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第十节 闭区间上连续函数性质

第一章. 第十节 闭区间上连续函数性质. 一、最值定理. 二、 介值定理. 三、 关于连续函数知识点总结. 四、 典型例题. 一、最值定理. 1 、定义 :. 例如 ,. 类比 ： 没有最小的正数；没有最大的负数； 但是有最小的正整数 1 和最大的负整数 -1 。. 2 、最值定理. 定理 1. 在 闭区间 上连续的函数. 在该区间上一定有最大. 值和最小值. 则. 使. 即 : 设. ( 证明略 ). 注意 : 若函数在 开区间 上连续 ,. 或在闭区间内 有间断. 点 ,. 结论不一定成立.

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  1. 第一章 第十节 闭区间上连续函数性质 一、最值定理 二、介值定理 三、关于连续函数知识点总结 四、典型例题

  2. 一、最值定理 1、定义: 例如, 类比：没有最小的正数；没有最大的负数； 但是有最小的正整数1和最大的负整数-1。

  3. 2、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大 值和最小值. 则 使 即:设 (证明略) 注意:若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点, 结论不一定成立 .

  4. 注1. 将闭区间改为开区间不一定成立. 例如, 无最大值和最小值 注2. 闭区间上函数有间断点不成立. 也无最大值和最小值 注3. 最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。

  5. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 推论. 由定理1可知有 证:设 上有界 . 二、介值定理 零点：如果有 f (ξ) = 0, 则称 ξ为 f (x) 的零点。

  6. 定理2.(零点定理 ) 例1. 证明方程 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 几何解释: 在区间 内至少有 一个根 . 又 证:显然 故据零点定理,至少存在一点 使 即

  7. 且 设 定理3.(介值定理) 至少有 则对A与B之间的任一数C , 一点 使 证:作辅助函数 且 则 故由零点定理知,至少 使 即 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 推论: 大值之间的任何值 .

  8. 在 上连续,且恒为正, 证明: 例2.设 对 必 使 令 证: , 则 当 取 或 时, , 则有 故由零点定理知, 使 即

  9. 另例: 证 由零点定理,

  10. 内容小结 在 上有界; 在 上达到最大值与最小值; 在 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 使 4. 当

  11. 思考与练习 1.设 证明至少 使 提示: 令 则 易证 作业P73 题2 ; 3; 4

  12. 不正确. 例函数 f ( x ) ( 0 , 1 ) , 在 内连续 f ( x ) ( 0 , 1 ) . 但 在 内无零点 下述命题是否正确？

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