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§6.7.4

N 是组合数的 FFT 算法. §6.7.4. 对 N 不是 2 的整数幂的情况，有两种处理方法。. 方法一：将 x ( n ) 补零，使 N 成为 2 的整数幂。例 N  =30. 可以加 2 点， N =32=2 5 ； N  =1000 可以加 24 点，即. N =1024=2 10 。. 如果要获得准确的 N 点 DFT ，可以用任意基的 FFT 算法。. 其基本思路还是将大点 DFT 尽可能分解为小点的 DFT ，. 充分利用小点 DFT 的周期性。. 1 、. N 是组合数的 FFT 算法.

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  1. N是组合数的FFT算法 §6.7.4 对N不是2的整数幂的情况，有两种处理方法。 方法一：将x (n)补零，使N成为2的整数幂。例N=30 可以加2点， N =32=25 ；N=1000可以加24点，即 N =1024=210。 如果要获得准确的N点DFT，可以用任意基的FFT算法。 其基本思路还是将大点DFT尽可能分解为小点的DFT， 充分利用小点DFT的周期性。

  2. 1、 N是组合数的FFT算法 以时间抽取法为例，讨论N是组合数的FFT算法。 pi ——均为素数 设 N=p1p2pm 令 q1=p2pm N=p1q1 先将N点DFT分解为p1个q1点的DFT。即将x(n)分为 p1组，每组q1个元素。

  3. 将分组后的 一般式 r= 0,1, q11 l= 0,1, p11 (共有p1个 ，对每个k值有(p11)次复乘）

  4. 有(p11)次复乘 其中 q1点的DFT

  5. 计算量： p1个q1点的DFT复乘 p1(q1)2 每一个X(k)值有(p11)次复乘，N个X(k)值有N (p11) 次复乘 总的合成X(k)的复乘次数 （6-103） 继续对 再分 令： 每 个点DFT又可以分解为 个 点的DFT。

  6. 合成q1点的DFT复乘 代入（6-103） 一直分解到最后一个素数

  7. 最后总的计算量（类推） 计算效率：

  8. 可分为三组，每组5点，即 则 举例 p=3、q=5 一般项为

  9. 将x(n)分解为p=3组、q=5点的DFT，再利用Gl(k)的 周期性将3个5点的DFT合成一个15点的DFT, 其示意 图如图6-41 所示。

  10. 其中：

  11. 合成时， Gl(k)为5点， X(k)为15点，所以k5。对 Gl(k)有Gl((k))5（模运算）。 k=0 k=1 k=9 k=14

  12. 5点 DFT 5点 DFT 5点 DFT

  13. 2、 组合数为N=pM的FFT算法 将N=pM点DFT分解为p个pM1点DFT ； p M1点DFT 二次分解为p个pM2点的DFT ；……。 仍以时间抽取法为例，一次分解X(k)为p个pM1点的DFT 式中 为第l个pM1点DFT

  14. 继续分解 为p个pM2点DFT ，得 式中 为第l个pM2点DFT。 以此类推，最终分解最短为p点的DFT，即 式中Xlp(k)是第l个p点DFT。

  15. 经M次分解后以p为基的FFT复数乘法的计算量，利经M次分解后以p为基的FFT复数乘法的计算量，利 用(6-105)式得到： mF=N(p+ p+ p+ p+pM) M个 =N(p1) M= N(p1)logpN 特别的，当p=2 mF=N(p1) M =NM= N(p1)log2N

  16. 2 3 4 5 6 7 1 1.2681 1.5 1.7226 1.9342 2.1372 计算量与基2相比 可见，随着p效率 。

  17. 不过，当N=4M ，即以4为基（类推基8，基16）的 情况时，实际的计算量比上述计算量要小得多。下面 讨论基4 FFT算法。 首先将N=4M点DFT分解为四个N/4点的DFT

  18. Xl(k) N/4点的DFT 式中X0(k), X1(k) ,X2(k) ,X3(k)均为N/4点的DFT。 由四个N/4点的DFT合成N点DFT，要利用N/4点 DFT的周期性，即

  19. X0(k)= X0(k +N/4) =X2(k +N/2) =X3(k +3N/4) X1(k)= X1(k +N/4) =X1(k +N/2) =X1(k +3N/4) X2(k)= X2(k +N/4) =X2(k +N/2) =X2(k +3N/4) X4(k)= X4(k +N/4) =X4(k +N/2) =X4(k +3N/4) 这样， N点DFT为

  20. 基4的基本蝶形如图6-42所示

  21. 基4计算式中的乘法系数与 有关，注意到 具有 的对称性，即 ，且 的对 而±j ， ±1都不必作乘法运算，所以利用 称性，上式简化为

  22. 简化后基4的蝶形如图6-43所示。

  23. -j -1 j -1 -1 j -1 -j

  24. 上式是N=4M一级分解的结果。以此类推，后面的各级上式是N=4M一级分解的结果。以此类推，后面的各级 分解会有相同的运算量减少。与基2一样N越大，效率 越高。比较后，可知基4计算量比基2还少。同理，基8、 基16有类似的结果。例N =4096=212时，比较基2、 4、 8、16运算量 基 实乘数 实加数 2 89,924 139,266 4 57,348 126,978 8 49,156 126978 16 48,132 125,442

  25. 由表6-4可见，随着基数上升运算效率提高并不多。而基由表6-4可见，随着基数上升运算效率提高并不多。而基 数的增加会使算法结构复杂。并且基越大，蝶形结构越 复杂。运算量的减少是以程序（或硬件）复杂为代价， 基太大往往得不偿失。所以有人认为取大于8的基数没有 多大实际意义。上世纪八十年代法国人提出了将基2分解 与基4分解结合的分裂基算法，其运算量比基2少，运算 流图与基2FFT接近，运算程序也不长，是一种实用高效 算法，有兴趣的读者可以参考有关教材。

  26. §6.8 线性调频z变换算法 在利用DFT作频率分析时，会遇到以下几种希望频率分 辨率得到改善的情况。 (1)求短序列DFT时，把较短序列的点均匀分布在单 位圆上，得到的频率分辨率是2 /N很低的。采用 补零的方法增加点数，可以提高频谱密度，但N的增 加意味着计算量的增加，是低效的算法。

  27. (2)实际问题中往往会遇到包括两个或两个以上分段的(2)实际问题中往往会遇到包括两个或两个以上分段的 频谱，由于对各分段的兴趣不同，所以对各分段的采 样率要求并不一样。例如我们需要对 =  ~之间 128点窄带信号频谱进行分析，按常规方法是计算1024 点的离散傅里叶变换，然后取出需要128点频谱采样值。

  28. (3)由第五章频响函数的几何作图得知，极点离单位圆(3)由第五章频响函数的几何作图得知，极点离单位圆 越近，谐振峰越明显。而如图所示，当极点离单位圆较 远时，往往很难确定极点所对应的频率。 很难确定峰值频率 希望这样

  29. 如果不是在单位圆上采样，而是沿着如图所示靠近这些如果不是在单位圆上采样，而是沿着如图所示靠近这些 极点的弧线进行，那么在极点对应的频率上会出现明显 的尖峰，有利于谐振峰频率的识别。 总之，为了在不增加计算量的情况下，解决频率分辨率 的问题，人们提出了线性调频z变换算法。

  30. 式中 是数字频率 1、CZT定义(奥本海姆——CTA) 设x(n)为已知时间序列，时宽为N，其zT (6-109) 为实数

  31. 按上式频谱的计算必然是从z平面的实轴开始，以A=1按上式频谱的计算必然是从z平面的实轴开始，以A=1 为半径的圆上。但如果希望得到任意起始点和以螺线规 律变化的z值，可以设： (6-110) k=0,1,2,,M1 式中A0,W0为正实数。将k=0,1,2,,M1代入上式， 得到

  32. 是z平面上相邻 之间的夹角 ； 随着 螺线外伸趋向 单位圆。 0是A的起始角，由A可以确定频谱采样的起点； 随着 螺线内缩 趋向原点；

  33. 螺线采样如图6-45所示。

  34. 将zk代入z变换公式，得到 CZT定义 CZ[x(n)]=X(zk) k=0,1,2,,M1 M不需要等于N 由上式可以看到每计算一个 X(zk)值需要有N次复数乘 法，一共有M个 X(zk) ，所以直接计算CZT的计算量 为： mz=NM

  35. 当N 、M较大时，可以利用FFT减少运算量，提高 运算速度。 2、利用FFT的CZT算法 利用恒等式 (6-113)

  36. 令 则 (6-114) 是(6-113)式的一部分 即 k=0,1,2,,M1

  37. k=0,1,2,,M1 上式的计算可以用图6-46的流图表示，即可以用一线 性系统实现。

  38. CZT计算（算法）具体步骤 （1）加权 其中 ，为一 点序列； 按对应的 相乘得到 计算出 并与 （2）补零、位移 点循环卷积计算 为了用 的线性卷积，并得 点的正确结果，要对 到 作处理，变为

  39. 补零后为L点的 其中 一般取 ，为了利用FFT可以取 为一无限长序列，为了用循环卷积得到 前M点的正确值，要用 中的 点（当 时，在M-1的右侧补零）。

  40. （ 时有）

  41. （3）FFT计算 、 的L点FFT得 、 (L点) 分别作 （4）相乘 L点 L点 IFFT （5）IFFT 只取k=0,1,2,,M1 （6）加权 k=0,1,2,,M1 一般 、 是事先计算做表存储好的（不必实时 计算） 。

  42. 补零L点 L点FFT 加权N点 (1) 补零L点 L点FFT L点IFFT 加权M点 L点相乘 取M点 CZT计算流图 (1)

  43. 计算量：两次加权 N+M次复乘； L次复乘； FFT、IFFT各一次 或 若 总共 计算量比较：直接计算M点的X(zk) mz=NM

  44. 例6-9 N =9、M=8 直接计算 mz=NM=72 用线性系统实现CZT的计算量 取 L =16=24 比直接计算量大。

  45. 例6-10 N =1024、M=128 ，比较CZT的两种方法 计算量。 mz=NM=131072 直接计算 用线性系统实现CZT的计算量 取 L =2048=211 mF=1024+128+2048+4096×11=48256

  46. 由两例可见，当N 、M不大时，最有效的方法是直接 算法。只有当N 、M较大时，FFT算法在速度上才有 较大的改进。 3、CZT的优点 (1)序列的长度可以随意，即原来时序为N点的序列经 CZT后可得到M点的X(zk) ，并不要求N与M具有某种 关系。

  47. (2) X(zk)的频率分辨率可以随意选定，zk与zk+1之间的等 角间隔0是可以任意选定的，起始频率0也是可以任 意选定的。这样可以使窄带信号在频域中的M个点集中 在0 ~0 +(M1)0这一范围内，从而增加频率分辨率。 例如，(M1)0=/4，如果用一般的DFT要得到同样的 点才可以得到 分辨率，则需要计算 的相同效果。

  48. (3)CZT不仅适用计算围线在单位圆(A0 =1)上的z变换， 也适用位于螺线上的z变换的情况，可使原本平缓的谐 振峰突出。

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