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第四章. 四边形性质的探索. 吴菲 周南中学. 性质. 性质. 四条边都相等. 边. 对边分别平行 , 相等. 性质. 角. 对角相等. 边. 对边分别平行 , 相等. 对角线. 对角线互相垂直平分 , 且平分一组对角. 角. 对角相等. 对角线. 对角线互相平分. 一组邻边相等. 一个角为直角. 判定. 一组邻边相等的 平行四边形. 边. 两组对边 分别平行. 四条边都相等的 四边形. 对角线. 互相垂直的平行四边形. 一个角为直角. 性质. 相等. 边. 对边分别平行且相等. 角. 四个角都是直角. 判定 :.
E N D
第四章 四边形性质的探索 吴菲 周南中学
性质 性质 四条边都相等 边 对边分别平行,相等. 性质 角 对角相等. 边 对边分别平行,相等. 对角线 对角线互相垂直平分,且平分一组对角. 角 对角相等. 对角线 对角线互相平分 一组邻边相等 一个角为直角 判定 一组邻边相等的平行四边形. 边 两组对边 分别平行 四条边都相等的四边形 对角线 互相垂直的平行四边形. 一个角为直角 性质 相等 边 对边分别平行且相等. 角 四个角都是直角 判定: 判定 对角线 对角线互相平分且相等 边 对边分别平行,相等. 一组邻边相等 一个角为直角 一组对边平行且相等 对角线 互相平分. 一组邻边相等 垂直 判定 一个角是直角的平行四边形. 角 四个角都是直角的四边形. 对角线 对角线互相平分且相等的平行四边形.
提高与练习 一、判断题 1、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ） √ X 2、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ） 3、两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形。（ ） X 4、两条对角线相等的菱形是正方形。（ ） √ 5、矩形的对角线互相垂直。（ ） X 相等
如图:ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ，∆ＡＣＥ≌∆ＢＤＦ．如图:ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ，∆ＡＣＥ≌∆ＢＤＦ． 图中有几个平行四边形？ 说说你的理由。 Ｃ Ａ Ｅ Ｄ Ｂ Ｆ 答: 图中有三个平行四边形。 理由:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图:Ｏ是菱形ＡＢＣＤ对角线的交点,作 ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ交于点Ｅ． 四边形ＯＣＥＤ是矩形吗? 说说你的理由. Ｄ Ａ Ｅ Ｏ Ｃ Ｂ 四边形ＯＣＥＤ是矩形。 答: 理由:有一个角是直角的平行四边形是矩形。.
如图:Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ延长线 上的点．且ＣＥ＝ＡＣ． 求∠ＡＣＥ，∠ＣＡＥ的度数。 解: 在正方形ＡＢＣＤ中, ∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＢ＝９０° ＡＤ＝ＤＣ ∠ＤＣA＝４５° A D ∠ＤＣＥ＝９０° ∠ＡＣＥ＝１３５° ＡＣ＝ＣＥ B E C ∠ＣＡＥ＝２２．５°
如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是 ＤＢ上的点,且ＢＥ＝ＣＦ 求证:四边形ＡＥＣＦ是平行四边形. 证明: 在平行四边形ABCD中: A D ＯＡ＝ＯＣ F E ＯＢ＝ＯＤ O ＯＥ＝ＯＦ B C ＢＥ＝DＦ 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形 动动手 看谁最聪明！
如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是ＤＢ上的点,且如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是ＤＢ上的点,且 ＢＥ＝ＣＦ 求证:四边形ＡＥＣＦ是平行四边形. 证明: 在平行四边形ABCD中: A D ＢＣ＝ＡＤ F ∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ E O ＢＥ＝ＣＦ C B ∆ＢＥＣ≌∆ＤＦＡ ＣＥ＝ＡＦ 同理: ＡＥ＝ＣＦ 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形 ? 试一试: 还有其它方法吗
如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 D E 四边形AEDF为平行四边形． 求证: F 三角形ABE为等边三角形 证明: A 三角形BCD为等边三角形 AB=BE BC=BD ∠ DBC= EBA=60 ∠ B C ABD= ABD ∠ ∠ CAE ∠ DBE= ∠ DE=AC DE=AF DBE≌ CBA 同理： AE=FD AC=AF 在等边三角形ACF中 四边形为ABCD平行四边形
如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 D F E A C B 动动手 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为菱形．
如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形ABC,连接DF,DE。如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形ABC,连接DF,DE。 D E F A B C 想一想 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为矩形．
如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 D E F A C B 动动脑 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为正方形．
在直角三角形ABC中，D,E分别为AB,AC的中点. A D E B C DE平行且等于BC的一半. 结论： 三角形的中位线平行且等于对边的一半． BE等于AC的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图,已知: o为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,E,F,G,H分别是OA,OB, OC,OD的中点.求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 在三角形OAD中: 证明： A D E,H分别是OA,OD的中点 EH AD ∥ E 在三角形OBC中: H O F F,G分别是OB,OC的中点 FG BC ∥ G B C 在平行四边形ABCD中: AD BC ∥ EH FG ∥ 同理:EF GH ∥ 四边形ABCD是平行四边形. 还有其它方法吗 想一想: ?
∥ BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 如图所示:在梯形ABCD中，AD 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是矩形． M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 证明： A NF∥EM D 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN N 在梯形ABCD中 AD∥BC ∠ADC＋∠DCB＝180 E ∠DEC＝90 F DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB M 四边形ABCD是矩形． B C 分析： 四边形ABCD是矩形． 两组对边分别平行 四边形ABCD是平行四边形．
如图,已知: o为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,E,F,G,H分别是OA,OB, OC,OD的中点.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明： 在三角形OAD中: EH=1/2 AD E,H分别是OA,OD的中点 A D 在三角形OBC中: E F,G分别是OB,OC的中点 FG=1/2 BC H F 在平行四边形ABCD中: AD=BC G B EH=FG C 同理:EF =GH 四边形ABCD是平行四边形. 动动脑 ？ 还有其它方法吗
∥ BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 如图所示:在梯形ABCD中，AD 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是矩形． A D N M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 证明： NF∥EM 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN E F M,N分别是EC,ED的中点 MN=1/2 DC 在梯形ABCD中 M AD∥BC ∠ADC＋∠DCB＝180 C ∠DEC＝90 DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB B MN=EF F是DC的中点 EF=1/2 DC 四边形ABCD是矩形． 分析： 四边形ABCD是矩形． 四边形ABCD是平行四边形． 对角线相等
∥ 如图所示:在直角梯形ABCD中，AD BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是正方形． 证明： 在直角梯形ABCD中 A D AD∥BC ∠ADC=∠DCB＝90 ∠DEC＝90 DE=CD DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB N NF∥EM M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 E F ∠ENF＝90 EM=EN M 同理：∠NFM=90 ,∠FME=90 C B 四边形ABCD是正方形． 分析： 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是矩形． 四个角都是直角
