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Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza.

Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza. Alma Rosa Fernández Ángel SADD – Agosto 2012. Profesor:. A. B. c. D. D. Es verdadero!. Alumno:. ¿Para qué quiero comprobar?:. D. ¿por qué debo suponer?. A. ¿A quién se le ocurrió pensar que:. B.

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  1. Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza. Alma Rosa Fernández Ángel SADD – Agosto 2012

  2. Profesor: A B c D D Es verdadero! Alumno: ¿Para qué quiero comprobar?: D ¿por qué debo suponer? A ¿A quién se le ocurrió pensar que: B Implica c ?

  3. ¿Cómo aprovechar el desarrollo Histórico de las matemáticas para desarrollar una clase, buscando mejorar el aprendizaje del tema?

  4. Al proponer esta forma de manejo de la historia de las matemáticas en el salón de clase, se puede considerar lo que Fauvel (1991) propone :

  5. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmo

  6. Descartes busca la solución de la ecuación cúbica con la intersección de una circunferencia (x-h)2+(y-k)2=R2 con la parábola y=x2

  7. ECUACIONES A LA ITALIANA. Luca Pacioli Casos particulares

  8. Scipione del Ferro x3 + ax + b = 0

  9. Scipione del Ferro Antonio del Fiore x3 + ax2 +b = 0

  10. Tartaglia Girolamo Cardano ax3 + bx2 + cx + d = 0

  11. Ars Magna ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Ludovico Ferrari

  12. SOLUCIÓN GENERAL. Consideremos la ecuación general de tercer grado: Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 Como A ≠ 0 , no se pierde generalidad si al dividir la ecuación anterior entre A, escribimos: x3 + bx2 + cx + d = 0 ( Ψ ) Hacemos la sustitución: x = y - b/3

  13. Obtenemos: En consecuencia, resolver la ecuacióncúbica ( Ψ ), se reduce a resolver la ecuación: donde: y

  14. Esto implica que: Ahora escribimos:

  15. Tenemosque: Luego: ( λ )

  16. Cualquieraque sea el valor numérico de la sumade (en estecasounaraíz de la ecuación anterior), siemprepodemosdeterminar a u y v imponiéndolesla condiciónadicional de quesuproductouvsea un númeroprefijado. Imponiendo al condición adicional: Sustituyendo en ( λ ) tenemos:

  17. Y de las dos expresiones anteriores se obtiene: Puestoque: Entonces por lo anterior u3 y v3 son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado: ( α )

  18. Por otro lado, las soluciones de la ecuación ( α ), viene dadas por : y Escribiendo:: y Cada una de las ecuaciones tiene tres raíces tanto para z1 como para z2.

  19. Las raíces de: son: , y Y las raíces de: son: , y

  20. Ahoradenotaremos: y Entonceslasraíces de:

  21. son: Conocidascomolasfórmulas de Cardano.

  22. RAFAEL BOMBELLI (1526-1572)

  23. Resolver las ecuaciones cúbicas con las formulas de Cardano, nos encontramos ante un hecho, que el discriminante sea menor que cero: entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo.

  24. Cardano en su Álgebra de 1572 presenta La ecuación: x3=15x+4 (d) Resolviendo encontramos que las tres soluciones de la cúbica son reales. Si aplicamos las fórmulas de Cardano con p=15 y q=4, como , entonces:

  25. Con las cuales Cardano no sabe que hacer, y las llama “irreducibles”

  26. Bombelli hace lo siguiente:

  27. , Esto se da si: Por lo que tiene sentido decir que:

  28. De la misma forma: Así, una raíz de la ecuación (d) es:

  29. El razonamiento de Bombelli planteó enormes problemas: ¿Cómo se sabe por adelantado que va a ser raíz cúbica de ? Y entonces surge la necesidad de introducir otros elementos.

  30. François Viète (1540-1603)

  31. , Analiza nuevamente la ecuación cúbica: con Esto es trabaja con: con

  32. Y la identidad trigonométrica: Llegando a la solución:

  33. Esto no es real (los imaginarios)

  34. Referencias bibliográficas • Bautista, R (2002). Conferencia La Solución de Ecuaciones como • Motor del Desarrollo del Algebra, • Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora, durante • la XII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas • Baumgart, J. et al. (1989). Historical Topics for the Mathematics • Classroom. NCTM. Reston, Virginia. • Kaster, E., Newman, J. (1978). Matemáticas e Imaginación. • Compañía Editorial Continental, S.A. D.F., México. • Kolmogorov, A. Aleksandrov, A. y otros (1985). La Matemática: • su contenido, método y significado. Alianza Editorial. Madrid.

  35. Moreno, R. (2001) Andanzas y aventuras de las ecuaciones cúbicas y cuárticas a su paso por España. Un capítulo de la historia del álgebraespañola. Colección “línea 300” Editorial Complutense. • Madrid. Pérez, J. Sánchez, C. (2007). Historia de las Matemáticas: Ecuaciones Algebraicas. Cursos THALES. Andalucía. • Rico, L. (Coord.).(2000). La educación matemática en la enseñanza secundaría. Horsori Editorial, S.I. • Sierra, M. (2009), Notas De Historia De Las Matemáticas Para El Currículo De Secundaria, en http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/122/116 • Stewart, I. (2009) Historia de las matemáticas. Crítica. Barcelona

  36. Várrilly, J. (1986) La enseñanza de las matemáticas • con un énfasis histórico. Revista de Filosofía de la Universidad • de Costa Rica, ISSN 0034-8252, Nº. Extra 59, págs. 75-78. • Costa Rica. • Revista digital Matemática (2008), Educación e Internet • (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 9, No 1.

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