دانشگاه صنعتی شاهرود درس مباحث ویژه در الکترونیک 1 (تبدیل موجک و تحلیل سیگنال) دکتر هادی گرایلو

1. دانشگاه صنعتی شاهروددرس مباحث ویژه در الکترونیک 1(تبدیل موجک و تحلیل سیگنال)دکتر هادی گرایلو پاییز 1389

2. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز • قبل از اين كه نتايج بخش قبل را به موجكهايي غير از موجك هار تعميم دهيم، ابتدا فيلترهاي H، H*، G، و G* را كه در قبل معرفي شدند، اندكي تغيير مي‌دهيم. • ملاحظه مي‌كنيد كه مقادير قبلي را در ضرب كرده‌ايم. با اين كار، رابطه‌ي مربوط به بازسازي سيگنال (يا به اختصار رابطه‌ي بازسازي) به صورت ساده‌تر زير درمي‌آيد • نمایش تجزيه و بازسازي با دياگرام دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

3. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز • نتايجي كه تاكنون به دست آورده‌ايم به صورت خلاصه چنين است • با شروع از ضرايب 3-19 و 3-20 ، زوج-فيلترهاي و را چنان ايجاد مي‌كنيم كه • با در دست داشتن يك سيگنال گسسته مانند براي محاسبه‌ي نسخه‌ي يك مرحله‌ايِ تبديل DWT مي‌توان از فرآيند نشان داده شده در دياگرامهاي 3-22 استفاده كرد دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

4. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز 3- با تعريف سيگنال پيوسته‌ي مي‌توان رابطه‌ي بين دنباله‌ي d1 با تبديل CWT سيگنال f(t) را (كه قبلاً براي موجك هار انجام شده بود)، مشابه با رابطه‌ي 3-12 به دست آورد. البته توجه كنيد كه اگر بخواهيم از ضرايب داده شده در رابطه‌ي 3-20 استفاده كنيم، رابطه‌ي مذكور به صورت زير نوشته مي‌شود 4- براي سادگي و البته ارجاع در آينده، اين رابطه‌ي بين ديدگاه كاملاً گسسته (يعني رابطه سيگنالها و دنباله‌ها) و ديدگاه پيوسته (يعني رابطه‌ي سيگنالها و توابع زمان-پيوسته) را به صورت زير نمايش مي‌دهيم دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

5. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز در رابطه‌ي نمادين فوق، توجه كنيد كه مستقيماً از فيلترهاي دوگان (يعني ) نامي برده نشده است چرا كه آنها به طور منحصر به فرد به فيلترهاي مرتبط مي‌باشند. • براي كاربردهاي تحليل سيگنال، بهتر است كه موجك مورد استفاده تا حد ممكن تعداد ممانهاي صفرشونده‌ي زيادي داشته باشد، بنابراين، يك سوال طبيعي اين است كه • مساله فوق به طور كامل توسط خانم دابيشز حل شده است. او نشان داد كه حل معادلات 3-23 تا 3-25 به همراه برخي شرايط و قيود ديگر (كه ميتوان گفت برگرفته از صفرشونده بودن ممانها مي‌باشند) منتهي به خانواده‌اي از فيلترها و توابع مقياس و موجكهاي مربوطه مي‌شود. به اين خانواده معمولاً خانواده‌ي موجكهاي دابيشز گفته مي‌شود و هر يك از اعضاء اين خانواده با يك عدد طبيعي مشخص مي‌شود دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

6. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز • براي هر عضو از اين خانواده، كافي است كه فقط ضرايب فيلتر H را در دست داشته باشيم چرا كه در این صورت، ضرايب فيلتر G را مي‌توان (به كمك رابطه‌ي 3-28) به دست آورد. • به طور مشابه، در مورد توابع مقياس و موجكهاي متناظر، كافي است تابع مقياس مربوط به هر عضو را داشته باشيم چرا كه تابع موجك را مي‌توان از رابطه‌ي 3-29 به دست آورد. • براي عدد طبيعي داده شده‌ي n تابع مقياس و موجك مربوطه با نماد dbn نمايش داده شده و در اين صورت فيلترهاي مربوطه تعداد 2n ضريب خواهند داشت. • ضرايب فيلترهايH اولين سه عضو خانواده‌ي دابيشز : دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

7. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعمیم به موجکهای دابیشز • براي هركدام از فيلترهاي فوق، ضرايب فيلترG مربوطه را مي‌توان از رابطه‌ي زير به دست آورد • براي n=1 اولين عضو خانواده به دست مي‌آيد كه همان موجك هار است. براي n=2داريم • براي محاسبه‌ي تابع موجک از روي تابع مقياس مي‌توان از رابطه‌ي زير كه ‹معادله‌ي مقياس› ناميده مي‌شود، استفاده كرد دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

8. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • حرکت از فیلترها به سوی توابع • تا به حال فقط براي حالت n=1 (يا همان موجك هار) هم ضرايب فيلترها و هم توابع مقياس و موجك را محاسبه و معرفي كرديم.به کمک يك فرآيند تكرار به نام الگوريتم كسكودو با در دست داشتن ضرايب فيلتر h مي‌توان تابع مقياس هر عضو دلخواه dbn را به دست آورد. تابع موجك مربوطه نيز به كمك رابطه‌ي 3-29 به دست مي‌آيد. (تکلیف: با مطالعه الگوریتم کسکود برنامه ای برای به دست آوردن توابع مقیاس و موجک برای یک n دلخواه بنویسید) • مثال: پس از چند تکرار مختلف برای حالت n=2 دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

9. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • حرکت از فیلترها به سوی توابع • توجه شما را به ‹ميزان همواري› در نتايج به دست آمده جلب مي‌كنيم. همان طور كه مي‌دانيم، موجكها و توابع مقياس db1 ناپيوسته مي‌باشند، حال آنكه در مورد db2 هر دو تابع مقياس و موجك پيوسته هستند اگر چه حالت دندانه دندانه (Rugged) دارند. با افزايش مرتبه‌ي n در خانواده‌ي dbn ميزان همواري افزايش مي‌يابد. از نظر رياضي اين ويژگي را با اصطلاح نظم‌پذيري (Regularity) بيان مي‌كنند. • مثال: نتايج براي حالت db5 دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

10. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • حرکت از فیلترها به سوی توابع • نتيجه اين كه با افزايش مقدار n نه تنها تعداد ممانهاي صفرشونده افزايش مي‌يابد بلكه، ميزان همواري نيز افزايش مي‌يابد. هر دوي اين خاصيتها در كاربرد تحليل سيگنال مطلوب مي‌باشند. • ویژگیهای انتقال • براي هر فيلتر dbn استفاده از نماد به معناي اعمال يك فيلتر با ضرايب hkمي‌باشد كه بعد از آن از زيرنمونه‌برداري (مراجعه كنيد به بخش 5-3 و شكل 5-5) استفاده شده باشد. در مورد نماد نيز به طور مشابه عمل مي‌كنيم اما از ضرايب gkاستفاده مي‌كنيم. • از ديدگاه پردازش سيگنال، بررسي پاسخ فركانسيِ فيلترهاي و جالب و بسيار آموزنده است. در اين بخش ما فقط اندازه‌ي پاسخ فركانسي را بررسي مي‌كنيم و بررسي پاسخ فاز به بعدها موكول مي‌شود. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

11. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • ویژگیهای انتقال • پاسخ اندازه‌ي فيلترهاي و مربوط به خانواده‌هاي db1 تا db4 در شكل زیر نشان داده شده‌ است. در اين منحني‌ها، منحني توپر مربوط به پاسخ اندازه فيلتر Hو منحني خط‌چين مربوط به پاسخ اندازه‌ي فيلتر Gاست. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

12. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • ویژگیهای انتقال • ملاحظه مي‌كنيد كه فيلتر Hاز خود رفتاري پايين گذر و فيلتر Gاز خود رفتاري بالاگذر نشان مي‌دهد. • همچنين ملاحظه مي‌كنيد كه با افزايش مقدار n كارايي فيلتر مربوطه بهتر مي‌شود؛ يعني، محل فركانسهاي قطع دقيقتر و بهتر تعيين مي‌شود (زيرا ميزان تيز بودن رفتار فيلتر بيشتر مي‌شود) و همچنين رفتار فيلتر در باند عبورو باند حذفصاف‌تر (و ثابت‌تر) مي‌شود. اين بهبود رفتار فيلترها با افزايش مقدار n در نتيجه‌ي بحثي است كه در بخش قبل در مورد بهبود رفتار توابع مقياس و موجك با افزايش n ارائه شد. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

13. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تحلیل چندمقیاسی برای سیگنالهای یک بعدی • فرض كنيد براي يك n مشخص، ضرايب فيلترهاي dbn مربوطه در دست باشند. بنابراين يك زوج فيلتر به صورت در اختيار داريم كه ضرايب اين فيلترها در روابط 3-23 تا 3-25 صدق مي‌كنند. اگر يك سيگنال گسسته مانند در اختيار داشته باشيم، نسخه‌ي يك مرحله‌ايِ تبديل DWTبه صورت زیر قابل محاسبه است. • در اين بخش به دنبال اين هستيم كه نشان دهيم چگونه با تكرار اين فرآيند به يك نوع تحليل سيگنال به نام تحليل چندمقياسي مي‌رسيم. سپس در ادامه نشان داده خواهد شد كه چگونه با تعميم اين فرآيند به حالت سيگنالهاي دوبعدي، مي‌توان در حوزه پردازش تصوير وارد شد و از تكنيكهاي مبتني بر DWT استفاده كرد. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

14. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تحلیل چندمقیاسی برای سیگنالهای یک بعدی • در مرحله‌ي تجزيه‌ي دياگرام 3-22 از روي سيگنال ورودي، سيگنالهاي و با اعمال فيلترهاي به سيگنال مذكور به دست مي‌آيند. مي‌توانيم اين فرآيند تجزيه را مجدداً روي سيگنال اعمال كرده و به سيگنالهاي و برسيم. اين كار را به تعداد دلخواه مرتبه تكرار مي‌كنيم؛ يعني، زوج-فيلتر مذکور را به سيگنالهاي و و ... اعمال مي‌كنيم. بعد از J مرتبه انجام اين كار، خروجيهاي حاصل شده به صورت نشان داده شده در دياگرامِ رابطه‌ي زير خواهند بود دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

15. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تحلیل چندمقیاسی برای سیگنالهای یک بعدی • معمولاً به سيگنال ، ‹سيگنال تقريب› و به سيگنالهاي باقيمانده‌ي ‹سيگنالهاي جزئيات› گفته مي‌شود . • همان طور كه مي‌دانيم، در هر مرحله از فيلتر كردن، طول سيگنال نصف مي‌شود، بنابراين حد بالاي تعداد دفعات تكرار فرآيند تجزيه (يعني مقداربيشينه‌ي J) برابر L مي‌باشد (به فرض اين كه طول سيگنال برابر باشد) دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

16. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • تعميم رابطه‌ي 3-26 به حالت كلي J بار تجزيه • با تعريف سيگنال پيوسته‌ي مقادير متناظر تبديل CWT آن را به ازاي a و t داده شده (با k صحيح) مي‌توان به صورت زير محاسبه كرد: • مشابه با شكل 3-3، در اينجا نيز زيرمجموعه‌اي از مقادير محورهاي (يا صفحه‌ي) t-a كه مقادير رابطه‌ي فوق در اين نقاط محاسبه شده است، را مي‌توان به صورت مشخص شده در شكل 3-11 براي J=3 تعيين كرد. با توجه به این شکل معلوم می‌شود که چرا به تجزیه‌ی DWTJ-مرحله‌ای، «تحلیل چند مقیاسی» نیز گفته می‌شود. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

17. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • چند نكته • از شكل 3-10 به اين نكته مهم توجه كنيد كه تجزيه‌ي J-مرحله‌ايِ تبديل DWT تعداد كل نمونه‌هاي خروجي را برابر تعداد نمونه‌هاي سيگنال ورودي نگه مي‌دارد. به عبارت ديگر اگر تبديل DWTِ J-مرحله‌اي به سيگنال N-نمونه‌ايِ اعمال شود، در خروجي دنباله‌هاي را خواهيم داشت كه اگر طول اين دنباله‌ها را با يكديگر جمع كنيم، همان طول اوليه‌ي N به دست مي‌آيد. • دياگرام تجزيه‌ي مربوط به رابطه‌ي 3-30 يك الگوريتم سريع براي محاسبه‌ي مقادير تبديل موجك به كمك دنباله‌هاي در اختيار ما قرار مي‌دهد (این الگوريتم تنها محدود به يك فيلتر كردن گسسته است و بنابراین با افزایش N حجم پردازش خطی افزایش می یابد). • بنابراين در مقايسه با موقعيت نشان داده شده در شكل 3-1 نتيجه مي‌گيريم كه تبديل DWTِ J-مرحله‌اي يك الگوريتم ساده و سريع براي محاسبه‌ي تبديل موجك است كه حداقل دو حُسن دارد: اول اين كه مقادير تبديل موجك محاسبه شده با يكديگر تزايد (اضافه)ندارند؛ دوم اين كه براي محاسبه‌ي مقادير تبديل موجك از زيرمجموعه‌اي از نقاط صفحه‌ي t-a استفاده شده است كه شامل ضرايب مقياس متغيري (در مقابل تبديل CWT گسسته شده كه در آن از يك ضريب مقياس ثابت استفاده مي‌شود) مي‌باشد. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

18. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • چند نكته ... • بنابراين حُسن اين الگوريتم اين است كه به كمك آن قادر به انجام تحليل چندمقياسي مي‌باشيم در حاليكه در روش تبديل CWT نمونه برداري شده قادر به انجام اين تحليل نيستيم. • (حفظ ویژگی تنظیم خودکار عرض پنجره) نكته‌اي كه تذكر آن در اينجا خالي از لطف نيست تاكيد مجدد شكل 3-11 بر وجود قابليت زوم كردن در تبديل DWT است يعني اگر ضريب مقياس كاهش يابد (و بنابراين فركانس تحليل افزايش يابد) عرض ديدِ ما در حوزه زمان (يعني همان عرض پنجره) كمتر شده و در نتيجه تعداد گامهاي حركت ما بيشتر مي‌شود (در شكل 3-11 ملاحظه مي‌كنيد كه با كاهش a تعداد نقاط مورد استفاده افزايش يافته است). • تاكنون ما فرض كرده بوديم كه مي‌باشد. تعميم نتايجي كه تاكنون به دست آورده‌ايم به حالت TS (يا همان فاصله نمونه‌برداري) دلخواه آسان است. براي اين كار مي‌توانيد در شكل 3-11 مقادير عددي محور زمان كه به صورت 0، 2، 4، ... برچسب گذاري شده است را به صورت 0، 2TS، 4TS، و ... تغيير دهيد. در مورد محور عمودي (كه مربوط به ضريب مقياس a ميشود) نيز همين كار را مي‌توان انجام داد و اعداد 0، 2، 4، ... را به صورت 0، 2TS، 4TS، و ... تغيير داد. بنابراين، برای مثال داریم دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

19. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • مثال: دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

20. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • مثال: همان قبلی اما با موجک db2 دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

21. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • نتایج • (ویژگی متمرکزسازی) موجك db2 هموارتر از موجك db1 بوده و تعداد ممانهاي صفرشونده‌ي آن نيز بيشتر است؛ بنابراين انتظار داريم كه سيگنالهاي جزئياتِ db2 بهتر از سيگنالهاي جزئيات db1 حول نقاطي متمركز شوند كه تغييرات عمده‌ي رفتار سيگنال در اين نقاط رخ مي‌دهد. • در مثال فوق، سيگنال f داراي رفتار نسبتاً عادي و منظمي است (به عبارت ديگر تغييرات ناگهاني در رفتار اين سيگنال مشاهده نمي‌شود) بنابراين اولاً انتظار داريم هر دو نوع سيگنالهاي جزئيات كوچك باشند (كه همين طور هم هست) و ثانياً سيگنالهاي جزئيات مربوط به موجك db2 كوچكتر از سيگنالهاي جزئيات مربوط به موجك db1 باشند (به همان دليل متمركز سازي بهتر در مورد db2 نسبت به db1). دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

22. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • نتایج ... • وجود خاصيت متمركزسازيِ فوق‌الذكر يك نتيجه‌ي خوب ديگر نيز به همراه دارد. همان طور كه مي‌دانيم، براي بازسازي سيگنال نیاز به سيگنالهاي تقريب و جزئيات داریم. نتيجه اين كه – به دليل وجود خاصيت متمركزسازي – تبديل DWTِ J-مرحله‌اي يك روش براي متمركز كردن و فشردنِ اطلاعات موجود در سيگنال اصلي در تعداد محدودي (و كمتري) ضريب مي‌باشد (کاربرد فشرده سازی با اتلاف). • ملاحظه مي‌كنيد كه كارايي مكانيزم متمركزسازي مذكور در موجك db2 بهتر و بيشتر از موجك db1 است (زيرا باقيمانده‌ي اطلاعات آن كمتر است). به اين ويژگي متمركزسازي، ‹متراكم‌سازي انرژي› گفته شده و در واقع يك پيش‌نياز اساسي براي كاربردهاي فشرده‌سازي است دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

23. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • توضیح ویژگی متمرکزسازی انرژی به کمک هیستوگرام • برای هر سیگنال، فاصله بین بزرگترین و کوچکترین مقدار به 20 زیربازه تقسیم شده است • برای سیگنالهای تبدیل یافته (به کمک db1 و db2) ابتدا سيگنالهاي f2، d2، و d1 را با يكديگر ادغام مي‌كنيم (يعني كنار هم قرار مي‌دهيم) تا نهايتاً يك سيگنال حاصل شود. حال، به طريقي مشابه با سيگنال fعمل كرده و هيستوگرام مربوطه را محاسبه مي‌كنيم. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

24. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • توضیح ویژگی متمرکزسازی انرژی به کمک هیستوگرام • با مقايسه‌ي نمودارهاي هيستوگرام فوق، ملاحظه مي‌كنيد كه اولاً دو هيستوگرام سيگنال تبديل يافته متمركزتر و منسجم‌تر از هيستوگرام سيگنال اصلي مي‌باشند (و البته دو هيستوگرام مذكور نسبت به تقريباً مبدا -يعني صفر- متمركز شده‌اند- چرا؟). علت اين امر، همان خاصيت متمركزسازي است كه گفته شد. ثانياً با مقايسه دو هيستوگرام مذكور، ملاحظه مي‌شود كه هيستوگرام مربوط به موجك db2 متمركزتر و منسجم‌تر از هيستوگرام مربوط به موجك db1 است كه از قبل هم انتظار آن مي‌رفت (چرا؟) (پاسخ به این دو سوال : تکلیف) دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

25. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي (تصاوير) • تصاوير ديجيتال را مي‌توان به صورت يك ماتريس در نظر گرفت • فيلترهايي كه تاكنون بررسي شده‌اند، همگي يك سيگنال (يك بعدي) را به يك سيگنال (يك بعديِ) ديگر تبديل مي‌كرده‌اند. مي‌توان اين فيلترها را به حالت سيگنالهاي دوبعدي تعميم داد. براي اين كار آنها را به ترتيب به سطرها (و يا ستونها)ي ماتريس تصوير اعمال مي‌كنيم. ترتيب اعمال فيلترها را با يك زيرنويس مشخص مي‌كنيم. براي مثال، فيلتر Hrبه اين صورت تعريف مي‌شود: با در دست داشتن يك تصوير f، تصوير جديد Hrfبا فيلتركردن هر سطر ماتريس fبه دست مي‌آيد. با توجه به رابطه‌ي 5-20 مي‌توان نوشت: دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

26. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • از آنجا كه با اعمال هر فيلتر طول سيگنال خروجي نصف مي‌شود، بنابراين در عمل فيلتركردن فوق انتظار داريم طول هر سطر (يعني تعداد ستونها) نصف شود. به شکل مثال زیر توجه کنید. در این مثال، از موجكِ db2 استفاده شده كه ضرايب اين فيلتر از جدول 3-1 قابل استفاده است. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

27. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • اگر به طور كاملاً مشابه با فرآيند فوق‌الذكر، فيلتر Hرا به ستونهاي fاعمال كنيم، از نماد Hcاستفاده مي‌كنيم. بنابراين در اين حالت، تعداد سطرها نصف مي‌شود. • در مورد اعمال بقيه فيلترها، يعني فيلتر G و فيلترهاي دوگان و نيز نحوه‌ي عمل و نمايش كاملاً مشخص است. • براي يك تصوير ديجيتال f، تبديل DWT يك مرحله‌اي اين گونه تعريف مي‌شود كه بايد تمام حالتهاي ممكن اعمال فيلترهاي H و G به سطرها و ستونهاي f را در نظر بگيريم. يعني: • توجه كنيد كه براي مثال در حالت تصوير حاصل شده از HrHcf، تعداد كل پيكسها يك چهارم تعداد كل پيكسلهاي اوليه خواهد شد زيرا تعداد هم سطرها و هم ستونها نصف مي‌شود. در مورد بقيه حالتها (و تصاوير مربوطه) نيز اين ويژگي برقرار است. نتيجه اين كه در حالت تبديل DWT يك مرحله‌اي، اگر تعداد كل پيكسلهاي چهار تصوير جديد ايجاد شده را با هم جمع كنيم بايد همان تعداد پيكسلهاي تصوير اوليه‌ي fبه دست بيايد (مشابه با حالت يك بعدي) دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

28. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • به تصاوير HrGcf، GrHcf، و GrGcfسيگنالهاي جزئياتِ به ترتيب افقي، عمودي، و قطري گفته مي‌شود. چرا؟ • براي ديدن علت اين نامگذاري تصوير HrGcfرا براي نمونه در نظر مي‌گيريم. اعمالِ فيلتر Gcبه ستونهاي تصوير f، به اين معنا است كه مي‌خواهيم تبديل موجك هر ستون را محاسبه كنيم. با اين كار، همان طور كه تاكنون ديديم، سيگنالي محاسبه مي‌شود كه به تغييرات سيگنال حساسيت نشان مي‌دهد؛ به بيان ديگر، گويي ما در راستاي ستوني به دنبال تغييرات سيگنال مي‌گرديم. از طرفي وجود لبه‌هاي افقي در تصوير، به عنوان وجود تغييرات در سيگنال تلقي مي‌شوند، بنابراين، تصوير HrGcfبه لبه‌هاي افقيِ تصوير حساسيت نشان مي‌دهد. به علاوه، از آن جا كه تبديل موجك را براي مقياس محاسبه كرده‌ايم، سيگنال جزئيات افقيِ HrGcfرا با نماد نمايش مي‌دهيم. دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

29. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • به طور كاملاً مشابه، سيگنالهاي (يا تصاويرِ) جزئياتِ عمودي و قطري به لبه‌هاي جهتيِ مخصوص به خود حساسيت نشان مي‌دهند و بنابراين، تصويرِ GrHcfرا با نماد و تصويرِ GrGcfرا با نماد نمايش مي‌دهيم. در پايان، مشابه با حالت يك بعدي، اين نكته را نيز بيان مي‌كنيم كه به تصوير فيلتر پايين گذرشده‌ي HrHcf، ‹سيگنال تقريب› گفته شده و آن را با نمايش مي‌دهيم. • معمولاً چهار تصوير توليد شده توسط تبديل DWT يك مرحله‌اي را به صورت زير مرتب مي‌كنند دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

30. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • مثال:تصاوير نشان داده شده به همان ترتيب رابطه‌ي 3-35 نمايش داده شده‌اند. با بررسي اين تصاوير، حساسيتهاي بيان شده نسبت به لبه‌هاي جهتي مشخص مي‌شود (تکلیف: پیاده سازی تبدیل موجک تصاویر) دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

31. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • به طور مشابه با فرآيند ذكر شده در بخش 3-4-1 در اينجا نيز مي‌توان يك تحليل چندمقياسي از تصوير ديجيتال ورودي f انجام داد. براي اين كار بايد مرتباً تبديل DWT يك مرحله‌اي را به سيگنالهاي f1، ، و ... اِعمال كرد. بنابراين، معادل با دياگرامهاي رابطه‌ي 3-30 مي‌توان رابطه‌ي 3-36 را (در حالت سيگنالهاي دوبعدي) استفاده كرد: دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو

32. فصل سوم : تبدیل موجک گسسته • سيگنالهاي دوبعدي ... • اگر بخواهيم نتيجه‌ي يك تبديل DWT دومرحله‌اي را مطابق با نحوه‌ي نمايشِ رابطه‌ي 3-35 نمايش دهيم، خواهيم داشت • مثال: اگر تجزيه‌ي تصوير اصليِ شكل 3-16 را ادامه دهيم، به نمايش سمت راستِ شكل 3-17 مي‌رسيم: دانشگاه صنعتی شاهرود-دکتر هادی گرایلو