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专题三 数 列

专题三 数 列. 第 09 课时 数列的基本运算和性质. 1 ． 等差数列的定义式和推论 等差数列 { a n } ⇔ a n - a n -1 = d ( d 为常数， n ≥2 ， n ∈ N * ) ⇔ 2 a n = a n +1 + a n -1 ( n ≥2 ， n ∈ N *) ⇔ a n = an + b ( a = d ， b = a 1 - d ) ⇔ S n = An 2 + Bn ( A= ， B=a 1 - ) ． 2 ． 等差数列的通项公式和前 n 项和公式及推论

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专题三 数 列

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  1. 专题三 数 列 第09课时 数列的基本运算和性质

  2. 1．等差数列的定义式和推论 等差数列{an}⇔an-an-1=d(d为常数，n≥2，n∈N*) ⇔2an=an+1+an-1(n≥2，n∈N*) ⇔an=an+b(a=d，b=a1-d) ⇔Sn=An2+Bn(A= ，B=a1- )． 2．等差数列的通项公式和前n项和公式及推论 (1)an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*)，

  3. 3．等比数列的定义式和推论等比数列 4．等比数列的通项公式和前n项和公式及推论

  4. 5．等差(比)数列的性质 (1)在等差数列{an}中，若m+n=l+k⇒am+an= al+ak(反之不一定成立)，特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap；在等比数列{an}中，若m+n=l+k⇒aman=alak(反之不一定成立)，特别地，当m+n=2p时，有 (2)若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}是非零常数数列．

  5. (3)等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等差数列；等比数列中Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(其中 )． (4)三个数成等差数列的设法：a-d，a，a+d；四个数成等差数列的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d；三个数成等比数列的设法： ，a，aq；注意：四个数成等比数列的错误设法： ，aq，aq3, .

  6. 1.基本运算 【例1】 等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6， a10成等比数列，求数列{an}的前20项和S20. 求数列的和，可求出a1，d.

  7. 设数列{an}的公差为d， 则a3=a4-d=10-d， a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d. 由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10=a62， 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，得10d2-10d=0， 解得 d=0或d=1. 当d=0时，S20=20a4=200； 当d=1时，a1=a4-3d=7，于是

  8. 数列问题转化到基本量a1，d，q是通法，但有时运算量较大，熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算．　

  9. 【变式训练】等比数列{an}的前n项和为Sn，任意 的点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=bx+r(b>0且 ，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b=2时，记 ，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)Sn=bn+r，当n=1时a1=S1=b+r， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn-bn-1，因为{an}为等比数列，所以a22=a1a3， 即(b2-b)2=(b+r)(b3-b2)，所以r=-1.

  10. 2.性质运用 【例2】(2010·浙江卷)设a1，d∈R，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S6 ·S5+15=0. (1)若S5=5，求S6及a1； (2)求d的取值范围． 求d的范围，先要列出a1，d的等量关系，然后应用判别式法或配方法产生不等式．

  11. (1)第(1)问思路明确，只需结合已知条件直接用公式代入即可．(1)第(1)问思路明确，只需结合已知条件直接用公式代入即可． (2)对于第(2)问，易得a1与d的关系式，只要抓住a1，d∈R，就易想到关于a1的二次方程，应用判别式法或配方法，产生不等式，求出d的范围．

  12. 【变式训练】已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)是等差数列，且a1=3，a3=9.【变式训练】已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)是等差数列，且a1=3，a3=9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明： 在已知条件下可以推出{an-1}是等比数列，进而可以求出an的通项公式，再用求和公式放缩完成不等式的证明． (1)设bn=log2(an-1)，由{bn}为等差数列， 所以 2log2(an-1)=log2(an+1-1)+log2(an-1-1)，由对数运算性质得(an-1)2=(an+1-1)(an-1-1)

  13. 3.综合问题

  14. 对于(1)的破解主要是利用列方程求公差，从而实现求通项，求和的目的；对于(2)的破解一方面要利用裂项法，另一方面要利用等比数列求和公式，再运用作差法比较二者的大小，注意对参数进行分类讨论．

  15. 数列问题的考查主要是等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用等方面的内容，重点的求和方法，如裂项法等需要熟练运用，对于渗及到含参问题比较大小，则需要结合分类讨论思想进行处理，避免忽视讨论而丢分．　

  16. 1．关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量．1．关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量． 2．要熟练掌握等差、等比数列判定的两种基本方法：定义法与等差(等比)中项法．

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