多項式からなる方程式の近似解を求める方法

1. 多項式からなる方程式の近似解を求める方法 Newton-Raphson法は基本的に超越関数方程式にも効果あり．ただし．．．． 実数解がない場合どうすれば，解(近似解)が得られるか 考え方：複素数 a+ib が解ならばf(a+ib )=0 一般には複素数 a+ib は解ではないのf(a+ib )=c+id ここで，a, b を調整して（a→a*，b→b*），f(a*+ib*)=c*+id* =0 をゼロとするようなa*,b*のペアを得たい

2. 問題を定式化すると 多項式　　　　　　を方程式とする 複素近似解の初期値 商（多項式） 剰余(１次式) Ｂ，Ｃを変化させながら，Ｒ，Ｓをゼロにする

3. を決定する必要あり もし，　　　　　　　　　　および　　　　　が ＢおよびＣで表現できれば，反復法でＲと Ｓを同時にゼロに(近似的に)することが可能 ＢおよびＣを(わずかに)変化させた時，ゼロとしたい対象であるＲとＳとはどのように表現できるだろうか Ｂａｉｒｓｔｏｗの方法の考え方

4. 変化を微分形で表現 行列で表現 漸化式での表現 初期値であるＲ１，Ｓ１にΔＢとΔＣを増分として加算し同時にＲｎＳｎをゼロに

5. 左辺をゼロといおいて，反復演算の初期値Ｒ１Ｓ１を設定して，増分であるΔＢとΔＣを決定左辺をゼロといおいて，反復演算の初期値Ｒ１Ｓ１を設定して，増分であるΔＢとΔＣを決定 左辺から逆行列を掛けると ここで，Cramerの公式より

6. ΔＢを表現 ΔＣを表現 Ｂｎ＝Ｂｎ－１＋ΔＢ Ｃｎ＝Ｃｎ－１＋ΔＣ Ｒｎ→０＆Ｓｎ→０

7. １）与えられた多項式Ｐ（ｘ）に対し，初期値Ｂ１Ｃ１で決定　　　される２次式ｘ ＋Ｂ１ｘ＋Ｃ１で (組立て除法を用いて)除　　算し，商Ｑ（ｘ）および剰余Ｒ１ｘ＋Ｓ１を求める ２）Ｂ１Ｃ１Ｒ１Ｓ１およびＱ（ｘ）などよりΔＢΔＣを決定し，　　　　再びＢ２（＝Ｂ１＋ ΔＢ）Ｃ２（＝Ｃ１＋ ΔＣ）を求める ３）多項式Ｐ（ｘ）に対し，Ｂ２Ｃ２で決定される２次式　　　　　　　ｘ ＋Ｂ２ｘ ＋Ｃ２で除算し，新しいＱ（ｘ）および剰余　　　　　Ｒ２ｘ＋Ｓ２を求める ４）新しいＢ２Ｃ２Ｒ２Ｓ２より，新しいΔＢΔＣを決定する． ５）このような操作を反復しながら，新しいＲｎＳｎおよびΔ　　ＢΔＣが同時にゼロとなるようなＢｎＣｎを求め，商Ｑ（ｘ）　　を得る． ２ ２ Ｂａｉｒｓｔｏｗの方法のアルゴリズム

8. の両辺をそれぞれＢおよびＣで偏微分すると，　　　はＢおよびＣとは独立であるため，次の２つの式が得られる． Ｂで偏微分すると Ｃで偏微分すると

9. 商（多項式） 剰余(１次式) と式変形すると，　　　　を　　　　　　　　　で割った（Euclidの組み立て除法）商と剰余を，それぞれ，　　　　と　　　　　　　　とするように，　　　を再び　　　　　　　　　　で割った商と剰余をそれぞれ，　　　　　　　と　　　　　　　　　とすることを意味する． Euclidの組み立て除法を用いて，　　　　を　　　　　　　　　で割った剰余を　　　　　　　　　とすると， 初期値 初期値

10. 解と係数との関係より， となる よって．．．．