Seminar Sigma-Delta-A

1. 1 SeminarSigma-Delta-A/D-Wandler Eugenio Di Gioia eugenio.digioia@mikro.ee.tu-berlin.de mikro.ee.tu-berlin.de/~eugenio WS 2008/09

2. 2 Sigma-Delta Modulator (1) Arbeitsprinzip Linearisiertes Modell Zeitdiskret vs. Zeitkontinuierlich Berechnung der Rauschunterdr�ckung Berechnung des SNR S? h�herer Ordnung

3. 3 Arbeitsprinzip Ein oversampled A/D-Wandler (in der Regel ein Flash-Converter) wird in einen Regelkreis eingebaut

4. 4 Arbeitsprinzip

5. 5 Linearisiertes Modell Um das Signal- und Rauschverhalten des A/D-Wandlers zu analysieren wird ein linearisiertes Modell verwendet. Der nichtlineare Quantisierer wird durch einen Summierknoten ersetzt. An diesem Knoten wird das Quantisierungsrauschen addiert. Das Schleifenfilter wird mit seiner �bertragungsfunktion modelliert

6. 6 Linearisiertes Modell

7. 7 R�ckkoppelungstheorie

8. 8 Zeitkontinuierlich vs. Zeitdiskret Zeitdiskreter S?: die Abtastung wird vor dem Modulator durchgef�hrt. Der Eingang des Modulators ist daher eine Folge von kontinuierlichen Werten x[n]. Dieser Modulator wird mittels der Z-Transformation analysiert. Das Schleifenfilter wird mit umgeschalteten Kondensatoren und OPV realisiert.

9. 9 Zeitkontinuierlicher S?: das Eingangssignal ist Zeit- und Amplitudenkontinuierlich. Die Abtastung erfolgt erst vor dem Quantisierer, innerhalb der Schleife. Das Schleifenfilter arbeitet im zeitkontinuierlichen Bereich und wird durch die Laplace-Transformation beschrieben. Es wird mit Widerst�nden, Kondensatoren und OPV realisiert. Zeitkontinuierlich vs. Zeitdiskret

10. 10 Zeitdiskreter Sigma-Delta der 1. Ordnung Das Schleifenfilter ist ein einfacher SC-Integrator

11. 11 Beispiel eines SC-Integrators Vier Phasen f1, f2, f1del, f2del f1- f1del : Abtastphase f2- f2del : Integrationsphase CP: Parasit�re Kap. an der virtuellen Masse CS: Abtatskapazit�t CI: Integrationskapazit�t Die Verz�gerten Phasen minimieren die signalabh�ngige Ladungsinjektion

12. 12

13. 13 S?-1: STF und NTF

14. 14 Berechnung des SNR Nyquist A/D-Wandler ? +6 dB/Bit Oversampling ADC ? +3 dB/Okt

15. 15 S? der 1.Ordnung: Frequenzgang des Rauschanteils

16. 16 W(f) sei die Rauschleistungsdichte am Eingang des Quantisierers Berechnung des SNR

17. 17 Damit ergibt sich: F�r die Berechnung des SNR brauchen wir die Rauschleistung im Signalband Berechnung des SNR

18. 18 Berechnung des SNR

19. 19 Zeitverhalten

20. 20 Zeitverhalten

21. 21 Zeitverhalten

22. 22 Zeitdiskreter Sigma-Delta 2. Ordnung

23. 23 Zeitdiskreter Sigma-Delta der 2. Ordnung

24. 24 STF, NTF1 und NTF2

25. 25

26. 26 Berechnung des SNR

27. 27 Berechnung des SNR

28. 28 SNR eines S? der L-Ordnung SNR verbessert sich um (2L+1)*3 dB f�r jede Verdoppelung des OSR Die effektive Aufl�sung nimmt um (2L+1)*0,5 Bits f�r jede Verdoppelung des OSR zu

29. 29 Weitere Verbesserung des SNR Verwendung eines Quantisierers mit mehreren Bits. (Problem: Linearit�t, Verlustleistung, Fl�che) Verwendung eines Schleifenfilters h�herer Ordnung. (Problem: Stabilit�t) Verwendung eines kaskadierten S?. (Problem: Matching) Verwendung von Resonatoren

30. 30 Arbeitsprinzip eines Resonators Architektur (Beispiel: Zeitdisckret) �bertragungfunktion

31. 31 Resonatoren

32. 32 Vergleich TC-TD

33. 33 Zeitkontinuierlicher Modulator 1.Ordnung

34. 34 DAC eines TC-Modulators Der DAC eines TC-Modulators kann als ein zeitdiskret/zeitkontinuierlich-Wandler erfasst werden Es gibt verschiedene DAC-Pulsformen Not Return to Zero NRZ Return to zero RZ: am Ende jeder Taktperiode kehrt der DAC-Puls zum Wert 0 zur�ck Dreieckige Pulse Exponentiell abklingend Die RZ-Form hat Vorteile gegen�ber dem NRZ in Bezug auf den Excess Loop Delay. Die Jitterempfindlichkeit ist aber h�her als die vom NRZ Dreieckige bzw. Exponentielle Formen sind weniger jitterempfindlich Die mathematische Beschreibung des Modulators muss die Impulsantwort des DAC ber�cksichtigen!

35. 35 DAC-Pulsformen

36. 36 Vergleich der Signale (TD-TC)

37. 37 Vorgeschlagene Vortragsthemen CT/DT-Transformationen Komparatoren Nichtidealit�ten eines zeitkontinuierlichen DAC Nichtidealit�ten der analogen Schaltungen des Schleifenfilters in einem Sigma-Delta-Modulator Stabilit�t eines Sigma-Delta-Modulators Sigma-Delta-Modulatoren h�herer Ordnung Sigma-Delta mit Multi-Bit-Quantisierer Kaskadierte Sigma-Delta-Modulatoren Band-Pass Sigma-Delta-Modulatoren Zeitkontinuierliche Sigma-Delta-Modulatoren Dezimierungs- und Interpolationsvorgang Switched capacitor Filter

38. 38 Ende Teil III

39. 39 SeminarSigma-Delta-A/D-Wandler Eugenio Di Gioia eugenio.digioia@mikro.ee.tu-berlin.de mikro.ee.tu-berlin.de/~eugenio WS 2008/09

40. 40 Sigma-Delta Modulator (2) Gleichsetzung zeitdiskreter und zeitkontinuierlicher Modulatoren durch Transformationen Stabilit�t Kaskadierte Architekturen Entwurf und Simulation: Design Flow Nichtidealit�ten Vortragsthemen Literaturverzeichnis

41. 41 DT-CT-Transformation Die Simulation eines CT-Modulators ist schwierig und rechenzeitintensiv Sehr viel Literatur �ber DT-Modulatoren vorhanden Aus diesen Gr�nden ist es w�nschenswert, den CT-Modulator in einen DT-Modulator umzuwandeln

42. 42 CT-DT-�quivalenz Der DT- und der CT-Modulator sind �quivalent, wenn sie den selben Quantisierereingang in den Abtastzeitpunkten haben Gleiche Quantisierereing�nge bei t=nTS ? Gleiche Bitsequenzen am Ausgang Bei gleichen y[n] m�ssen beide Systeme dasselbe x[n] generieren Beide Systeme m�ssen mathematisch beschrieben und gleichgesetzt werden

43. 43 Vorgehensweise Design, Simulationen in DT & Transform in CT Nicht-Idealit�ten und CT-DAC (NRZ, RZ, etc.) hinzuf�gen R�cktransformieren in DT Der Verlauf der CT-DAC-Antwort muss ber�cksichtigt werden! DT-�quivalenten Modulator simulieren Transformationen & mathematische Modelle State-Space Transformation Modified z-Transformation Impulse Invariant Transformation

44. 44 1. State-space CT State-space (Zustandsraum-) Beschreibung: Schleifenfilter + DAC durch Differenzialgleichungen im Zeitbereich beschrieben F: NxN Zustandsmatrix, N ist die Anzahl der Integratoren = Ordnung des Modulators x: Zustandsvektor, w: Schleifenfilterausgang : DAC-Ausgang (DAC-Umformung ber�cksichtigt) G = [N x 1], C = [1 x N] Annahme: Eingang u = 0

45. 45 1. State-space CT

46. 46 1. State-space DT State-space (Zustandsraum-) Beschreibung: Das Schleifenfilter wird durch Differenzgleichungen im Zeitbereich beschrieben A: NxN Zustandsmatrix, N: Anzahl der Integratoren = Ordnung des Modulators x: Zustandsvektor, y: DAC-Ausgang w: Schleifenfilterausgang Annahme: Eingang u = 0

47. 47 1. State-space Beide Beschreibungen (CT und DT) m�ssen identisch sein f�r t=nTS Die Koeffizienten des CT-Systems werden als Funktion der DT-Koeffizienten berechnet Es gibt MATLAB-Routinen, die diese Transformation automatisch durchf�hren d2c, d2cm, c2d, c2dm

48. 48 2. Modified Z-Transformation H(s): s-�bertragungsfunktion des Schleifenfilters RDAC(s): Laplace-Transformation der Impulsantwort des DAC Zmi: �modifizierte Z-Transformation� 0<mi<1: normalisierte Start- und Endzeit der DAC-Antwort m1, m2 beschreiben die Antwort des DAC NRZ DAC: m1=1, m2=0 Vorgefertigte Tabellen sind f�r die meisten Schleifenfilter und DAC-Antworten vorhanden

49. 49 �quivalenzbedingung: (Eing�nge der Quantisierer) Die Bedingung ist erf�llt wenn die Impulsantworten beider Open-Loop Systeme identisch sind : DAC-Impulsantwort : Impulsantwort des CT-Loop-Filters Das Eingangssignal wird auf Null gesetzt

50. 50 Imp.Inv.Transf.: Vorgehensweise Start: Zeitdiskrete Topologie ist vorhanden Berechnung der �F H(z) des Schleifenfilters Partialbruchzerlegung von Jeder Bruch Hi(z) wird von z nach s transformiert (vorgefertigte Tabellen vorhanden) Diese Transformation muss die CT-DAC-Antwort ber�cksichtigen! (RZ, NRZ, usw.) Implementierung dieser H(s) mittels OPV, R und Cs

51. 51 Imp. Inv. Transf.: Beispiel

52. 52 Imp. Inv. Transf.: Beispiel

53. 53 Imp. Inv. Transf.: Beispiel

54. 54 Imp. Inv. Transf.: Beispiel

55. 55 Stabilit�t Stabilit�tsparameter f�r die Schleife: Open-Loop-Phasenrand oder Lage der Closed-Loop-Polstellen auf dem z-Einheitskreis bzw. der linken s-Ebene Im linearisierten Modell wird der 1-Bit-Quantisierer als Verst�rker modelliert, dessen Verst�rkung gleich 1 ist

56. 56

57. 57 Stabilit�t

58. 58 Stabilit�t

59. 59 S? h�herer Ordnung sind anf�lliger f�r Instabilit�t, da es viel wahrscheinlicher ist, dass der Quantisierer aufgrund der mehreren Integratoren �bersteuert wird M�gliche L�sung: Multibit-Quantisierer. Das linearisierte Modell ist jetzt eine genauere Approximation der Kennlinie des Quantisierers Stabilit�t

60. 60 Stabilit�t Der Modulator kann stabilisiert werden, indem das Maximum von |NTF(f)| reduziert wird Eine Daumenregel ist: |NTF(f)|MAX<1.5, damit der Modulator stabil bleibt |NTF(f)|MAX kann reduziert werden, indem man die Polstellen der NTF zu niedrigeren Frequenzen verschiebt

61. 61 Stabilit�t Beispiel, L. Ordnung, alle Nullstellen in DC Stabilisierung: Polstellen der NTF verschieben P(z) ist ein Polynom der L. Ordnung Die NTF-Polstellen werden durch feedforward Pfade im Schleifenfilter realisiert

62. 62 Stabilit�t

63. 63 Reduzierung von NTFMAX

64. 64 Kaskadierte Architektur Das Quantisierungsrauschen der 1. Stufe wird von der 2. Stufe verarbeitet Eine �Error Correction Logic� (ECL) kombiniert beide Ausg�nge

65. 65 2-2-Kaskadierter S?

66. 66 Kaskadierte Architektur Vorteile: Stabilit�t Nachteile: Analog/Digital-Matching Variationen in den analogen Bauelementen ver�ndern die NTF und STF der einzelnen Stufen Die Digitalformen der NTF und STF sind exakt und nicht von den Bauelementen abh�ngig Durch unvollst�ndige Eliminierung des Quantisierungsrauschens entsteht �Noise Leakage� M�gliche L�sungen: Kalibrierbare analoge Bauelemente Einstellbare ECL

67. 67 Entwurf und Simulation: Design Flow Wahl des OSR, der Bit-Anzahl des Quantisierers sowie der Ordnung des Schleifenfilters sodass eine gewollte NTF erhalten ist Berechnung der H(z) des Filters (H=1/NTF-1) Bei zeitkontinuierlichen Modulatoren Umwandlung H(z)?H(s) mittels der Impulsinvariant-Transformation Wahl der Schaltungstopologie, die die erw�nschte H realisiert High-level Simulation mit Matlab Koeffizientenskalierung um S�ttigung bzw. �bersteuerung zu eliminieren Berechnung des SNR Entwurf der Schaltung und Low-Level-Simulation mit Cadence

68. 68 Finite DC-Gain des OPV Finite GBW des OPV Slew Rate des OPV S�ttigung VOUT,MAX Nichtidealtit�ten eines CT-Integrators (continuous time)

69. 69 Modeling of non-ideal CT-Integrators Opamps can be modelled with finite gain ADC and single pole Effect of the parasitic capacitance at the virtual ground

70. 70

71. 71 Nichtidealtit�ten eines SC-Integrators (discrete time) Unvollst�ndiges Einschwingen (Settling Error) Endliche Bandbreite und Slew-Rate verursachen Fehler in der Ladungs�bertragung (CSAMPLE?CINT) Fehler am Endwert wegen der endlichen Verst�rkung ? Leakage Vorteil: nur der Wert am Ende der Integrationsphase ist wichtig, nicht der Verlauf ? Weniger abh�ngig von OPAMP-nichtidealit�ten (z.B Nichtlineares Verhalten) Kondensator-Mismatch

72. 72 Wirkung der endlichen Vest�rkung �bertragungsfunktion eines idealen zeitdiskreten Integrators: Wenn die Verst�rkung des OPV endlich ist, �ndert sich die �F in erster Ann�herung wie folgt: Die Polstelle verschiebt sich von DC zu h�heren Frequenzen Der Noise Floor erh�ht sich

73. 73 NTF-Spektrum mit endlicher OPAMP-Verst�rkung

74. 74 Andere Nichtidealit�ten eines S?-Modulators Thermisches Rauschen der Bauelemente (OPV, Widerst�nde) kT/C-Rauschen (nur DT) Flicker-Rauschen (1/f-Rauschen) der Transistoren Jitter-Rauschen beim DAC (besonders bei CT-Modulatoren) �Excess Loop Delay� des DAC+quantiz. (nur CT) Nichtlinearit�t des DACs ? DEM / analog cal. Nichtidealit�ten des Quantisierers On-Widerst�nde der Schalter (nur DT)

75. 75

76. 76 Simulationsbeispiel

77. 77 Vortragsthemen CT/DT-Transformationen Komparatoren Nichtidealit�ten eines zeitkontinuierlichen DAC Nichtidealit�ten der analogen Schaltungen des Schleifenfilters in einem Sigma-Delta-Modulator Stabilit�t eines Sigma-Delta-Modulators Sigma-Delta-Modulatoren h�herer Ordnung Sigma-Delta mit Multi-Bit-Quantisierer Kaskadierte Sigma-Delta-Modulatoren Band-Pass Sigma-Delta-Modulatoren Zeitkontinuierliche Sigma-Delta-Modulatoren Dezimierungs- und Interpolationsvorgang Switched-Capacitor Filters

78. 78 Empfohlene Literatur �An Overview of Sigma-Delta Converters� P.M. Aziz, H. V. Sorensen, J. Van der Spiegel, IEEE Signal Processing Magazine, 1996 �Delta-Sigma Data Converters � Theory, Design and Simulation� S. R: Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes, IEEE �Continuous-Time Sigma-Delta A/D Conversion� M. Ortmanns, F. Gerfers, Springer 2006 �Continuous-time Delta-Sigma Modulators for High-Speed A/D Conversion� J. A. Cherry, W. M. Snelgrove, Kluwer Academic Publishers 2000 �Top-Down Design of High-Performance Sigma-Delta Modulators� F. Madeiro, B. Perez-Verd�, A. Rodriguez, Kluwer Academic Publishers 1999 �Analog Integreted Circuit Design� D. A. Johns, K. Martin, Wiley �Oversampled Delta-Sigma Modulators� M�cahit Kozak & Izzet Kale, Kluwer Academic Publishers