第十五章 碰 撞 ( 动力学专题）

1. 第十五章 碰 撞 (动力学专题） 沈阳建筑大学 侯祥林

2. 第十五章 碰 撞 (动力学专题） 第十五章 引言 §15-1 碰撞现象 碰撞力 §15-2 普遍定理在碰撞过程的应用 §15-3 恢复系数 §15-4 碰撞问题举例 碰撞问题例题 §15-5 碰撞冲量对绕定轴转动 刚体的作用撞击中心

3. 第十五章 碰 撞 (动力学专题） 运动物体相碰撞时，碰撞过程相当复杂，其运动状态将有急剧的变化，相互间的作用力很大。 这是重要的动力学专题问题。 ×

4. §15-1 碰撞现象˙碰撞力 碰撞现象实例 物体碰撞 ×

5. 锤敲击物体： 打网球： s s 打台球： ×

6. 碰撞现象的特点： 在极短的时间内，物体运动状态发生有限的变化； 速度有突变，加速度很大，出现巨大的碰撞力。 碰撞力是短时间内产生一种瞬时力 在极短时间内碰撞力急剧变化，很难确定其变化规律。 由碰撞现象的特点进行的两点简化： (1) 在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通力的冲量忽略不计。 (2) 碰撞过程非常短促，物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置基本不改变，物体的位移忽略不计。 ×

7. §15-2 普遍定理在碰撞过程的应用 碰撞过程时间短；碰撞力变化复杂. 不能直接用力来量度碰撞的作用，一般用冲量描述。 无法用运动微分方程描述瞬时力运动变化的关系。 通常研究碰撞前后的变化。 碰撞过程存在机械能的损失；机械能损失难以用力的功来计算，不便应用动能定理。 通常研究碰撞前后运动变化。应用动量定理和动量矩定理的积分形式，来确定力的作用与运动变化的关系。 ×

8. 设质点质量为m，碰撞过程开始时速度为 ，结束时速度为 。 对质点系碰撞，若作用在第i个质点上的碰撞冲量分: 1. 碰撞过程动量定理的应用 由质点动量定理为： 由质点动量定理: ×

9. 即：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。即：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。 可以简化为： 当满足： 碰撞过程动量守恒： ×

10. 2.碰撞过程动量矩定理的应用 质点系动量矩定理的微分形式： 表示为： 则： ×

11. 即质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。即质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 当满足： 碰撞过程动量矩守恒： ×

12. 3. 碰撞对平面运动刚体的作用 质点系相对质心的动量矩定理与对固定点的动量矩定理具有相同的形式： Lc1 、Lc2为碰撞前质点系对于质心C的动量矩，右端项为外碰撞冲量对质心之矩的矢量和（对质心的主矩）。 ×

13. 碰撞过程中的动量定理和冲量矩定理共同应用，可获得刚体平面运动的碰撞问题求解。碰撞过程中的动量定理和冲量矩定理共同应用，可获得刚体平面运动的碰撞问题求解。 ×

14. §15-3 恢复系数 小球铅直地落到固定的平面上.称为正碰撞 ×

15. 碰撞过程可分为两个阶段： 第一阶段: 物体动能减小到零，变形增加，设在此阶段的碰撞冲量为I1，应用冲量定理在y轴的投影式: 第二阶段: 弹性变形逐渐恢复，动能逐渐增大，设在此阶段的碰撞冲量为I2，应用冲量定理在y轴的投影式: 得： 由于物体能量损失： 通常： 由物体材料确定，称为恢复系数 ×

16. 为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。 恢复系数表示物体在碰撞后速度和变形恢复程度， 反映碰撞过程中机械能损失程度。 当材料恢复系数满足0<k<1。 这种材料物体发生碰撞， 称为弹性碰撞。 当k=1时，碰撞结束时，物体变形完全恢复，动能没有损失， 称为完全弹性碰撞。 当k=0时，在碰撞结束时，物体的变形丝毫没有恢复， 称为非弹性碰撞或塑性碰撞。 一般情况，两个物体碰撞，恢复系数定义为： ×

17. 如图碰撞，开始时速度v与接触点法线夹角为α，碰撞结束时速度v与法线夹角为β，碰撞称为斜碰撞。不计摩擦。确定恢复系数。如图碰撞，开始时速度v与接触点法线夹角为α，碰撞结束时速度v与法线夹角为β，碰撞称为斜碰撞。不计摩擦。确定恢复系数。 进行速度分解： 在τ方向：不计摩擦 在n方向： 恢复系数应为 ×

18. §15-4 碰撞问题举例 应用动量定理和动量矩定理的积分形式，并用恢复系数建立补充方程，可以分析碰撞前后物体运动变化与其受力之间的关系。 碰撞问题求解步骤： 1）取研究对象 2）碰撞前后运动分析 3）应用碰撞动量和动量矩定理 4）计算结果 选题 ×

19. ×

20. 例1 两个球的质量分别为m1和m2，碰撞开始时两质心的速度分别为v1和v2，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为k，试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。 解： 1)取两个球质点系为研究对象 2）碰撞前后运动分析： 两球能碰撞前的条件是v1>v2。 设碰撞结束时，二者的速度分别为v1和v2，且v1<v2。 3）应用碰撞过程的动量守恒: ×

21. 由恢复系数定义： 联立二式 解得 ×

22. 4）动能损失 以T1和T2分别表示系统碰撞开始和结束时的动能： ×

23. 完全弹性碰撞时： 系统动能没有损失，即碰撞开始和结束时的动能守恒。 塑性碰撞时 动能损失为： 当塑性碰撞开始时，v2=0，则动能损失为： ×

24. 塑性碰撞过程中损失的动能与两物体的质量比有关。塑性碰撞过程中损失的动能与两物体的质量比有关。 当m2>>m1时，△T≈T1，即质点系在碰撞开始时的动能几乎完全损失于碰撞过程中。这种情况对于锻压金属是最理想的。 我们希望在锻压金属时，锻件变形尽量大，而砧座尽可能不运动。因此工程中采用比锻锤重很多倍的砧座。 当m2<<m1时，△T≈0，这种情况对于打桩是最理想的。 因为我们希望在碰撞结束时，应使桩获得较大的动能去克服阻力前进。因此在工程中应取比桩柱重得多的锤打桩。 选题 ×

25. ×

26. 母球速度 子球速度 母球速度 例2 打台球，母球以v2 =5 m/s速度碰撞1号球使其落入角袋，θ=300 ，设恢复系数为k=0.95，母球和子球质量相同。求碰撞后子球和母球的速度。 解： （1）取两球质点系为研究对象。设质量为m。 （2）碰撞分析 碰撞前： 碰撞后： ×

27. （3）碰撞过程的动量定量 由恢复系数 ×

28. 母球速度大小： 速度方向： 选题 ×

29. ×

30. 例3图示，物块A自高度h=4.9m处自由落下，与安装在弹簧上的物块B相碰。已知A的质量m1=1kg，B的质量m2=0.5kg，弹簧刚度k=10N/mm。设碰撞结束后，两物块一起运动。求碰撞结束时的速度和弹簧的最大压缩量。例3图示，物块A自高度h=4.9m处自由落下，与安装在弹簧上的物块B相碰。已知A的质量m1=1kg，B的质量m2=0.5kg，弹簧刚度k=10N/mm。设碰撞结束后，两物块一起运动。求碰撞结束时的速度和弹簧的最大压缩量。 解： 1）整个系统为研究对象 2）碰撞前后运动分析 物块A自高处落下与B块接触的时刻，碰撞开始。 碰撞过程：A的速度减少，B的速度增大。碰撞结束时：二者速度相等。 3）应用碰撞过程的沿y方向动量守恒，忽略重力。 ×

31. 碰撞后，A、B以相同速度运动使弹簧压缩量达最大值。碰撞后，A、B以相同速度运动使弹簧压缩量达最大值。 此后物块将向上运动，持续地往复运动。 设最大压缩量为δmax 4）由动能定理 注意到 kδmax=m2g 解得最大压缩量 另一解为-78.55mm，弹簧为拉伸状态，不合题意。 选题 ×

32. 例4图示射击摆是一个悬挂于水平轴O的填满砂土的筒。当枪弹水平射入砂筒后，使筒绕O轴转过一偏角，测量偏角大小可求出枪弹的速度。已知摆的质量为m1，对O轴的转动惯量为Jo，摆重心C到O轴的距离为h。枪弹的质量为m1，枪弹射入砂筒时枪弹到O轴的距离为d。悬挂索的重量不计，求子弹的速度。 例4图示射击摆是一个悬挂于水平轴O的填满砂土的筒。当枪弹水平射入砂筒后，使筒绕O轴转过一偏角，测量偏角大小可求出枪弹的速度。已知摆的质量为m1，对O轴的转动惯量为Jo，摆重心C到O轴的距离为h。枪弹的质量为m1，枪弹射入砂筒时枪弹到O轴的距离为d。悬挂索的重量不计，求子弹的速度。 解： 1）以枪弹与摆的质点系为研究对象。 2）碰撞前后运动分析 子弹射入砂筒到与砂筒一起运动可似为碰撞过程。设碰撞开始时子弹速度为v. 开始时质点系的动量矩Lo1： 碰撞结束时摆的角速度为ω, 质点系动量矩为Lo2: ×

33. 3) 外碰撞冲量对O轴的矩等于零，质点系动量矩守恒。 4）解得v : ×

34. 5) 碰撞结束后，摆与子弹一起绕O轴转过角度φ。 由动能定理 即 解得： 得子弹射入砂筒前的速度： 选题 ×

35. 例5均质细杆长l,质量为m,以速度v平行于杆自身而斜撞于光滑地面,杆与地面成角θ,如图所示.如为完全弹性碰撞,试求撞后杆的角速度。例5均质细杆长l,质量为m,以速度v平行于杆自身而斜撞于光滑地面,杆与地面成角θ,如图所示.如为完全弹性碰撞,试求撞后杆的角速度。 解： 1）取杆为研究对象 2）碰撞过程分析 地面光滑，杆只受有y方向的碰撞冲量I。杆沿x方向动量守恒 设杆撞后质心C的速度为vc，角速度为ω。 则x方向： 由基点法分析A点速度： ×

36. 沿y轴投影： A在碰撞前法向速度: 由恢复系数 代入上式，得 冲量定理沿y轴投影式为 ×

37. 对质心C的动量矩定理为 消去以上两式中的I，得 解出 选题 ×

38. 例6：移动式足球机器人小车视为均匀的 75mm× 75mm的平面运动构件。当两小车碰撞时，运动方向和转动角速度都要改变。设小车质量m1=m2=0.5 kg，对质心的转动惯量J1=J2 =0.00046875 kg.m 2，方位和碰撞点如图。恢复系数为k=0.5。碰撞前小车质心速度vC1=1m/s, vC2=1 m/s. ω1=ω2=0 ，求碰撞后两个小车的质心速度和角速度。 解： 1)分别取两个小车为研究对象 ×

39. 2）碰撞分析 碰撞冲量为I： 碰撞后参数： 3）应用碰撞过程的冲量定理与冲量矩定理可列 对于1号小车 对于2号小车 ×

40. 设t方向和n 方向单位向量为: 碰撞点速度 碰撞点速度在法向方向投影 由恢复系数定义： ×

41. 将碰撞前后的速度和冲量表示为投影形式： ×

42. 得到7个方程组成的方程组，表示为矩阵形式。得到7个方程组成的方程组，表示为矩阵形式。 ×

43. 方程组采用工具解法 ×

44. 计算结果 选题 ×

45. §15-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心 1. 刚体角速度的变化 设绕定轴转动的刚体受到外碰撞冲量的作用； 根据冲量矩定理在z轴上的投影式，得： Lz1和Lz2：刚体在碰撞前后对z轴的动量矩； 设ω1和ω2是碰撞前后刚体瞬时角速度； Jz：是刚体对于转轴z的转动惯量。 角速度变化为： ×

46. 2.支座的反碰撞冲量˙撞击中心 图示定轴转动的刚体，受到外碰撞冲量I的作用时，轴承与轴之间将发生碰撞。 设刚体有对称平面，且绕垂直于对称面的轴转动。 设图示平面图形是刚体的对称面，则刚体的质心C必在图面内。 外碰撞冲量I作用在对称面内，求轴承O的反碰撞冲量Iox和Ioy 。 取Oy轴通过质心C，x轴与y轴垂直。 应用冲量定理： ×

47. 式中，m为刚体质量，vcx、vcx和vcy、vcy分别为碰撞前后质心速度沿x、y轴的投影。式中，m为刚体质量，vcx、vcx和vcy、vcy分别为碰撞前后质心速度沿x、y轴的投影。 若图示位置是发生碰撞的位置，则有vcy=vcy =0。 于是： 可见，一般情况下，在轴承处将引起碰撞冲量。 工程中，有些机器是利用碰撞工作的，材料撞击试验机就是一例。 如果工作时，轴承处也有碰撞冲量，轴承和轴将易于损坏，因此，应尽可能减小轴承处的碰撞冲量。 ×

48. 分析 若：(1) Iy=0 (2) Ix=m(vcx-vcx) 则有 Iox=0 Ioy=0 如果外碰撞冲量I 作用在物体对称平面内，并且满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。 由(1) Iy=0，即要求外碰撞冲量与y轴垂直，即I必须垂直于支点O与质心C的连线，如图所示。 由(2), Ix=ma(ω2- ω1） ×

49. Ix=ma(ω2-ω1） 代入 将 解得： 式中l=OK，点K是外碰撞冲量I的作用线与线OC的交点。 满足上式的点K称为撞击中心。 结论：当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的撞击中心，且垂直于支点与质心的连线，在支点处不引起碰撞冲量。 应用：设计材料撞击试验机的摆锤时，应该把撞击试件的刃口设在摆的撞击中心，可以使轴承避免承受撞击载荷。 ×

50. 例7 均质杆质量为m，长为2a，其上端由圆柱铰链固定，如图所示。杆由水平位置无初速地落下，撞上一固定的物块。设恢复系数为k，求（1）轴承的碰撞冲量；（2）撞击中心的位置。 解： （1）杆在铅直位置与物块碰撞，设碰撞开始和结束时杆的角速度分别为ω1和ω2。 在碰撞前，杆自水平位置自由落下，应用动能定理： 求得： ×