安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室

1. 7.4 空间曲面与曲线 安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室

2. 一、引入新课 • 前面我们学习了平面与直线，知道任何一个平面的方程都可以用一个三元一次方程来表示，而直线方程可看成是两个平面的交线，需用两个或两个以上的方程构成的方程组来表示．下面将学习空间曲面与曲线．

3. 二、曲面及其方程 空间曲面上任意一点的坐标 所满足的 函数关系式 ，叫做该曲面的方程． 本节将从两个方面讨论几种常见的二次曲面： (1)根据已知条件，求曲面方程； (2)已知曲面方程，描绘出曲面的大致形状． • 本次课教学重点放在已知曲面方程，描绘出曲面的大致形状上．

4. 1．球面 例1求球心在点，半径为的球面方程． 解 设为球面上任意一点，则 即 也就是 （1）

5. 特别地，球心在原点的球面方程为 说明 球面方程的特点： 项系数相同； （1） （2）没有 项．

6. 提出问题： • 方程 表示什么曲面？

7. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面

8. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

9. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

10. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

11. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

12. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

13. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

14. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

15. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

16. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

17. 二、柱面 定义 直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线

18. 面上的圆 例3.求准线为 母线平行于 轴的圆柱面方程 . 在空间 表示圆柱面 在平面内 表示圆 在空间怎样表示 面上的圆呢？ 说明 注意比较同一方程在平面直角坐标系 与空间直角坐标系中对应图形的不同 在数轴上表示一个点， 在平面直角坐标系中表示一条直线， 而在空间直角坐标系中表示一个平面 如

19. 表示抛物柱面,  母线平行于z轴; 准线为xoy面上的抛物线. 表示母线平行于  z轴的椭圆柱面.  表示母线平行于 z轴的平面. (且 z轴在平面上)

20. 思考题 指出下列方程的图形: 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y轴的直线 圆心在(0,0) 母线平行于z轴的 圆柱面 半径为 1的圆 开口向上的 抛物线 母线平行于 z 轴的 抛物柱面

21. 柱面方程的特点： • 方程中只含有两个变量，且在方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于其对应的坐标轴． ，

22. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

23. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

24. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

25. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

26. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

27. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

28. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

29. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

30. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

31. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

32. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

33. 三、旋转曲面 一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴． 我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面

34. 例 求由平面上的曲线C： 绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程． • 设 为这旋转曲面上任意一点，它总可以看成由已知曲线上的某点 绕 轴旋转而得到的， 故旋转曲面方程为

35. 说明 （1）求旋转曲面方程的方法：对于坐标面上的曲线， 绕哪个坐标轴旋转，曲线方程中对应的变量不变，另一个变量用其余两个变量的平方和开方的正负来代替即可． 类似地，曲线C绕轴旋转所得的旋转曲面 的方程为

36. 在yoz面上直线 绕z轴旋转时,圆锥面的方程为 即

37. （2）旋转曲面方程的特点：． • 方程中含有两个变量的平方和 例如方程 表示旋转抛物面．

38. 三、空间曲线及其方程 • 1、空间曲线C的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

39. 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆.

40. 2．空间曲线的参数方程

41. 取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 解 螺旋线的参数方程

42. 四、巩固练习 • 下面有四个方程，四个图形，四个曲面的名称，请指出它们的对应关系． 方程： （1） ；（2） ； （3） ；（4）

43. 指出下列方程组所表示的曲线： • （1） （2） （3） （4）

44. 五、小结 • 1．比较平面和曲面方程、直线和曲线方程 平面和曲面都可以用一个三元方程来表示；而直线和曲线都需用两个或两个以上的方程构成的方程组来表示． • 2．根据方程特征，识别曲面的类型； • 3．熟悉以下几种常见的曲面的方程与图形： （1）球面 或 （2）圆锥面 或 （3）旋转抛物面 如 （4）圆柱面 如 等．

45. 六、作业 • 必做题 教材习题七的习题4 • 选做题：以曲线为母线， 分别绕 轴和 轴旋转会形成什么曲面？请写出曲面方程,并画图说明．

46. 选做题解答 所成曲面方程为 解:绕x轴旋转 绕z轴旋转 所成曲面方程为