第 23 课时　解直角三角形的应用

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第23课时┃ 解直角三角形的应用 考点聚焦考点　解直角三角形的应用常用知识 1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角． 2．俯角：视线在水平线下方的叫俯角． 3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________． 4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡． 5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． h∶l 考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 归类探究探究一　利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题命题角度： 1. 计算某些建筑物的高度(或宽度)； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．例1[2013·宜宾]宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一(如图23－1①)，喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代(据说是唐代韦皋所建)，后毁于兵火，乾隆乙酉年(1765年)重建，它是我国目前现存最考点聚焦归类探究回归教材

高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度．(测角仪高度忽略不计，　≈1.7，结果保留整数)高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度．(测角仪高度忽略不计，　≈1.7，结果保留整数) 第23课时┃ 解直角三角形的应用图23－1 考点聚焦归类探究回归教材

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第21课时┃相似三角形及其应用 变式题　[2013·宜宾]如图23－2，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40 m. (1)求点B到AD的距离； (2)求塔高CD(结果用根号表示)．图23－2 考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 方法点析　　在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：　　①不同地点看同一点；图23－3 考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 ②同一地点看不同点； ③利用反射构造相似．图23－4 图23－5 考点聚焦归类探究回归教材

例2[2013·烟台] 第23课时┃ 解直角三角形的应用探究二　利用直角三角形解决航海问题命题角度： 1. 利用直角三角形解决方位角问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．考点聚焦归类探究回归教材

解　析 过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB＝12海里，可求出BD、AD的长度．在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．第23课时┃ 解直角三角形的应用图23－6 考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 探究三　利用直角三角形解决坡度问题命题角度： 1. 利用直角三角形解决坡度问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．例3[2013·广安]如图23－7，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2. (1)求加固后坝底增加的宽度AF的长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米？考点聚焦归类探究回归教材

解　析 (1)分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H.在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长，由AF＝FG＋GH－AH求出AF的长． (2)已知梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘坝长即为所需的土石的体积．第23课时┃ 解直角三角形的应用图23－7 考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 热气球测楼高回归教材教材母题热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)? 图23－8 考点聚焦归类探究回归教材

解　析　我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图23－8中，α＝30°，β＝60°. 　　在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 解第23课时┃ 解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 [点析] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．考点聚焦归类探究回归教材

第23课时┃ 解直角三角形的应用 中考预测如图23－9，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号) 图23－9 考点聚焦归类探究回归教材

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