.1b)

  38. 即M个分析滤波器组是由 作调制所得到的，调制因子是 ，相应的频谱是 做均匀移位所得到的。移位距离是 。这样，为防止 之间有混迭， 的截止频率在 ，带宽为 。如图6.1.2所示。 DFT滤波器是一种复数调制滤波器组，即使 是实的， 也是复的，这样，对实信号 ，经分析滤波器组的分析后，M个子带信号也都变成复信号。这是DFT滤波器组的缺点。

  39. 为了克服DFT滤波器组的这一缺点，人们又提出了“余弦调制”滤波器组的概念。假定我们给定两个原型滤波器 和 ，令 (8.5.2a) (8.5.2b) 则可得到M个分析滤波器和M个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中 (8.5.3)

  40. D是整个滤波器组输出相对输入的延迟.由于 , 是原型的 , 乘以余弦函数所得到的，因此称它们为“余弦调制”滤波器组。现就（8.5.2）及（8.5.3）式的给出做一些说明。 对给定的原型低通滤波器 ，我们首先由它得到一个2M大的DFT分析滤波器组，即令 (8.5.4a) (8.5.4b)

  41. 式中 。我们假定 是实的，所以 是偶对称的，并假定 是低通的，其截止频率在 处，带宽为 ，如图8.5.1a所示。由于 (8.5.4c) 所以 如图8.5.1b所示。 由该图可以看出， 和 是相对 为对称的。这样，如果我们把 和 相结合形成一个滤波器，那么该滤波器将具有实系数，且带宽度为 。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。

  42. … … 图8.5.1 余弦调制滤波器组的频率响应 (a)原型低通 (b)2M个分析滤波器组 令(8.5.5a) (8.5.5b)

  43. 式子中 为模为1的范数。令 (8.5.6) 式中 也是模为1的范数。由于 (8.5.7) 是阶次为N-1的FIR实系数低通滤波器，所以，由（8.5.6）式得到的 (8.5.8)

  44. 也是N-1阶的FIR滤波器，由于 的共轭特性，因此 也是实系数。显然， 是低通的， 是高通的，其余则是带通的。 由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，我们可选 (8.5.9) 这样，由（8.5.5）～（8.5.9）式保留了三个常数待确定，即 。如同所有的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的问题。

  45. 由（8.1.9）式，在M通道滤波器组中失真函数 总有如下的形式： (8.5.10) 若选择(8.5.11a) 或等效地选择 (8.5.11b) 则 (8.5.12a) 或(8.5.12b)

  46. 这样，如果 具有线性相位，从而去掉了相位失真。若 再是功率互补的，则可去掉幅度失真。文献[15]证明了如下关系： 1.为去除混迭失真，应选择 ； 2.选择 ，可保证 ， 和 有着同样的相频响应； 3.选择 ，可使 ，从而使 具有线性相位，从而去除相位失真； 4.选择 及 ，保证了第1条的 条件，即去除混迭失真。对 的此种制约，可选

  47. (8.5.13) 这时， 可简化为 (8.5.14) 5.总之，按（8.5.13）式选择 及使 如（8.5.11b）式，我们可近似消除混迭失真，并完全去除相位失真。在上述条件下， 和 最后简化为（8.5.2）式，且在该式中 即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤波器 。式中D=N-1

  48. 6.余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来自（8.5.12b）式的 不是全通的。由于余弦调制滤波器组的 和 均来自原型滤波器 ，因此， 的形态便直接和 有关，也即余弦调制滤波器组的设计归结到 的设计。前已述及， 的截止频率为 ，带宽为 。我们自然希望 在通带内尽量地平，在阻带内具有最大的衰减。因此，定义 (8.5.15a) (8.5.15.b)

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