PARKIETAŻE

1. PARKIETAŻE Karolina Figiel Karolina Kondek Magdalena Pasionek Alicja Żurowska

2. Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacjato … ? • Jest to powtarzający się motyw złożony z wielokątów foremnych wypełniających całą dostępną przestrzeń. Wielokąty układają się koło siebie, mając wszystkie boki wspólne z sąsiednimi figurami. • Formalnie jest to zbiór przystających wielokątów foremnych złożonych w ten sposób, że każdy punkt płaszczyzny należy do jakiejś figury, a każdy wierzchołek parkietażu zawiera wyłącznie wierzchołki określonej liczby figur.

3. Klasyfikacja • Cechą, za pomocą której klasyfikuje się parkietaże, są właściwości wierzchołków, z których ten parkietaż się składa. Jeśli w wierzchołku spotykają się dwa kwadraty, trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis potęgowy: jeśli liczba k wystąpi n razy po kolei, to zapisuje się to symbolem kn. • Periodyczność - przekształcenie przeprowadzające wypełnienie płaszczyzny w siebie. • Parkietaż foremny - wypełnienie płaszczyzny tylko przystającymi wielokątami foremnymi. • Parkietaż regularny - w każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur.

4. Rodzaje • Periodyczne parkietaże foremne regularne (platońskie). Istnieją tylko 3 takie parkietaże: 6^3, 4^4, 3^6. • Periodyczne parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne). Istnieje tylko 8 takich parkietaży: (3^4, 6), (3^3, 4^2), (3^2, 6^2),(4, 8^2), (4, 6, 12), (3, 4, 6, 4), (3^2, 4, 3, 4), (3, 12^2). Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże. • Periodyczne parkietaże półforemne nieregularne. Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: 3^6 oraz (3^2, 4, 12). • Periodyczne parkietaże nieregularne. Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta(potocznie zwanego sfinksem). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, za pomocą którego można wypełnić całą płaszczyznę. • Parkietaże nieperiodyczne. Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów. Kąty deltoidu wypukłego wyrażone w stopniach: 72, 72, 72, 144. Kąty deltoidu wklęsłego wyrażone w stopniach: 36, 36, 72, 216.

5. Patkietaże foremne Zbudowane z: Parkietaż Platoński Parkietaże uzyskane z jednego typu wielokątów foremnych nazywamy foremnymi lub platońskimi. Istnieją tylko trzy parkietaże platońskie, gdyż tylko w tych przypadkach suma miar kątów wielokątów stykających się w wierzchołku parkietażu wynosi 360o. W jednym wierzchołkuparkietażu mogą stykać się najmniej trzy sześciokąty, a najwięcej, bo aż sześć trójkątów. Kwadratów Sześciokątów Trójkątów równobocznych

6. PARKIETAŻE PERIODYCZNE • Parkietażem periodycznym nazywamy takie nieskończone pokrycie płaszczyzny, które jest okresowe.

7. Parkietaż półforemny regularny Składa się z różnych wielokątów foremnych, a w każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur. Parkietażarchimedesowski

8. Parkietaż półforemny nieregularny W jego wierzchołkach spotykają się różne grupy wielokątów Parkietaż Johnsona

9. PARKIETAŻE NIEPERIODYCZNE • Parkietażem nieperiodycznym nazywamy takie nieskończone pokrycie płaszczyzny dla którego nie istnieje okres.

10. Parkietaż nieperiodyczny • ParkietażPenrose'a to sposób pokrycia płaszczyzny za pomocą dwóch rodzajów figur ("kafelków") tak aby wzór nie powtarzał się okresowo po przesunięciu. Odkryty w 1973 r. przez angielskiego fizyka i matematyka Rogera Penrose'a. • ParkietażPenrose’a tworzony jest jedynie z dwóch rodzajów płytek –Kite i Dart. ParkietażPenrose'a

11. Parkietaż Penrose'a

12. Parkietaże w życiu codziennym • Kostki brukowe mają zazwyczaj kształt figur, którymi można szczelnie wypełnić płaszczyznę (powstaje wtedy parkietaż). Nawet jeżeli są to zwyczajne prostokąty, to mogą być układane na kilka różnych sposobów. Niektóre parkietaże powstają z kostek jednego kształtu, inne z dwóch, trzech lub więcej. Jeśli do parkietażu wykorzystujemy tylko jeden rodzaj kostek w kształcie wielokąta foremnego, parkietaż nazywamy platońskim lub foremnym. Jeśli zaś używamy kostek w kształcie różnych wielokątów foremnych, przy czym wszystkie węzły parkietażu są identyczne, parkietaż nazywamy archimedesowym lub półforemnym.

13. Parkietaże z prostokątów

14. Parkietaże ze zmodyfikowanych prostokątów

15. Parkietaże z kwadratów

16. Parkietaże z rombów

17. Parkietaże z sześciokątów foremnych

18. Parkietaże ze zmodyfikowanych sześciokątów foremnych

19. Parkietaże z sześciokątów nieforemnych

20. Parkietaże z ośmiokątów i kwadratów

21. Parkietaże w sztuce • Parkietaże mają zastosowanie np. w zdobieniach posadzkowych w kościołach (wzory małych bryłek, figur). Ich ułożenie daje wrażenie trójwymiarowości czy też iluzji ruchomego dzieła tzw. op-art. • Parkietaże pojawiają się także w twórczości Holendra Mauritsa Cornelisa Eschera.

22. Parkietaż Eschera • Parkietaż w stylu Eschera to wypełnianie płaszczyzny dowolnymi, jednakowymi wielokątami

23. Twórczość Eschera

24. Twórczość Eschera

25. Twórczość Eschera

26. Twórczość Eschera

27. Twórczość Eschera

28. Twórczość Eschera

29. Bibliografia • http://pl.wikipedia.org/wiki/Parkieta%C5%BC • http://www.csz.pw.edu.pl/files/dla_uczniow/2011_wpopularne_01_budzynski.pdf • http://aixa.ugr.es/escher/table.html • http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/matematyka-pod-stopami-ii • https://www.ezi.edu.pl/showcasefiles2/pp2969.ppt • http://szkolamysleniamini2.nq.pl