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主讲人：福建省龙岩市第二中学 王慕华 学科：高中数学 联系电话： 13605936752

说题. 主讲人：福建省龙岩市第二中学 王慕华 学科：高中数学 联系电话： 13605936752. 本题出自 2013 年高考新课标全国卷 Ⅱ 理科数学第 20 题。. 平面直角坐标系 中，过椭圆 ： ( ) 右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 。 （ 1 ）求 的方程 ; （ 2 ） 为 上的两点，若四 边形 的对角线 ⊥ ， 求四边形 面积的最大值. 说题流程. 二、说解题思路. 一、说考点分析 和思想方法.

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  1. 说题 主讲人：福建省龙岩市第二中学 王慕华 学科：高中数学 联系电话：13605936752

  2. 本题出自2013年高考新课标全国卷Ⅱ理科数学第20题。本题出自2013年高考新课标全国卷Ⅱ理科数学第20题。 平面直角坐标系 中，过椭圆 ： ()右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 。 （1）求 的方程; （2） 为 上的两点，若四 边形 的对角线 ⊥ ， 求四边形 面积的最大值.

  3. 说题流程 二、说解题思路 一、说考点分析 和思想方法 全国卷Ⅱ理数第20题 五、说高 考链接 三、说变式、 推广和拓展 四、说反思 和感悟

  4. 一、说考点分析、思想方法 1.根据已知条 件确定椭圆方程 • 4.涉及的知识点 • ①椭圆的标准方程; • ②椭圆的简单几何性质; • ③两点间的斜率公式; • ④两点间的的距离公式; • ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 • ⑥直线方程及两直线垂直时两直线斜率的关系 2.直线与圆锥曲线的位置关系 （一） 本题考点 3.与圆锥曲线 有关的最值问题

  5. （二）思想方法 本题设问直接、简洁，给考生似曾相识的感觉，但考生必须要克服定势思维的影响，认真分析题意，根据已知条件合理假设未知量，构造方程组，在运算中合理选择算法、算理，同时要有耐心细致的品质，才能准确地得到所要的结论. 1.本题第一问考查了方程思想，考查的主要方法为待定系数法，而在用待定系数法求椭圆方程时，又着重考查了点差法的巧妙使用. 2.本题第二问重点考查了函数与方程思想、数形结合思想(在探究CD最长时用到这一思想). 3.本题两问均深入考查了化归与转化思想,突出考查了韦达定理和直线与圆锥曲线相交弦的弦长公式,在化简运算过程中，注重考查整体代换的思想，尤其是考查考生在面对多个未知参数时如何处理主元与辅元的关系.

  6. 二、说解题思路

  7. 问（1）的解法（一）：点差法 由此可得 方法总结：待定系数法及方程思想的应用.

  8. . 点评: 本解法利用代入消元,巧用韦达定理,寻找a,b之间的关系.方程思想的应用 问（1）的解法（二） 由条件得直线OP的方程为

  9. . 点评: 因半焦距c已知，利用a，b，c的关系先用b表达a元，再利用直线OP的斜率已知，构造方程求解，凸显化简方程的意识。 问(1)的解法（三）

  10. 问(2)的解法 B 由题意可设得直线CD的

  11. 方法总结：因线段AB的长度可求，为了表达四边形ACBD的面积，此解法在于巧用C,D两点的横坐标表达线段CD的长，从而构造面积S关于m的函数关系式，再利用函数的最值求法求得面积的最大值，这种解法为通法。方法总结：因线段AB的长度可求，为了表达四边形ACBD的面积，此解法在于巧用C,D两点的横坐标表达线段CD的长，从而构造面积S关于m的函数关系式，再利用函数的最值求法求得面积的最大值，这种解法为通法。

  12. 问(2)的解法初步优化 点评:通过两点间的弦长公式巧用设而不求的思想，简化计算.

  13. 问(2)的解法进一步优化 . 点评:此法利用椭圆的对称性，从 特殊角度出发求解，进一步简化了计算.

  14. 三、说变式、推广、拓展 拓展 推广 变式

  15. 变式 变式1：已知条件不变，把问题（2）改为，设直线OP与椭圆M交于不同的两点C、D,求：四边形ACBD的面积。 变式2：平面直角坐标系 中过椭圆 ： ( )右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 . (1)求 的方程;

  16. 变式3：平面直角坐标系 中，过抛物线 ： 焦点的直线 交 于 两点， (Ι)求 的方程; （Ⅱ） 为 上的两点，若四边形 的对角 线 ⊥ ，求四边形 面积的最大值。 (Ι) （Ⅱ）

  17. 推广 已知条件不变，把问题2推广为，过椭圆M右焦点的两条互相垂直的直线 ， 与椭圆M交于C、D的两点， 与椭圆M交于E、F两点.求证：四边形CEDF的面积是否存在最大值，若存在最大值，则求此最大值，若不存在则说明理由.

  18. 点评:本题解法用到了分类讨论、整体换元、函数与方程，数形结合，特殊与一般等重要的数学思想，比原题更能考查考生综合运用所学知识解决问题的能力，更能考查考生的数学素养，当然在求函数最值时也可利用导数求解。点评:本题解法用到了分类讨论、整体换元、函数与方程，数形结合，特殊与一般等重要的数学思想，比原题更能考查考生综合运用所学知识解决问题的能力，更能考查考生的数学素养，当然在求函数最值时也可利用导数求解。

  19. 拓展

  20. 点评:拓展后的运算求解全部涉及字母运算，要求考生有较强的运算能力，同时要有锲而不舍的个性品质才能得出相关的结论。点评:拓展后的运算求解全部涉及字母运算，要求考生有较强的运算能力，同时要有锲而不舍的个性品质才能得出相关的结论。

  21. 四、说反思、感悟 反思1：椭圆一直是高考解答题中考查解析几何知识的重要载体，在解题教学中应狠抓双基，重视基本技能的培养，同时要特别注意多字母参数的训练。 反思2：直线与椭圆的位置关系的考查，一定要把握好以下几“不”，①不能缺少判别式；②不能忽略直线的斜率；③不能小视“基本”变形；④不能弱化几何证明；⑤不能忘记交代几何结论。⑥不能忽视数学思想方法的应用。

  22. 感悟1：在解析几何的复习教学中应特别重视以下两类问题的研究，一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质。在由条件确定曲线方程时,若已知曲线类型，则宜采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、参数法、交轨法、几何法、相关点法等求解。感悟1：在解析几何的复习教学中应特别重视以下两类问题的研究，一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质。在由条件确定曲线方程时,若已知曲线类型，则宜采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、参数法、交轨法、几何法、相关点法等求解。 感悟2：与圆锥曲线有关的最值问题涉及代数、三角、不等式等多方面，而代数法中的函数思想是重中之重，其变化形式更是多种多样，建立函数模型、利用不等式、单调性、导数等多种工具求解体现了其较强的综合性。解决此类问题的基本思路是：先根据已知条件列出所求目标函数的解析式，再利用求函数最值的有关方法解决，在求最值过程中要注意想尽一切办法简化计算，求出结果后理应带回去检验。

  23. 五、高考链接 近年高考解析 几何题中,涉及 求最值问题的题目不多，现略举如下:

  24. 2012年广东20（2） 平面直角坐标系 中，已知椭圆C： 的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最 大值为3. (1)求椭圆C的方程;（2）在椭圆C上，是否存在点M （m,n），使得直线 与圆O： 相交于 不同的两点A、B，且 的面积最大？若存在，求出点M的 坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理由. ( )

  25. y l1 D B O x P A l2 2013年浙江卷理科21(2) 如图，点 是椭圆 的一个顶 点， 的长轴是圆 的直径. 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 两点， 交椭圆 于另一点D.（1）求椭圆的方程 （2）求 面积取最大值时直线 的方程.

  26. 谢谢! 请多批评指教！

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