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第二章 推理与证明

第二章 推理与证明. 内容结构 “ 推理与证明 ” 是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法 , 包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。. 2.1 合情推理与演绎推理. 本节知识结构. 2.1.1 合情推理. 归纳推理. 歌德巴赫猜想的提出过程：.

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第二章 推理与证明

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  1. 第二章 推理与证明

  2. 内容结构 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

  3. 2.1 合情推理与演绎推理

  4. 本节知识结构

  5. 2.1.1 合情推理

  6. 归纳推理 歌德巴赫猜想的提出过程： 3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 偶数＝奇质数＋奇质数 6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…， 1 000＝29+971，… ⑴ 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个 奇质数之和； ⑵ 没有发现反例 。

  7. 归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

  8. 例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。

  9. 例如： 磨擦双手（S1 ）能产生热（P）， 敲击石头（S2 ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S3 ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。

  10. 例:观察下图,可以发现 1+3+…+(2n－1)=n2． 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……

  11. 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

  12. 类比推理 “火星上是否有生命”

  13. 类比推理的定义: 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”

  14. 类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

  15. 类比推理举例

  16. 例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．

  17. 例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．

  18. 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。 • 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向

  19. 1.复习: 前面学习了归纳推理和类比推理这两种合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理．

  20. 2.判断下列推理是否是合情推理 3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数, 所以tan 是周期函数 1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

  21. 从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理． 注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理；

  22. 大前提 大前提 小前提 小前提 结论 结论 2.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数, 所以tan 是周期函数 1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断.

  23. M是P， (1)大前提 已知的一般原理; S是M， (2)小前提 所研究的特殊情况; 所以，S是P。 特 (3)结论 根据一般原理,对 殊情况做出的判断. a 2.三段论是演绎推理的一般模式,包括: ☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. M S

  24. 1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以,铜能够导电. 2.个位数字是0或5的正整数必是5的倍数 2375的个位数是5 所以，2375是5的倍数

  25. 大前提 大前提 小前提 小前提 结论 结论 例1.已知lg2=m,计算lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a>0) lg8=lg23 所以lg8=3lg2 （2）lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) 所以，lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1

  26. (1)因为 ,所以 (2)函数 的图象是一条直线. 练习：1. 把下列推理恢复成完全的三段论:

  27. A E F B C D 所以, DF∥EA. (结 论) 所以,四边形AFDE是平行四边形. (结 论) 所以,ED=AF. (结 论) 练习2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, ∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF. (1)同位角相等,两直线平行,(大前提) 证: ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD= ∠A , (小前提) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提) DE∥BA且DF∥EA, (小前提) (3)平行四边形的对边相等, (大前提) ED和AF为平行四边形的对边, (小前提)

  28. 练习3. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因; (1)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数; (2)无理数是无限小数, 是无限小数, 是无理数.

  29. 演绎推理错误的主要原因 （1）大前提不成立； （2）小前提不符合大前提的条件

  30. 4.演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中。 (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

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