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第五节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无 关的条件

第五节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无 关的条件. 第五模块 　二 重积分与曲线积分. 一、 格林 ( Green ) 公式. 二、 平面上曲线积分与路径 无关的条件. 一、 格林 ( Green ) 公式. 定理 ( 格林定理 ) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域 ， 函数 P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连续的偏导数 ， 则. ①. 其中曲线积分是按沿 Ｌ 的正向计算的 ， 公式 ① 称为 格林公式. y.

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第五节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无 关的条件

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Presentation Transcript

  1. 第五节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无 关的条件 第五模块　二重积分与曲线积分 一、格林(Green)公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的条件

  2. 一、格林(Green)公式 定理(格林定理) 设D是以分段光滑曲线L为边界的平面有界闭区域，函数P(x, y) 及Q(x, y) 在D上具有一阶连续的偏导数，则 ①

  3. 其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①称为格林公式. y y = 2(x) L C B D A y =1(x) E O a b x

  4. 证明　假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个.例如区域 D 为图所示，于是根据二重积分的计算法，有

  5. 另一方面.由曲线积分计算，有

  6. 所以 同理可证 两式相加，即得

  7. 取 P(x, y) = -y，Q(x, y) = x，由格林公式得 上式左端是区域 D的面积 A的两倍，因此有

  8. 　　例1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A . 解

  9. 其中 L 为正向圆周 x2 + y2 = R2. 例2　计算 解　因为 P(x, y) = -x2y，Q(x, y) = xy2，

  10. 所以，由格林公式有

  11. 其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 + y2 = ax(a > 0). 例3　计算曲线积分

  12. 　　解　如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D. y 　　因为 P(x, y) = exsin y – my, Q(x, y) = excos y-m， n D A(a, 0) 所以 O x

  13. 则由格林公式得

  14. 而

  15. 二、平面上曲线积分与路径 　　无关的条件 设D是一个开区域， 如果对D内任意指定的两点A与B， 以及D内从点A到点B的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2， 等式

  16. y D B L2 L1 A x O 恒成立，则称曲线积分 在 D内与路径无关.这时，我们可将曲线积分记为

  17. (a) (b) 　　如果区域 D内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于 D， 直观地说，单连通域就是没有空洞的区域. 则 D称为单连通域. (a)图中的区域是单连通域， (b)图中的两个区域都不是单连通域. 仅在区域中挖去一个点， 它也不是单连通域. (b)图中右边的区域，

  18. 　　定理1　在区域D中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对 D内任意一条闭曲线C，有

  19. 因为曲线积分　　　　　 在 D 内与路径无关，所以 设 AnBmA是 D内任意一条闭曲线. y D B m n A x O 证　先证必要性. 因此

  20. 恒有 y D B m n A x O 这就说明了曲线积分 与路径无关. 再证充分性. AnB 与 AmB 是 D 内的任意两条路径. 设 A、B是 D 内的任意两点， 因为对 D内任意一条闭曲线 C， 所以由题设有 因此

  21. 　　定理2设函数P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域D内有一阶连续偏导数，则曲线积分 与路径无关的充要条件是

  22. 因为 于是由定理 1 知，曲线积分 在 D内与路径无关. 证　先证充分性. (x, y)  D，所以对 D内任意一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域 D1， 由格林公式有 因为 D1 D， 所以 D1是单连域， 必要性证明从略.

  23. 例4　计算 其中 L是摆线 x = t – sin t, y = 1- cos t，从点 A(2p, 0) 到点 O(0, 0) 的一段弧. 解　显然，用这段路径来计算是很复杂且困难. 其中 P(x, y) = x2y + 3xex, 能否换一条路径呢？

  24. 再选一条路径 L1： 由 A(2p, 0) 沿 x轴到原点. 由 L与 L1所围的平面域是否单连通域. 审查一下： 现在是连续的.所围的域是单连通域， P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续， 这样可以换为在 L1上求曲线积分， y 即 L O x A L1

  25. 因为 L1上 dy = 0，y = 0 所以上式为 即

  26. y L x O A B 其中 L由点 A(-p, -p) 经曲线 y = pcos x 到点 B(p, -p) (如图). 例5　计算 　　解　如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算 P、Q 的偏导数. 则

  27. 以 为半径的圆周，由 A经大半圆到 B为 L1， 　　 如果换成由 A经直线到 B为 L1，则 L 与 L1所围的平面域内函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在. 　　再考虑换一条路径. 　　 这就是说它们所围的域不是单连通域.所以不满足将 L换为 L1的条件， 作一个以原点为圆心， 　　　则此时，L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) ， Q(x, y) 的偏导就连续了. 　　　　即 L与 L1所围的平面域为单连通域.这就可以将 L换为 L1. L1 的参数方程为

  28. 代入，得

  29. 　　从例 4，例 5 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤： 则可进行下一步，否则就是积分与路径有关. 是否相等.如果 1. 计算 使与原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y)与Q(x, y) 偏导数连续，即所围的区域为单连通域， 2. 选一条路径(与原路径同起、终点)L1， 　则可将路径 L换为L1.

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