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第 23 课 平行四边形

第 23 课 平行四边形. 1 . n 边形以及四边形的性质 ( 1 ) n 边形的内角和为 ,外角和为 ,对角线条数为 . ( 2 ) 四边形的内角和为 ,外角和为 ,对角线条数为 . ( 3 ) 正多边形的定义:各条边都 ,且各内角都 的多边形叫正多边形.. 基础知识 自主学习. 要点梳理. ( n - 2)·180°. 360°. 360°. 360°. 2. 相等. 相等. 2 .平行四边形的性质以及判定 ( 1 ) 性质: ①平行四边形两组对边分别 平行且相等 ; ②平行四边形对角 相等 ,邻角 互补 ;

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第 23 课 平行四边形

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  1. 第23课 平行四边形

  2. 1.n边形以及四边形的性质 (1)n边形的内角和为,外角和为,对角线条数为. (2)四边形的内角和为,外角和为,对角线条数为. (3)正多边形的定义:各条边都,且各内角都的多边形叫正多边形. 基础知识 自主学习 要点梳理 (n-2)·180° 360° 360° 360° 2 相等 相等

  3. 2.平行四边形的性质以及判定 (1)性质: ①平行四边形两组对边分别平行且相等; ②平行四边形对角相等,邻角互补; ③平行四边形对角线互相平分; ④平行四边形是中心对称图形. (2)判定方法: ①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  4. 3.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.3.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.

  5. [难点正本 疑点清源] 1.理解平行四边形相关概念 四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同.在三角形 中,对边指一角的对边,对角指一边的对角;而在四边形中,对边指不 相邻的边,也就是没有公共顶点的边,对角指不相邻的角,邻边是指四 边形中有公共端点的边,邻角是指四边形中有一条公共边的两个角. 平行四边形的表示方法,一般按照一定的方向(顺时针或逆时针)依 次表示各个顶点. 2.正确运用平行四边形的性质、判定来解题 平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据,利 用平行四边形的性质,可以求角的度数、线段的长度,也可以证明角相 等、线段相等、线段平分线等问题.其关键是根据所要证明的全等三角 形,选择需要的边、角相等条件. 包括定义在内,平行四边形共有五种判定方法,对于不同的题目, 应通过仔细观察分析,选出合适的判定方法来解答,在实际运用中,要 注意性质和判定的联系和区别.

  6. 3.三角形的中位线性质 三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供 了一个重要的依据,当题目中遇到中点问题时,常作出三角形的 中位线.当已知三角形一边中点时,可以设法找出另一边的中 点,构造三角形中位线,进一步可以利用其证明线段平行或倍分 问题,可简单的概括为“已知中点找中位线”.

  7. 1.(2011·绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少要再钉上几根木条?()1.(2011·绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少要再钉上几根木条?() A.0根     B.1根 C.2根     D.3根 答案 B 解析 画一条对角线,将四边形分成两个三角形,依据三角形的稳定性,这个木架不变形. 基础自测

  8. 2.(2011·邵阳)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是()2.(2011·邵阳)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是() A.AC⊥BD B.AB=CD C.BO=OD D.∠BAD=∠BCD 答案 A 解析 由平行四边形的性质,一定有AB=CD,BO=OD,∠BAD=∠BCD,不正确的是AC⊥BD.

  9. 3.(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32,AB=4,则BC=3.(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32,AB=4,则BC= () A. 4 B.12 C.24 D.28 答案 B 解析 因为2(AB+BC)=32,所以AB+BC=16,BC=12.

  10. 4.(2011·义乌)如图,DE是△ABC的中位线,若BC的长是4.(2011·义乌)如图,DE是△ABC的中位线,若BC的长是 3 cm,则DE的长是() A.2 cm B.1.5 cm C.1.2 cm D.1 cm 答案 B

  11. 5.(2011·潼南)如图,在平行四边形 ABCD中(AB≠BC),直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论: ①AO=BO; ②OE=OF; ③△EAM∽△EBN; ④△EAO≌△CNO, 其中正确的是() A. ①② B.②③ C.②④ D.③④ 答案 B

  12. 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,AD∥BC,∴△EAM∽△EBN; 易证△EAO≌△FCO,∴OE=OF; 综上,结论②、③正确.

  13. 【例 1】(2012·恩施)如图,已知,在▱ABCD中, AE=CF,M、N分别是BE、DF的中点. 求证:四边形MFNE是平行四边形 . 题型分类 深度剖析 题型一 平行四边形的判定

  14. 解 证明:由平行四边形可知,AB=CD,∠BAE=∠DFC.解 证明:由平行四边形可知,AB=CD,∠BAE=∠DFC. 又∵AE=CF,∴△BAE≌△DCF, ∴BE=DF,∠AEB=∠CFD. 又∵M、N分别是BE、DF的中点,∴ME=NF. 又由AD∥BC,得∠ADF=∠DFC, ∴∠ADF=∠BEA,∴ME∥NF. ∴四边形MFNE为平行四边形.

  15. 探究提高 探索平行四边形成立的条件,有多种方法判定平行四边形:探究提高 探索平行四边形成立的条件,有多种方法判定平行四边形: ①若条件中涉及角,考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明; ②若条件中涉及对角线,考虑用“对角线互相平分”来说明; ③若条件中涉及边,考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明,也可以巧添辅助线,构建平行四边形.

  16. 知能迁移1(1)如图,在▱ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,证明:四边形AECF是平行四边形.知能迁移1(1)如图,在▱ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,证明:四边形AECF是平行四边形.

  17. 解 证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF. 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,且 AB⊥CD ∴∠ABE=∠CDF. 又∵∠AEB=∠CFD=90°, ∴Rt△ABE≌Rt△CDF. ∴AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形.

  18. (2)(2012·郴州)已知:如图,把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB.(2)(2012·郴州)已知:如图,把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB. 求证:四边形ABDC是平行四边形. 解 证明: ∵△DCB是由△ABC旋转180°而得, ∴点A、D,点B、C关于点O中心对称, ∴OB=OC,OA=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. (注:还可以利用旋转变换得到AB=CD,AC=BD相等; 或证明△ABC≌△DCB来证ABCD是平行四边形)

  19. 【例 2】 已知:如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12 cm,CE=5 cm. 求□ABCD的周长和面积. 题型二 平行四边形相关边、角、周长与面积问题

  20. 探究提高 平行四边形对边相等,对边平行,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题,也可将四边形的问题转化为三角形的问题.探究提高 平行四边形对边相等,对边平行,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题,也可将四边形的问题转化为三角形的问题.

  21. 知能迁移2(1)在□ABCD中,对角线AC=12,BD=10,边AB=m,则m的取值范围是()知能迁移2(1)在□ABCD中,对角线AC=12,BD=10,边AB=m,则m的取值范围是() A.10<m<12 B.2<m<22 C.1<m<11 D.5<m<6 答案 C

  22. (2)在□ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=________.(2)在□ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=________. 答案 25° 解析 在□ABCD中,∠DCB=∠A=65°. ∵DB=DC, ∴∠DCB=∠DBC=65°. 在Rt△BCE中,∠BCE=90°-65°=25°.

  23. 【例 3】 已知:如图,E、F分别是□ABCD的边AD、BC的中点,求证:AF=CE. 题型三 运用平行四边形的性质进行推理论证

  24. 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!

  25. 证法二:在□ABCD中,AD∥BC, 且AD⊥BC.[2分] ∵E、F分别是AD、BC的中点, ∴AE=AD,CF=CB, ∴AE=CF.[4分] 又∵AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形. ∴AF=CE.[6分]

  26. 探究提高 利用平行四边形的性质,可以证角相等、线段相等,其关键是根据所要证明的全等三角形,选择需要的边、角相等条件,也可以证明相关联的四边形是平行四边形.探究提高 利用平行四边形的性质,可以证角相等、线段相等,其关键是根据所要证明的全等三角形,选择需要的边、角相等条件,也可以证明相关联的四边形是平行四边形.

  27. 知能迁移3(1)(2011·宜宾)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,AF=CE,BH=DG.知能迁移3(1)(2011·宜宾)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,AF=CE,BH=DG. 求证:GF∥HE.

  28. 解 证明:在平行四边形ABCD中,OA=OC. ∵AF=CE, ∴AF-OA=CE-OC,∴OF=OE. 同理得,OG=OH. ∴四边形EGFH是平行四边形, ∴GF∥HE.

  29. (2)(2011·常德)如图,已知四边形ABCD是平行四边形.(2)(2011·常德)如图,已知四边形ABCD是平行四边形. ①求证:△MEF ∽△MBA; ②若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线,求证DF=EC.

  30. 解 证明:①在▱ABCD中,CD∥AB, ∴∠MEF=∠MBA,∠MFE=∠MAB, ∴△MEF ∽△MBA. ②∵在▱ABCD中,CD∥AB, ∴∠DFA=∠FAB. 又∵AF是∠DAB的平分线, ∴∠DAF=∠FAB, ∴∠DAF=∠DFA, ∴AD=DF. 同理可得,EC=BC. ∵在▱ABCD中,AD=BC, ∴DF=EC.

  31. 【例 4】 如图,在 △ABC中,D是BC上一点,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,求证:EG、HF互相平分. 题型四 三角形中位线定理

  32. 探究提高 当已知三角形一边中点时,可以设法找出另一边的中点,构造三角形中位线,进一步利用三角形的中位线定理,证明线段平行或倍分问题.探究提高 当已知三角形一边中点时,可以设法找出另一边的中点,构造三角形中位线,进一步利用三角形的中位线定理,证明线段平行或倍分问题.

  33. 知能迁移4(1)(2011·铜仁)已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是的中位线,连接EF、AD.知能迁移4(1)(2011·铜仁)已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是的中位线,连接EF、AD. 求证:EF=AD.

  34. 解 证明:∵DE、DF是△ABC的中位线, ∴DE∥AB,DF∥AC. ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵∠BAC=90°, ∴平行四边形AEDF是矩形. ∴EF=AD.

  35. (2)如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥CE,AN⊥BD,M、N分别是垂足,求证:MN∥BC.(2)如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥CE,AN⊥BD,M、N分别是垂足,求证:MN∥BC.

  36. 解 证明:分别延长AM、AN交BC于P、Q. ∵CE平分∠ACB,AM⊥CE, ∴∠ACM=∠PCM,∠AMC=∠PMC=90°. 又∵CM=CM, ∴△ACM≌△PCM, ∴AM=PM. 同理AN=QN. ∴MN是△APQ的中位线, ∴MN∥PQ, 即MN∥BC.

  37. 试题 如图,已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°,CD=10 cm,BC=8 cm,AB=8 cm,AF=5 cm,求此六边形周长. 易错警示 14.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据

  38. 学生答案展示 如图,连接EB、DA、FC,分别交于点M、N、P.学生答案展示 如图,连接EB、DA、FC,分别交于点M、N、P. ∵∠FED=∠EDC=120°, ∴∠DEM=∠EDM=60°. ∴△DEM是等边三角形. 同理,△MAB、△NFA也是等边三角形. ∴FN=AF=5,MA=AB=8. ∵∠EFA=120°, ∴∠EFC=60°, ∴ED∥FC,同理,EF∥DN. ∴四边形EDNF是平行四边形. 同理,四边形EMAF也是平行四边形. ∴ED=FN=5,EF=MA=8. ∴六边形ABCDEF的周长=AB+BC+CD+DE+EF+FA=8+8+10+5+8+5=44(cm).

  39. 剖析 上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线,从证明的一开始,由∠FED=∠EDC=120°得到∠DEM=∠EDM=60°的这个结论就是错误的,所以后面的推理就没有依据了,请注意对角线与角平分线的区别,只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性,其他的不具有这一性质.不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分∠CDE、∠DEF,切记,视觉不可代替论证,直观判断不能代替逻辑推理.剖析 上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线,从证明的一开始,由∠FED=∠EDC=120°得到∠DEM=∠EDM=60°的这个结论就是错误的,所以后面的推理就没有依据了,请注意对角线与角平分线的区别,只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性,其他的不具有这一性质.不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分∠CDE、∠DEF,切记,视觉不可代替论证,直观判断不能代替逻辑推理.

  40. 正解 如图,分别延长ED、BC交于点M,延长EF、BA交于点N.正解 如图,分别延长ED、BC交于点M,延长EF、BA交于点N. ∵∠EDC=∠DCB=120°, ∴∠MDC=∠MCD=60°. ∴∠M=60°, △MDC是等边三角形. ∵CD=10, ∴MC=DM=10. 同理,△ANF也是等边三角形, AF=AN=NF=5.

  41. ∵AB=BC=8, ∴NB=8+5=13,BM=8+10=18. ∵∠E=120°,∠E+∠M=180°, ∴EN∥MB. 同理,EM∥NB. ∴四边形EMBN是平行四边形, ∴EN=BM=18,EM=NB=13, ∴EF=EN-NF=18-5=13, ED=EM-DM=13-10=3, ∴六边形ABCDEF的周长 =AB+BC+CD+DE+EF+FA =8+8+10+3+13+5=47(cm).

  42. 批阅笔记 利用六个内角相等,构造平行四边形是解决本题的关键.在计算证明的过程中,不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据.批阅笔记 利用六个内角相等,构造平行四边形是解决本题的关键.在计算证明的过程中,不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据.

  43. 方法与技巧 思想方法 感悟提高

  44. 2. 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的 问题. 3. 有平行线时,常作平行线构造平行四边形. 4. 有中线时,常作加倍中线构造平行四边形. 5. 图形具有等邻边特征时(如:等腰三角形、等边三角 形、菱形、正方形等),可以通过引辅助线把图形的某一部 分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置.

  45. 失误与防范 图形的直观性可帮助探求解题思路,但也可能因直观判断失误或用 直观判断代替严密推理,就会造成解题失误.一定要对所有直观判断加 以证明,不可以用直观判断代替严密的推理. 例如:在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,如果给出条件 “AB∥CD”,那么给出以下6种说法: ①如果再加上条件“AD∥BC”,那么四边形ABCD为平行四边形; ②如果再加上条件“AB=CD”,那么四边形ABCD为平行四边形; ③如果再加上条件“∠A=∠C”,那么四边形ABCD为平行四边形; ④如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD为平行四边形; ⑤如果再加上条件“AO=CO”,那么四边形ABCD为平行四边形; ⑥如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD为平行四边 形. 其中,正确的说法有(). A. 3个  B.4个  C.5个  D. 6个 错解:C或D

  46. 错因剖析:语句①为两组对边分别平行的情形,是平行四边形的定义;语句②是一组对边平行且相等,是平行四边形的判定方法之一;语句③中由AB∥CD,可以推出∠A与∠D互补,由∠A=∠C,可得∠C与∠D也互补,从而AD∥BC,符合平行四边形的定义;语句④中实际是一组对边平行而另一组对边相等,不能构成平行四边形,反例图形是等腰梯形;语句⑤由条件可推出△ABO和△CDO全等,从而BO=DO,故对角线相互平分,所以是正确的;语句⑥的反例图形也是等腰梯形.综上,正确的语句有①②③⑤.应该选B.错因剖析:语句①为两组对边分别平行的情形,是平行四边形的定义;语句②是一组对边平行且相等,是平行四边形的判定方法之一;语句③中由AB∥CD,可以推出∠A与∠D互补,由∠A=∠C,可得∠C与∠D也互补,从而AD∥BC,符合平行四边形的定义;语句④中实际是一组对边平行而另一组对边相等,不能构成平行四边形,反例图形是等腰梯形;语句⑤由条件可推出△ABO和△CDO全等,从而BO=DO,故对角线相互平分,所以是正确的;语句⑥的反例图形也是等腰梯形.综上,正确的语句有①②③⑤.应该选B.

  47. 完成考点跟踪训练23

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