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. Conjuntos. Carlos Andrés Montenegro Colegio tolimense. Conjuntos. Contenidos del tema: Definición de conjunto Notaciones Relaciones elemento- conjunto y Conjunto- conjunto Diagramas de Venn – Euler Operaciones con conjuntos. Definición de conjunto.
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Conjuntos Carlos Andrés Montenegro Colegio tolimense
Conjuntos • Contenidos del tema: • Definición de conjunto • Notaciones • Relaciones elemento- conjunto y Conjunto- conjunto • Diagramas de Venn – Euler • Operaciones con conjuntos
Definición de conjunto Un conjunto es una colección de elementosbien determinada. • colección :sinónimo de famila, clase, etc • elemento:Sinónimo de objeto, miembro, etc • bien determinada: significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto
Notación • Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,.... • A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....
Relación Elemento- Conjunto: Pertenencia • La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia • Escribimos y decimos: aA (el elemento apertenece al conjunto A) • ……y en caso de que no pertenezca escribimos: a A ( a no pertenece a A)
¿Son conjuntos o no? • Los mejores cantantes del mundo • Los hombres altos • Los hombres • Las chicas simpáticas • Los perros dálmatas • Los ganadores del premio Oscar
¿Cómo se definen los conjuntos? • Por descripción verbal • Por extensión o listado • Cuando se listan o especifican sus elementos • Por comprensión • Cuando se da la propiedad que verifican sus elementos. Predicados
Ejemplos • Descripción verbal: • El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría • Listado: • A ={Luis, María, Pedro, Iván, José} • Comprensión: • A ={x / x es uno de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría} • A ={x / P(x)}
Ejemplos • Dados los siguientes conjuntos: • A ={1,2,3,4,5,6,7,8} • B = {Luisa, Ana, Pedro} • Diremos : • 2 A Luisa B • 10 A Pedro A
Representación con Diagramas de Venn- Euler B A Luisa Ana Pedro • 2 3 • 4 • 5 6 7 8 • 2 3 • 4 • 5 6 7 8
B A SubconjuntosRelación Conjunto- Conjunto • Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B. • Esto lo escribimos como: A B x : x A x B
Ejemplos • Dados los siguientes conjuntos: • A ={1,2,3,4,5,6,7,8} • B = {2,4,6,8} • C = {1,3,5,7} • Diremos : • B A ( B subconjunto de A) • C A ( C subconjunto de A) • C B ( C no es subconjunto de B)
Igualdad de conjuntos • Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si: A B y B A Es decir : • A = B x : (x A x B y x B x A)
Sean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; C = { {a,b },{c} }. Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas. { c} B o { c} A { c} B y { c} A c A { c, d, a } B { c} C {a,b,c} B {{a,b }} C Ejemplo V F F F V F V
Complemento de un conjunto • Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A • A ‘ = { x / x A }
Operaciones con conjuntosLa Unión • Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos. • A B = { x / x A x B }
A B A B Ejemplo • A = { a,b,c } • B = { d, e } • A B = { a,b,c,d,e } a b c d e
Operaciones con conjuntosLa Intersección • Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. • A B = { x / x A x B }
Ejemplo • A = { a,b,c, d, e } • B = { d, e , f } • A B = {d, e } A B a b c d e f
Operaciones con conjuntosDiferencia • Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B • A -B = { x / x A x B }
A A B B Ejemplo • A = { a,b,c, d, e } • B = { d, e , f } • A - B = {a,b,c } A - B
Algunas propiedades • A A (basta probar que x : x A x A ) ¿Cuándo es este condicional verdadero? • A (basta probar que x : x x A ) ¿Cuándo es este condicional verdadero? ¿Cómo es el antecedente? • (A ’) ’ = A (Ver que esto es equivalente a probar ~~ P(x) P(x) , siendo P(x) : x A
Algunas propiedades • Conmutativa : • A B = B A y A B = B A • Asociativa: • A (B C) = (A B) C • A (B C) = (A B) C • Neutro para la Unión: • A = A
Algunas propiedades • Neutro para la intersección • A U = A • Distributiva • A (B C) = (A B) (A C) • A (B C) = (A B) (A C) • De Morgan • (A B) ’ = A ’ B ’ • (A B) ’ = A ’ B ’
B A ABC C Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U
A- B B A C Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U
B A AB - AB Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U
B A C C - AB Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U
Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U - AC U A C