1 / 12

Algorytmy grafowe

Algorytmy grafowe. Minimalne drzewa rozpinające Algorytm Kruskala Algorytm Prima Wyszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednym źródłem Algorytm Dijkstry Algorytm Bellmana-Forda. 8. 7. 4. 9. 2. 14. 11. 7. 4. 6. 10. 8. 1. 2. Minimalne drzewa rozpinające.

kael
Download Presentation

Algorytmy grafowe

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Algorytmy grafowe • Minimalne drzewa rozpinające • Algorytm Kruskala • Algorytm Prima • Wyszukiwanie najkrótszych ścieżek z jednym źródłem • Algorytm Dijkstry • Algorytm Bellmana-Forda

  2. 8 7 4 9 2 14 11 7 4 6 10 8 1 2 Minimalne drzewa rozpinające Podgraf T spójnego grafu G nazywa się jego drzewem rozpinającym, jeśli T jest acykliczny i łączy wszystkie wierzchołki G. Jeśli krawędziom przypisane są wagi, i suma wag krawędzi T jest minimalna, T nazywamy minimalnym drzewem rozpinającym. Przykład minimalnego drzewa rozpinającego

  3. Algorytm Kruskala MST-Kruskal(G, w) 1 A :=  2 for każdy wierzchołek vV[G] 3 do Make-Set(v) 4 posortuj krawędzie z E niemalejąco względem wag w 5 for każda krawędź (u,v)  E, w kolejności niemalejących wag 6 doif Find-Set(u)  Find-Set(v) 7 then A := A  {(u,v)} 8 Union(u,v) 9 return A

  4. 8 7 8 7 4 9 4 9 2 14 2 14 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 1 2 8 7 8 7 4 9 4 9 2 14 2 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 8 7 8 7 4 9 4 9 2 14 2 14 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 1 2 Algorytm Kruskala (przykład) 1 2

  5. Algorytm Prima MST-Prim(G, w, r) 1 Q := V[G] 2 for każdy uQ 3 dokey[u] :=  4 key[r] := 0 5  [r] := NIL 6 while Q   7 do u := Extract-Min(Q) 8 for każdy v  Adj[u] 9 do if vQ i w(u,v) < key[v] 10 then [v] := u 11 key[v] := w(u,v)

  6. 8 7 4 9 4 9 2 14 2 14 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 1 2 8 7 8 7 4 9 4 9 2 14 2 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 1 2 8 7 4 9 4 9 2 14 2 14 11 11 7 4 7 4 6 6 10 10 8 8 1 2 Algorytm Prima (przykład) 8 7 8 7 1 2

  7. 6 6 3 9 3 3 9 3 4 4 1 s 1 2 s 0 2 0 2 2 7 3 7 3 5 5 5 11 5 11 6 6 Najkrótsze ścieżki z jednym źródłem Dany jest ważony graf skierowany G=(V,E) i wyróżniony wierzchołek sV, nazywany źródłem; dla każdego wierzchołka vV należy znaleźć najkrótszą ścieżkę z s do v. Wagą ścieżki jest suma wag tworzących ją krawędzi. Najkrótszą ścieżką jest ścieżka o najmniejszej wadze. Ważony graf skierowany Drzewo najkrótszych ścieżek

  8. Najkrótsze ścieżki z jednym źródłem d[v] - oszacowanie wagi najkrótszej ścieżki, [v] - poprzednik v Initialize-Single-Source(G, s) 1 for każdy wierzchołek vV[G] 2 dod[v] :=  3 [v] := NIL 4 d[s] := 0 Relaksacja krawędzi - ewentualne zmniejszenie oszacowania wagi najkrótszej ścieżki d[v] Relax(u, v, w) 1 ifd[v] > d[u] + w(u, v) 2 thend[v] := d[u] + w(u, v) 3 [v] := u

  9. Algorytm Dijkstry Dijkstra(G, w, s) 1 Initialize-Single-Source(G, s) 2 S :=  3 Q := V[G] 4 while Q   5 do u := Extract-Min(Q) 6 S := S  {u} 7 for każdy wierzchołek v  Adj[u] 8 do Relax(u, v, w)

  10. 1 1 10   1 10 8 14 10 9 8 9 3 s 2 0 9 4 9 3 2 6 7 3 0 s 2 4 0 4 6 7 5  6 7  5 5 2 7 5 5 7 2 2 1 1 10 10 10  8 8 10 13 9 9 9 9 3 3 3 s 2 2 2 0 0 0 4 4 4 6 6 6 7 7 7 5 5 5 5 5 5  7 7 2 2 2 Algorytm Dijkstry (przykład) s 1 s s

  11. Algorytm Bellmana-Forda Bellman-Ford(G, w, s) 1 Initialize-Single-Source(G, s) 2 for i = 1 to |V[G]| - 1 3 do for każda krawędź (u, v)  E[G] 4 do Relax(u, v, w) 5for każda krawędź (u, v)  E[G] 6 do ifd[v] > d[u] + w(u, v) 7 then return FALSE 8 return TRUE

  12. 5 5 5 6 6 4 4 6 2 6   -2 -2 3 3 -3 -3 s s -2 8 8 0 0 3 -3 s 8 0 -4 -4 7 7 -4 7 2 2 7 7 7 7 2 2 -2 7   9 9 5 5 6 6  4 6 2 -2 -2 3 3 -3 -3 s s 8 8 0 0 -4 -4 7 7 2 2 7 7 7 7  2 9 Algorytm Bellmana-Forda (przykład) 9

More Related